維納濾波與圖像去噪

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維納濾波與圖像去噪

摘要首先選取對(duì)圖像降噪比較有代表性的維納濾波，在加有高斯噪聲、椒鹽噪聲和乘性噪聲的圖像上進(jìn)行處理，再將維納濾波與中值濾波和均值濾波抑制噪聲的效果進(jìn)行比較，通過(guò)試驗(yàn)仿真及其處理效果，詳細(xì)分析維納濾波在圖像去噪中的特點(diǎn)及各自作用的利弊。關(guān)鍵詞維納濾波；中值濾波；均值濾波；圖像去噪

Wienerfilteringandimagedenoising

LIMeng,ZHAOQi

（Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Schoolofcommunicationandinformationengineering，

Xi’an710000,China）

Abstract：Selectthefirstisarepresentativeofwienerfilteringforimagenoisereductionwithgaussnoiseandsaltandpeppernoiseandmultiplicativenoiseofimageprocessing,thenwienerfilteringandmedianfilteringandmeanfilteringnoiseeffectcomparison,throughtheexperimentalsimulationandthetreatmenteffect,detailedanalysisofwienerfilteringinimagedenoising,thecharacteristicsandtheprosandconsofeachrole.

Keywords：Wienerfiltering,Medianfiltering,Meanfiltering,Imagedenoising

0引言

圖像在成像、傳輸、轉(zhuǎn)換或存儲(chǔ)的過(guò)程中會(huì)受到各種隨機(jī)干擾信號(hào)即噪聲的影響，從而會(huì)使畫面變得粗糙、質(zhì)量下降、特征吞噬。為了減弱噪聲、還原真實(shí)的畫面，就需

[1]

要用到降噪濾波器對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。通過(guò)選取對(duì)圖像降噪比較有代表性的維納濾波對(duì)加有高斯噪聲、椒鹽噪聲和乘性噪聲

的圖像進(jìn)行了處理，并將維納濾波與中值濾

波和均值濾波抑制噪聲的效果進(jìn)行比較，結(jié)合試驗(yàn)仿真及其處理效果，詳細(xì)分析維納濾波在圖像去噪中的特點(diǎn)及各自作用的利弊。

1圖像去噪

圖像去噪是數(shù)字圖像處理中的重要環(huán)節(jié)和步驟。去噪效果的好壞直接影響到后續(xù)的圖像處理工作如圖像分割、邊緣檢測(cè)等。

圖像信號(hào)在產(chǎn)生、傳輸過(guò)程中都可能會(huì)受到噪聲的污染，一般數(shù)字圖像系統(tǒng)中的常見(jiàn)噪聲主要有：高斯噪聲（主要由阻性元器件內(nèi)部產(chǎn)生）、椒鹽噪聲（主要是圖像切割引起的黑圖像上的白點(diǎn)噪聲或光電轉(zhuǎn)換過(guò)程中產(chǎn)生的泊松噪聲）等。

目前比較經(jīng)典的圖像去噪算法主要有

以下三種[2]

：

均值濾波：也稱線性濾波，主要思想為鄰域平均法，即用幾個(gè)像素灰度的平均值來(lái)代替每個(gè)像素的灰度。有效抑制加性噪聲，但簡(jiǎn)單引起圖像模糊，可以對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，

主要避開對(duì)景物邊緣的平滑處理[3]

。

中值濾波：基于排序統(tǒng)計(jì)理論的一種能有效抑制噪聲的非線性平滑濾波信號(hào)處理技術(shù)。中值濾波的特點(diǎn)即是首先確定一個(gè)以某個(gè)像素為中心點(diǎn)的鄰域，一般為方形鄰域，也可以為圓形、十字形等等，然后將鄰域中各像素的灰度值排序，取其中間值作為中心像素灰度的新值，這里領(lǐng)域被稱為窗口，當(dāng)窗口移動(dòng)時(shí)，利用中值濾波可以對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理。其算法簡(jiǎn)單，時(shí)間繁雜度低，但其對(duì)點(diǎn)、線和尖頂多的圖像不宜采用中值濾

波，很簡(jiǎn)單自適應(yīng)化[4]

。

Wiener維納濾波：最典型的一種濾波，20世紀(jì)40年代，維納奠定了最正確濾波器研究的基礎(chǔ)，即假定輸入是有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的合成，并且它們都是廣義平穩(wěn)過(guò)程，而且他們的二階統(tǒng)計(jì)特性都已知。維納根據(jù)最小均方準(zhǔn)則（即濾波器的輸出信號(hào)與需要信號(hào)的均方值最?。?，求得了最正確線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被稱為維納濾波器。這是一種自適應(yīng)濾波器，根據(jù)局部方差來(lái)調(diào)整濾波器效果，對(duì)于去除高斯噪聲效果明顯。由于基于維納濾波器的圖像復(fù)原效果比較好，具有一定的抑制噪聲能力，近年來(lái)被廣泛的應(yīng)用到圖象復(fù)原領(lǐng)域，維納濾波算法得到不斷的改進(jìn)和發(fā)展?，F(xiàn)在，大量有效的圖

像復(fù)原算法都是在此基礎(chǔ)形成的[5]

。

2維納濾波原理

維納濾波（wienerfiltering)一種基

于最小均方誤差準(zhǔn)則、對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的最優(yōu)估計(jì)器。這種濾波器的輸出與期望輸出之間的

均方誤差為最小，因此，它是一個(gè)最正確濾波系統(tǒng)。它可用于提取被平穩(wěn)噪聲所污染的信號(hào)[6]

。

維納濾波綜合了退化函數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性兩個(gè)方面進(jìn)行復(fù)原處理。維納濾波建立在最小化統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，它所得的結(jié)果只是平均意義上的最優(yōu)。

從退化圖像g?x,y?復(fù)原出原圖像

f?x,y?的估計(jì)值，噪聲為n?x,y?。用向量

f,g,n表示f?x,y?,g?x,y?,n?x,y?，Q為

對(duì)f的線性算子最小二乘方問(wèn)題可看成是

使形式為Qf?22的函數(shù)聽(tīng)從約束條件

g?Hf?2?n2的最小化問(wèn)題。也就是說(shuō)，

在約束條件g?Hf?2?n2下求Qf?的最小化而得到f的最正確估計(jì)。這種有條件的

極值問(wèn)題可以用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)處理。

用拉格朗日法建立目標(biāo)函數(shù)：

minJ?f???Qf?2??g?Hf?2?n2其中λ為一常數(shù)，是拉格朗日乘數(shù)。

加上約束條件后，就可以按一般求微小值的

方法進(jìn)行求解。將上式兩邊對(duì)f?微分，并另其結(jié)果為零,得:

?J?f????f?2QTQf?2?HT?g?f???0求解f?，有：QTgQf???HTHf?g?01QTQf?T??HTHf??Hg(1)f???HTH?sQTQ??1HTg式中s?1?可以調(diào)理，以滿足約束條件。

（1）式即為維納濾波復(fù)原方法的基礎(chǔ)。

設(shè)和分別為f和n的相關(guān)矩陣，即：

濾波器尋常稱為維納濾波器或最小均方誤差濾波器。其中，G??,??是退化圖像的傅里葉變換，H??,??是退化函數(shù)，

Rf??ff,Rn??nn??T??

T的第ij個(gè)元素是Efi,fj，代表f的第i個(gè)和第j個(gè)元素的相關(guān)。由于f和n中的元素都是實(shí)數(shù)，所以和都是實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于大多數(shù)圖像而言，相鄰像素之間相關(guān)性很強(qiáng)，在20～30個(gè)像素之外趨于零。在此條件下,和可以近似為分塊循環(huán)矩陣，并進(jìn)行對(duì)角化處理，有:

??Pn??,???N??,??是噪聲功率譜,

2Pf??,???F??,??是原始圖像功率譜。

2由上面原理推導(dǎo)可知，維納濾波器的傳遞函數(shù)為：

Rf?WAW?1;Rn?WBW?1

式中A和B為對(duì)角陣，W為酉陣，A和B中的元素對(duì)應(yīng)和中的相關(guān)元素的傅里葉變換。這些相關(guān)元素的傅葉變換稱為圖像和噪聲的功率譜。

若用來(lái)代替RfRn，則(1)式變?yōu)?/p>

T??2?1?H??,???F??,?????H??,??H??,??2?s?Pn??,????Pf??,?????

假使噪聲是零，則噪聲的功率譜消失，并且維納濾波退化為逆濾波，所以說(shuō)逆濾波是維納濾波的特例。

?1??HTH?sR?1Rffn???13維納濾波原理（個(gè)人推導(dǎo)）

HTg(2)

由循環(huán)矩陣對(duì)角化的知識(shí)可知，分塊循環(huán)矩陣：

g?x,y??f?x,y??h?x,y??n?x,y?

??g?x,y????x,y?f其中，f?x,y?是原來(lái)的信號(hào)（高清圖像），h?x,y?是模糊退化矩陣，n?x,y?是

H?WDW?1,HT?WD*W?1

其中D為對(duì)角矩陣，其元素正是H的本

征值，D*是D的復(fù)共軛。因而，（2）式變?yōu)椋?/p>

??WD?DW?1?sWA?1BW?1?1WD?W?1g參與的噪聲，g?x,y?是模糊下采樣后的圖f

上式兩邊同乘以,得：

像，??x,y?是濾波系統(tǒng)，f?x,y?是估計(jì)信

????DD*?sRRW?1ffn?1???1D*W?1g

號(hào)（恢復(fù)的圖像）。根據(jù)正交原則——誤差

信號(hào)與進(jìn)入估計(jì)的信號(hào)正交，可得：

寫成頻率域形式為:

(3)

上式稱為維納濾波，括號(hào)中的項(xiàng)組成的

??2?1?H??,??其中，e?n1,n2?是誤差信號(hào)，g??m1,m2?是

?G??,??F??,?????H??,??H??,??2?s?Pn??,???進(jìn)入估計(jì)的信號(hào)。????P?,?f???g??Efg??f?g??0Ef?fEe?n1,n2?g??m1,m2??0

????????所以

????????^G?????k,k?E?g?n?k,n?k??g?m,m??F?Y?????Efg??Ef?g??E??n1,n2??g?n1,n2??g????121122k1???k2???12???G??'GHHF2NF2?()2H

其中，g的自相關(guān)函數(shù)：

所以，

Pf111????????HHPf?PnH'Rfg?n1,n2????n1,n2??Rg?n1,n2?

對(duì)上式，兩邊取傅里葉變換，得：

所以

Rg?n1,n2??Eg?k1,k2??g??k1?n1,k2?n2??g?n1,n2??g??n1,?n2???????G?1?FH'F2?N?F2????H?2?G

??n1,n2??Rfg?n1,n2?Rg?n1,n2?

為了達(dá)到自適應(yīng)的目的，參與一個(gè)調(diào)整系數(shù)s，得到：

^由于信號(hào)f、噪聲n互不相關(guān)，所以

E[f(n1,n2),n?(m1,m2)]?E[f(n1,n2)]?E[n*(m1,m2)]

進(jìn)一步得到：

F?1H?F2NF2?s()2H?G

Rfg(n1,n2)?Rf(n1,n2)?Pfg(?1,?2)?Pf(?1,?2)Rg(n1,n2)?Rf(n1,n2)?Rn(n1,n2)?Pg(?1,?2)?Pf(?1,?2)?Pn(?1,?2)

所以可以得到：

?(n1,n2)?

由于

Rfg(n1,n2)Rg(n1,n2)?Rf(n1,n2)Pf(?1,?2)思路：將退化加噪后的信號(hào)g?x,y?作

?Rf(n1,n2)?Rn(n1,n2)Pg(?1,?2)?Pn(?1,?2)用于一個(gè)“白化〞濾波器，得到一個(gè)輸出?n，

再將此輸出用濾波器進(jìn)行濾波，得到最正確估

g?x,y??f?x,y??h?x,y??n?x,y?

在頻域可寫為

??x,y?。??x,y?,即f計(jì)s實(shí)際系統(tǒng)都是因果的，

可以根據(jù)信號(hào)g?x,y?（模糊圖像）的功率譜采用譜分解定理求出信號(hào)模型的傳輸函數(shù)H，根據(jù)譜分解的結(jié)果可以確定ω。這樣，

N??G?HF?N?H?F??

H??令Y?GN?F?HH??就可以根據(jù)F計(jì)。

?H?G得到信號(hào)的最正確估

4試驗(yàn)仿真與結(jié)果分析（程序見(jiàn)附錄）

在仿真試驗(yàn)中，主要利用MATLAB試驗(yàn)平臺(tái)，在MATLAB中可以依照維納濾波的原理和公式來(lái)編寫語(yǔ)句進(jìn)行濾波，但由于此種方法較為繁雜，同時(shí)MATLAB也有自帶的維納濾波器的函數(shù)，因此本課題中使用MATLAB自帶的函數(shù)進(jìn)行維納濾波。在MATLAB中與維納濾波有關(guān)的函數(shù)有wiener2()和deconvwnr()，這兩個(gè)函數(shù)都能夠完成維納濾波的功能，deconvwnr()強(qiáng)調(diào)圖象復(fù)原方面，wiener2()強(qiáng)調(diào)圖像空間域銳化的作用[7]。其中wiener2()函數(shù)只支持二維濾波，由于此處選的是一張Lena的灰度圖片，使用wiener2()函數(shù)。以下四個(gè)試驗(yàn)中，均采用默認(rèn)的[33]窗口維納濾波器。

（一）試驗(yàn)一、維納濾波對(duì)不同噪聲的濾波效果

原始圖像加高斯噪聲圖維納濾波后的圖像原始圖像加椒鹽噪聲圖維納濾波后的圖像原始圖像加乘性噪聲圖維納濾波后的圖像結(jié)論：從圖中可以看到維納濾波對(duì)