狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程

本文格式為Word版，下載可任意編輯——狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程

其次章狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程

本章引入描述量子體系狀態(tài)的波函數(shù)，給出波函數(shù)的幾率波解釋和態(tài)的疊加原理兩個(gè)量子力學(xué)的基本假設(shè)，在此基礎(chǔ)上建立非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程——薛定諤(Schr?dinger)方程，并通過幾個(gè)具體實(shí)例介紹定態(tài)薛定諤方程的解法。

§2.1波函數(shù)的幾率波解釋

1.波函數(shù)

由第一章的探討可知，微觀粒子的波粒二象性是對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)性的反映。數(shù)學(xué)上，把這種具有統(tǒng)計(jì)性的物質(zhì)波（粒子波）用一個(gè)物理量?來(lái)描述，稱為波函數(shù)。它是位置(x,y,z)和時(shí)間t的復(fù)值函數(shù)，表示為?或?(x,y,z,t)。微觀體系的狀態(tài)總可以用一個(gè)波函數(shù)?(r,t)來(lái)完全描述，即從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)，且?(r,t)和C?(r,t)（C為比例常數(shù)）描寫同一量子狀態(tài)。引入波函數(shù)來(lái)描寫微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。

2.波函數(shù)的幾率波解釋

在歷史上，人們對(duì)波函數(shù)的解釋曾有過不同的看法。有人認(rèn)為波是由它所描寫的粒子組成的；也有人認(rèn)為粒子是無(wú)限多波長(zhǎng)不同的平面波疊加而成的波包。除以上兩種觀點(diǎn)外，還有其它一些不同的看法。但是，這些看法都與試驗(yàn)事實(shí)相矛盾，而被物理學(xué)家們普遍接受的解釋是玻恩(Born)提出的統(tǒng)計(jì)解釋，即幾率波解釋。為了說(shuō)明玻恩的解釋，我們首先來(lái)考察電子的雙縫衍射試驗(yàn)。在電子的雙縫衍射試驗(yàn)中，電子槍發(fā)射強(qiáng)電子束時(shí)，熒光屏上馬上顯示出明暗相間的雙縫衍射條紋，這是電子的波動(dòng)性的表現(xiàn)。當(dāng)電子槍發(fā)射弱電子束時(shí)，屏上接收的只是一個(gè)一個(gè)的亮點(diǎn)（電子），這表達(dá)了電子的微粒性。若對(duì)弱電子束的衍射作長(zhǎng)時(shí)間的曝光，則得到的衍射花招與強(qiáng)電子束的衍射花招完全一致。試驗(yàn)說(shuō)明，在出現(xiàn)亮條紋的地方，亮點(diǎn)較密集，電子投射的數(shù)目較多，即電子投射幾率較大；而在比較暗的地方，達(dá)到的電子數(shù)目較少，即電子投射的幾率較小。電子在衍射試驗(yàn)中所透露的波動(dòng)性質(zhì)，可看成是大量電子在同一個(gè)試驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，也可以認(rèn)為是單個(gè)電子在屢屢一致試驗(yàn)中顯示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。因此用來(lái)描述具有統(tǒng)計(jì)性的物質(zhì)波的波函數(shù)也一定具有統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)。

據(jù)此，德國(guó)物理學(xué)家玻恩在1924年提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：空間某點(diǎn)波函數(shù)絕對(duì)值

2的平方乘以該點(diǎn)附近的小體積元d??dxdydz,即|ψ(r,t)|d?表示在t時(shí)刻在r點(diǎn)附近d?小體積元內(nèi)找到粒子的幾率。

這表示，描寫粒子的波是一種幾率波，而不是真實(shí)存在的實(shí)體，不是可觀測(cè)的物理量。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是波函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。在經(jīng)典物理中，一個(gè)經(jīng)典波可以用實(shí)數(shù)也可以用復(fù)數(shù)表示，用復(fù)數(shù)表示僅僅是為了數(shù)學(xué)上的便利，實(shí)際上只有實(shí)部才有物理意義。在量子力學(xué)中，波函數(shù)一般必需用復(fù)數(shù)表示，有物理意義的既不是實(shí)部，也不是虛部，而是它的絕對(duì)值的平方|ψ(r,t)|，它表示粒子在空間r點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的幾率稱為幾率密度，尋常用w(r,t)表示，而ψ叫幾率振幅，或幾率幅。

2練習(xí)1：

設(shè)粒子波函數(shù)為?(x,y,z)，求在x~x?dx范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。解：由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋可知:

|?|2d?代表在x?x?dx,y?y?dy,z?z?dz范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，

則在x?x?dx范圍內(nèi)不管y，z取何值的幾率為

(??|?|2dydz)dx.

練習(xí)2：

設(shè)在球坐標(biāo)中，粒子波函數(shù)為?(r,?,?)

求：（1）在球殼（r,r?dr）中找到粒子的幾率，

（2）在（?,?）方向的立體角d?中找到粒子的幾率。

解：在球坐標(biāo)中，體積元的形式為

d??r2drsin?d?d?，

（1）在球殼（r,r?dr）中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為

2??[??0??0??|?(r,?,?)|2sin?d?d?]r2dr.

（2）在（?,?）方向的立體角中找到粒子的幾率為

?[?|?(r,?,?)|2r2dr]d?,

0其中d??sin?d?d?.

3.波函數(shù)的歸一化

22量子力學(xué)第一基本假設(shè)告訴我們，|C?|與|?|描寫同一微觀狀態(tài)，這是由于C?和

2|?|2表示的幾率分布是一樣的。譬如粒子出現(xiàn)在空間r1與r2兩點(diǎn)的相對(duì)概率可表示成：|C?(r1,t)|2|?(r1,t)|2。這說(shuō)明量子力學(xué)中波函數(shù)描述的是相對(duì)幾率密度分布。這與經(jīng)?|C?(r2,t)|2|?(r2,t)|2典波（聲波、光波等）完全不一樣，經(jīng)典波的振幅增加一倍，則其波動(dòng)能量增加為原來(lái)的四倍，為兩種完全不同的態(tài)。

既然|?（r,t)|d?表示t時(shí)刻，r點(diǎn)附近d?體積元發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，而非相對(duì)論下，

2實(shí)物粒子不會(huì)產(chǎn)生或湮滅，必定會(huì)在空間某點(diǎn)出現(xiàn)，則對(duì)一個(gè)粒子而言，它在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率為1，數(shù)學(xué)上表示為：|?（r,t)|2d??1.（1）

??這稱為波函數(shù)的歸一化條件，滿足上式的波函數(shù)?（r,t)稱為歸一化的波函數(shù)。

為便利引入符號(hào)??,???

則歸一化條件可簡(jiǎn)寫為：??,???1或??|???1。

由于?與C?描寫同一量子狀態(tài)，所以描寫同一量子狀態(tài)的波函數(shù)形式不是唯一的，一般狀況下，我們都是選取歸一化了的波函數(shù)來(lái)探討問題，對(duì)不是歸一化的波函數(shù)??c?，尋常需要把波函數(shù)歸一化，即要求C?滿足下面條件：|C?|2d??1,（3）

?????d?，（2）

*?式中積分號(hào)下的無(wú)限大符號(hào)表示對(duì)整個(gè)空間積分。由（3）式有

1|C|2?|?|2d?.

??（4）

i?C稱為歸一化常數(shù)，其解具有不確定性，可以是正負(fù)實(shí)數(shù)，也可是復(fù)數(shù)。如考慮一個(gè)常數(shù)ei?i?i?2（?為實(shí)常數(shù)），由于|e|?1，則C?Ce，e稱為相因子。由此可見，歸一化后的

22波函數(shù)可以含有一任意相因子，依舊不是完全確定的，為了便利，一般規(guī)定歸一化常數(shù)C取正實(shí)數(shù)，不探討相因子（??0），這樣歸一化的波函數(shù)不會(huì)有相因子的不確定性。

例假設(shè)粒子在一維空間中運(yùn)動(dòng)，已知描寫它的波函數(shù)為

1i??2x2??t22?(x,t)?Ae式中?和?為已知常數(shù)，A為任意常數(shù)。

求：（1）歸一化波函數(shù)；

（2）粒子坐標(biāo)的幾率密度分布；（3）粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。解：（1）在一維空間中，歸一化條件為

，

???(x,t)dx?1，

2于是有

1?A2????e??2x2dx?2A2???xe?dx022?2|A|2所以

?a，

A?(a12a?)，

12歸一化的波函數(shù)為?(x,t)?(?)e1i??2x2??t22。

（2）粒子坐標(biāo)的幾率密度分布為

w(x)?|?(x,t)|2?(3)根據(jù)求最大值的條件，令

a?e?ax.

22dw(x)?0，dx則有

?2a2x可得

a?e?ax?0，

22x?0，

即在x?0處粒子出現(xiàn)的幾率最大。

并不是所有的波函數(shù)都可以按（1）式或（3）式進(jìn)行歸一化。這種歸一化條件要求波函數(shù)絕對(duì)值平方在整個(gè)空間是可以積分的，假使這個(gè)積分是發(fā)散的，則不能使用上述歸一化條件。關(guān)于這類波函數(shù)如何歸一化，以后遇到再介紹。

4.自由粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)——平面波

自由粒子不受外場(chǎng)的作用，其能量E和動(dòng)量P均不隨時(shí)間變化。由德布羅意關(guān)系知道，與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，它的頻率和波長(zhǎng)都不變，數(shù)學(xué)上稱為平面波。

角頻率為?，波長(zhǎng)為?，沿x軸正向傳播的平面波可表示為：

y?Acos(kx??t)，（5）

式中k?2??。有時(shí)為了數(shù)學(xué)上的便利，也用復(fù)數(shù)形式表示：

i(kx??t)y?Ae，（6）

（6）式中有物理意義的是其實(shí)部。在量子力學(xué)中波函數(shù)一般取復(fù)數(shù)形式，所以描寫一維自由粒子的平面波波函數(shù)取為：

?(x,t)?Aei(kx??t).（7）

將德布羅意關(guān)系k?p,??E代入（7）式，得到具有確定動(dòng)量px的一維平面波波函數(shù)：

i(pxx?Et)?px(x,t)?Aei，（8）

將（8）式推廣至三維狀況，具有確定動(dòng)量p的自由粒子波函數(shù)為?p(r,t)?Ae(p.r?Et)，（9）

在某一時(shí)刻，如t?0，具有確定動(dòng)量p的平面波函數(shù)表示為

i?p(r)?Ae

p?r.（10）

§2.2態(tài)的疊加原理

微觀粒子的量子狀態(tài)用波函數(shù)來(lái)描述，這與經(jīng)典力學(xué)的描述方法完全不同。在經(jīng)典力學(xué)

中，粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量有完全確定的數(shù)值，并且一旦給定某一時(shí)刻粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量，不但可確定該時(shí)刻粒子的狀態(tài)，而且可以確定以后任何時(shí)刻粒子的狀態(tài)。而在量子力學(xué)中，粒子的力學(xué)量如坐標(biāo)、動(dòng)量等一般可以有大量可能值，這些可能值各自以一定的幾率出現(xiàn)。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的這種區(qū)別來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性，這種性質(zhì)由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋來(lái)表現(xiàn)，還可通過態(tài)疊加原理表現(xiàn)出來(lái)。

1.態(tài)的疊加原理

若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)?1,,?2,…,?n,…,則這些不同的可能狀態(tài)的線性疊加態(tài)??c1?1?c2?2??cn?n???cn?n(cn為復(fù)常數(shù)),也是該體系的一個(gè)可能

n的狀態(tài)。

態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，無(wú)法從更基本的概念把它推導(dǎo)出來(lái)，它的正確性由試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。

2.量子力學(xué)對(duì)態(tài)疊加原理的解釋

設(shè)體系有兩個(gè)可能的狀態(tài)?1和?2。當(dāng)在?1狀態(tài)下，無(wú)論何時(shí)測(cè)量體系的某物理量

G(如能量)時(shí),都有一個(gè)確定值g1；當(dāng)在?2狀態(tài)下，無(wú)論何時(shí)測(cè)量某物理量G，都有一個(gè)

確定值g2。根據(jù)態(tài)疊加原理，??c1?1?c2?2也是體系可能的狀態(tài)，那么在Ψ態(tài)下測(cè)量力學(xué)