極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

本文格式為Word版，下載可任意編輯——極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限西南石油大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》專升本講義

極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

1、了解函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則；2、把握兩個(gè)常用的不等式；3、會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。

1、夾逼準(zhǔn)則；

2、單調(diào)有界準(zhǔn)則；3、兩個(gè)重要極限。

重點(diǎn)是應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限。

難點(diǎn)是應(yīng)用函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則證明極限存在，并求極限。從有限到無(wú)窮，從已知到未知，引入新知識(shí)（5分鐘）。首先給出極限存在準(zhǔn)則（20分鐘），并舉例說(shuō)明如何應(yīng)用準(zhǔn)則求極限（20分鐘）；然后重點(diǎn)講解兩個(gè)重要的極限類型，并要求學(xué)生能利用這兩個(gè)重要極限求極限（40分鐘）；課堂練習(xí)（15分鐘）。

引入：考慮下面幾個(gè)數(shù)列的極限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000個(gè)0相加，極限等于0。

2、limn???i?1無(wú)窮多個(gè)“0〞相加，極限不能確定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，極限不能確定。

對(duì)于2、3就需要用新知識(shí)來(lái)解決，下面我們來(lái)介紹極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：

一、極限存在準(zhǔn)則

1.夾逼準(zhǔn)則

準(zhǔn)則Ⅰ假使數(shù)列xn,yn及zn滿足以下條件:

(1)yn?xn?znn??(n?1,2,3?)n??(2)limyn?a,limzn?a,n??

那么數(shù)列xn的極限存在,且limxn?a.

證：?yn?a,zn?a,???0,?N1?0,N2?0,使得

當(dāng)n?N1時(shí)恒有yn?a??,當(dāng)n?N2時(shí)恒有zn?a??,

取N=max{N1,N2},上兩式同時(shí)成立,即a???yn?a??,a???zn?a??,當(dāng)n>N時(shí)，恒有a???yn?xn?zn?a??,即xn?a??成立,?limxn?a.

n??1

西南石油大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》專升本講義

上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則Ⅰ′假使當(dāng)x?U(x0,?)(或x?M)時(shí),有

o(1)g(x)?f(x)?h(x),(2)limg(x)?A,limh(x)?A,

x?x0(x??)x?x0(x??)那么limf(x)存在,且等于A.

x?x0(x??)準(zhǔn)則?和準(zhǔn)則?'稱為夾逼準(zhǔn)則。

利用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是構(gòu)造出yn與zn，并且yn與zn的極限是簡(jiǎn)單求的。

例1求lim(n1n+12+1n+22+?+1n+n2).

解：?nn+nn??2西南石油大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》專升本講義

n求limin???2in?n?i。

?1解：

n(n?1)212nn2?n?n?n2?n?n?n2?n?n???n2?n?n?12n2+n+1n2+n+2+?+nn2+n+n

?12nn(n+n2+n+1n2+n+1+?+n2+n+1=1)2n2+n+1而n(n?1)21n(nlim??n2?n?n?2，

limn?1)2n??n2?n?1?12所以原極限?12

o1、夾逼準(zhǔn)則

當(dāng)

x?U(x0,?)時(shí)，有

f(x)?g(x)?h(x)xlim?xf(x)?A=limh(x)，則lim0x?x0x?xg(x)?A。

02、單調(diào)有界準(zhǔn)則

（1）單調(diào)上升有上界的數(shù)列，極限一定存在；（2）單調(diào)下降有下界的數(shù)列，極限一定存在。3、兩個(gè)重要極限（1）limsinxx?0x?1(x