章 君一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的推廣探究

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高考理科數(shù)學(xué)

一道高考題的推廣與探究

章君

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院2023級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（350108）

1問題的浮現(xiàn)與剖析

問題（2023年高考全國卷（Ⅱ）理22）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2anxan0，有一

2，3，，根為Sn1，其中n1，

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求{an}的通項公式．

解析（Ⅰ）略．

2

2Sn1anSn0．（Ⅱ）由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn

又當(dāng)n2時，anSnSn1，代入上式得：SnSn12Sn10①．

1112

由（Ⅰ）知：S1a1，S2a1a2．

22633n

從而由①可得：S3，由此猜想Sn(nN*)．

4n1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想（略）．

評析此題第（Ⅱ）問是求數(shù)列通項的問題．問題本身看似簡單，題意也似乎比較簡單理解，但實則不然，解起來難度較大，原因在于大多數(shù)考生在得到①式之后，無法采用常規(guī)方法對其中的Sn直接進(jìn)行求

a2值的特征而聯(lián)想到數(shù)學(xué)歸納法，那么此題就很難得出最終的結(jié)果．解，一旦沒有發(fā)現(xiàn)a1，

基于此，筆者對①式中Sn的求法作了深入的探究，并將其推廣至一般的情形．2問題的推廣與解決

①式中Sn的求法可推廣為如下問題：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足aSnSn1bSncSn1d0（a，b，c，dR且a0，nN*且n2），求Sn．

解由aSnSn1bSncSn1d0，可得Sn(aSn1b)cSn1d，即Sn

cSn1d

．

aSn1b

x2為方程ax2(bc)xd0（*）的兩個根，則有如下兩種情形：設(shè)x1，

（1）x1x2，即(bc)24ad0，此時有Snx1以及Snx2由此得

cSn1d(cax1)Sn1(bx1d)

x1，

aSn1baSn1b

cSn1d(cax2)Sn1(bx2d)

x2．

aSn1baSn1b

Snx1(cax1)Sn1(bx1d)=Snx2(cax2)Sn1(bx2d)

bx1d

(cax1)cax1=．

bx2d(cax2)

Sn1

cax2

Sn1

又由x1為方程（*）的根可得ax12(bc)x1d0，從而bx1dx1(ax1c)．

高考理科數(shù)學(xué)

同理，有bx2dx2(ax2c)．所以

Snx1(cax1)Sn1x1

=．Snx2(cax2)Sn1x2

Snx1Sxcax1

是以21為首項，為公比的等比數(shù)列．Snx2S2x2cax2

這說明，數(shù)列{于是，

Snx1S2x1cax1n2()，Snx2S2x2cax2

x1(S2x2)(cax2)n2x2(S2x1)(cax1)n2

進(jìn)而Sn．

(S2x2)(cax2)n2(S2x1)(cax1)n2

（2）x1x2，即(bc)24ad0．

1設(shè)x1x2x00，則有Snx0

從而有

cSn1d(cax0)Sn1(bx0d)

x0，

aSn1baSn1b

aSn1b1

．Snx0(cax0)Sn1(bx0d)

又由x0為方程（*）的根可得(ax0c)x0bx0d0．

2

ax0ax0bx011從而，．Snx0bx0dbx0dSn1x0

注意到x0為方程ax2(bc)xd0的唯一解，便有x1x2x0故(ax0c)(ax0b)．

進(jìn)而可得x0(ax0c)(ax0b)x0．

另一方面，由(ax0c)x0bx0d0，可得bx0d(ax0b)x0．于是，

ax011

．Snx0bx0dSn1x0

bc

，2a

這說明數(shù)列{據(jù)此可得：

ax011

是以為首項，為公差的等差數(shù)列，Snx0S1x0bx0d

ax011

(n1)，Snx0S1x0bx0d

2

S1(bx0d)a(n1)x0(S1x0)

即Sn．

(bx0d)a(n1)x0(S1x0)

2設(shè)x1x2x0=0，則，此時必有d0，且bc0，

則原方程變成aSnSn1bSncSn10，此時有Sn(aSn1b)cSn1bSn1

Sn

bSn111a1

，左右兩邊直接取倒數(shù)得：，此時又可將原方程轉(zhuǎn)化為一個以為

aSn1bSnSn1bS1aabS1111首項為公差的等差數(shù)列{}，=+(n1)，即Sn

bbbaS1(n1)SnSnS1

b2，c0，d1）顯然，①式中求Sn的問題為上述問題的特例（a1，．注意到與之相應(yīng)的方程（*）

x22x10，則簡單由上述求解過程之（2）得到Sn=

n

．n1

利用上述結(jié)論，可以相對簡單地解決一些高考試題．

3問題的總結(jié)與反思綜上所述，通過對該問題的反思、推廣與解決，可以發(fā)現(xiàn)，①式中Sn的求法的一般性問題是可解的．雖然結(jié)果的表達(dá)式比較巨大繁雜，但是方法很簡單理解，由于將問題轉(zhuǎn)化為求等差和等比數(shù)列的通項問題，本來就是解決數(shù)列問題的“通法〞，學(xué)生簡單接受．特別值得指出的是，這種方法不僅有效地規(guī)避了因利用

高考理科數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法而帶來不必要且又繁雜的解題步驟，還有助于求解遞推數(shù)列通項公式問題的思路挖掘．例在數(shù)列{an}中，a1=1,當(dāng)n=2時，其前n項和Sn滿足an+2SnSn1=0,求Sn的表達(dá)式；

解：由于Sn為數(shù)列{an}的前n項和

anSnSn1，將其代入方程an+2Sn