第三章 利息公式和等值計算(修改)

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工程經濟學

第三章利息公式和等值計算

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一、貨幣的時間價值(一)貨幣時間價值的含義貨幣的時間價值就是貨幣在擴大再生產及其循環(huán)周轉過程中，隨著時間的推移而產生貨幣增值或經濟效益。(二)貨幣資金時間價值的特點1、在一定條件下，這個增量的大小是時間的函數，即△G=f(t);2、△G可能是正值，也可能是負值；3、△G的大小反映效益的高低。2

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例:P29表3-1所示，年末方案A方案B

01234

-120008000600040002000

-120002000400060008000

A方案的經濟效果比B方案好。

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二、利息與利率(一)利息與利率的概念1、利息——是占用資金應付的代價或理解為放棄資金使用權而得到的報酬。利息(I)的大小與利率(i)、時間(計息期數n)、本金(P)有關。2、利率——在一定時間內所得到的利息額與借貸資金額(本金)之比。尋常用百分數表示。3、計息周期——即計算利息的時間單位，可以是年、半年、季、月或日等。付息周期：是在計息周期的基礎上支付利息的時間單位，它可以與計息周期一致，也可以不同，尋常以年為單位。計息次數：即計算利息的次數，根據計息周期求得。4

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二、利息與利率(二)計算利息的方法——單利法和復利法1、單利法：在計算利息時，只計本金的利息，不計利息的利息。n年后的本利和：Fn=P(1+ni)n年后的利息I=Fn-P=P(1+ni)-P=Pni其特點:僅以本金為基數,在貸款期末一次計算利息.5

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例:某企業(yè)以8%的年利率向銀行貸款500萬元,貸款期限為5年,以單利計算,問5年后企業(yè)應當支付多少錢才能還清這筆貸款,其中利息有多少?解:Fn=P(1+ni)=500(1+5*8%)=700(萬元)I=Fn-P=700-500=200(萬元)

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(二)計算利息的方法——單利法和復利法2、復利法：在計算利息時，除本金計算利息外，利息還要計算利息。即將本期的利息轉計為下期的本金，下期將按本利和的總額來計算利息。n年后的本利和：Fn=P(1+i)nn年后的利息I=Fn-P=P(1+i)n-P=P[(1+i)n-1]P31[例3-2]7

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例：某項工程開始投資為1000萬元，若貸款利率10%,以年計息，試分別以單利和復利計算10年后的本利和。單利計算：F=P(1+ni)=1000(1+1010%)=2000(萬元)復利計算：F=P(1+i)n=1000(1+10%)10=2594(萬元)

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三、普通復利公式(一)幾項規(guī)定和現(xiàn)金流量圖1、規(guī)定i——每一利率期的利率，一般指年利率；n——計息期數，一般指年數；P——資金的現(xiàn)值，即本金；P=F-復利利息F——資金的未來值(將來值),即本利和或終值；F=P+復利利息A——表示在連續(xù)每期期末等額支付或收入

中的每一期資金支出額或收入額。由于一般一期的時間為一年，故尋常稱為年金。G——等差額或稱梯度，表示當各期的支出或收入是均勻遞增或均勻遞減時，相鄰兩期資金支出或收入額的差值。9

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另外規(guī)定，若沒有特別說明，各項資金的支出或收入都認定發(fā)生在計息期初或期末。一般假定，投資發(fā)生在期初，經營費用或收益發(fā)生在期末。

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2、現(xiàn)金流量圖根據P32表3-2數據有下圖：P=1000萬元i=6%

0

1

2

3

4

5

11F=1338.23萬元

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繪制現(xiàn)金流量圖應注意的幾點：(1)橫坐標(水平線)表示時間尺度，從左到右每格代表一個時間單位，在期數表示的地方尋常是該年年末時點，同時也是下一年年初時點，如“3〞表示第3年年末，同時表示第4年年初。(2)相對于時間坐標的垂直線，代表不同時點的現(xiàn)金流量狀況，箭頭表示現(xiàn)金滾動方向，箭頭向上表示現(xiàn)金增加(現(xiàn)金流入或正現(xiàn)金流),箭頭向下表示現(xiàn)金減少(現(xiàn)金流出或負現(xiàn)金流)。垂線的長度一般依現(xiàn)金流量的大小按比例畫出，但在數量相差懸殊的狀況下，允許只畫出能夠反映相對大小的長度。(3)由于借方的現(xiàn)金流入就是貸方的現(xiàn)金流出，所以借貸雙方的現(xiàn)金流量圖對于同一筆資金來說正12好是相反的。

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(二)普通復利公式——指以規(guī)定的時距(月、年等)復利計息，按規(guī)定的時距進行支付的復利計算公式。1、一次支付公式——就是借款在貸款期終時本利和一起還清。(1)一次支付復利公式(一次支付終值公式或整付本利和公式)已知現(xiàn)值P,利率i,計息期數n,求終值FF=P(1+i)n(1+i)n——稱為一次支付復利因子，用函數符號(F/P,i,n)表示。(1+i)n=(F/P,i,n)此時F=P(F/P,i,n)13

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[例1]已知某人借出P=1000元，n=5,i=6%,求FF=P(F/P,i,n)=P(F/P,6%,5)=10001.338=1338(元)

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(2)一次支付現(xiàn)值公式已知:終值F,利率i,計息期數n,求現(xiàn)值P根據F=P(1+i)nP=F(1+i)-n=F(P/F,i,n)(1+i)-n——稱為一次支付現(xiàn)值因子，用函數符號(P/F,i,n)表示。(1+i)-n=(P/F,i,n)此時P=F(P/F,i,n)15

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[例2]已知F=10000元，n=5,i=5%,求PP=F(P/F,i,n)=F(P/F,5%,5)=100000.7835=7835(元)

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2、等額屢屢支付公式即連續(xù)在若干期的期末支付等額的資金，最終累計一次可回收的資金。(1)等額屢屢支付復利公式已知:年金A,利率i,計息期數n,求終值F思路：將各年的支出A用一次支付復利公式F=P(1+i)n折算到第n年年末的終值，然后求其和就得到F。17

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第一年年末的A折到第n年年末的F為A(1

+i)n-1其次年年末的A折到第n年年末的F為A(1+i)n-2第n-1年年末的A折到第n年年末的F為A(1+i)第n年年末的A折到第n年年末的F為A把各年的A的終值相加并整理就可得到

(1i)1F=Ain

[(1+i)n-1]/i——等額屢屢支付復利因子令[(1+i)n-1]/i=(F/A,i,n)則有：F=A(F/A,i,n)18

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[例3]某建設項目總投資額為20億元,計劃在每年末投資5億元,分4年投資完,借貸年利率為10%,問4年后歸還的總投資本利和為多少?已知A=5億元，n=4年，i=10%,求FF=A(F/A,i,n)=A(F/A,10%,4)=54.641=23.21(億元)19

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(2)等額屢屢支付償債基金公式(資金儲存公式)已知F,n,i,求A由公式(1i)1FA有in

iAF(1i)n1

i/[(1+i)n-1]——等額屢屢支付償債基金因子，用(A/F,i,n,)表示，則有A=F(A/F,i,n,)