線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘要

基于中學(xué)數(shù)學(xué)中的有些問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組來解決，使得繁雜的問題變得簡單。線性方程組是由幾個變量之間組成的相互關(guān)系，在中學(xué)數(shù)學(xué)中大多都是兩個未知量或三個未知量組成的齊次線性方程組，而求解線性方程組大多進(jìn)行變形，用消元法進(jìn)行，一般解都具有唯一性，只有少數(shù)部分的解不唯一。本文對線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)和幾何中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

分析：由等比數(shù)列的求和公式為：Sn?只需求出等比數(shù)列?an?的q與a1。

解：由已知得：

a1?1?qn?1?q得到limSn?n??a1，所以要求limSn的值，

n??1?q?a1?1?q?q2??18??2aq1?q?q????9?1?得到：q??（）1

121818??242111?q?q1??24a24得：limSn?1??16。

n??1?q1?12再代入（1）式得：a1?綜上所述，已知數(shù)列各量之間的關(guān)系可以運用線性方程組求出。

例3（2023年XX省公務(wù)員·A類·54）已知一個數(shù)列為等差數(shù)列，有a2=21,a4=31，若an?516則這個數(shù)列的前n項的平均數(shù)為多少？

分析：要求數(shù)列前n項的平均數(shù)又已知an，故只需求出a1即可，而a1可由a2,a4得到，由于前n項和公式Sn?n?a1?an??平均數(shù)?n，。2?a2?a1?d?21

?a4?a1?3d?31解：由題意可知;?得：a1?16由Sn?n?a1?an??平均數(shù)?n2a1?an?16+516?==266得：平均數(shù)=22綜上所述，已知數(shù)列的任意兩項以及前n項，要求前n項的平均數(shù)，只需要根據(jù)他們之間的相互關(guān)系建立線性方程組，根據(jù)前n項和可求出平均數(shù)。

3.2不等式方面的應(yīng)用

用“大于號（＞）〞、“小于號（＜）〞、“不等號（≠）〞、“大于等于（≥）〞或“小于等于（≤）〞

3

連接起來并具有大小關(guān)系的式子叫做不等式。把含有兩個及其兩個以上的未知量，且未知量的次數(shù)都為1的不等式聯(lián)立起來的不等式稱為不等式組。

711例4已知log33，證明：不等式ab?bc?ac＜成立。?a,log377?b,log21?c54分析：對于解決此題，可以直接把數(shù)值代入，利用均值不等式就可證明，這里主要介紹的是用線性方程組解決的方法。

711證：把log33?a,log377?b,log21?c

7?log33?a?ln7?aln3?aln11?0?3變形為：?log77?b?ln3?bln7?bln11?0

?111137log?c?ln?cln?cln?021???aln3+ln7?aln11?0?得到：?ln3?bln7?bln11?0

??cln3?cln7+ln11?0?上述方程是關(guān)于ln,ln,ln的一個齊次線性方程組，ln,ln,ln都不等于零，所以方程組有非零解，他們的系數(shù)行列式為零。

37113711?a1?a有：1?b?b?0，

?c?c1化簡得：ab?bc?ac=1+abc

7112abc?2log33?log3?log77212ln7ln3ln11?3??，ln?ln11ln7?ln11ln3?ln7ln7?ln3?ln111＜2?2ln3?ln112ln7?ln112ln3?ln74故：ab?bc?ac＜1+15=44綜上所述，由他們之間的關(guān)系，聯(lián)立線性方程組，再結(jié)合均值不等式就可證明出。

例5已知要將兩種大小不同的鋼板截成A,B,C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

表2-2

類型第一張鋼板其次種鋼板

A規(guī)格21

4

B規(guī)格12

C規(guī)格13

現(xiàn)分別需要A,B,C三種規(guī)格的產(chǎn)品為15,18,27塊，則要分別截這兩種鋼板多少張，可得所需A,B,C三種規(guī)格成品，使得所用鋼板的張數(shù)最少？

解：設(shè)需截第一種鋼板x張，其次種鋼板y張，共需截這兩張鋼板z張，則

?2x?y?15?x?2y?18???x?3y?27?x?0???y?0

目標(biāo)函數(shù)為：z?x?y

圖3-1

得到圖3-1的平面區(qū)域（陰影部分）為可行域。由圖3-1可以看出，當(dāng)直線z?x?y經(jīng)過可行域上的點M時，截距z最小。解方程組：??x?3y?27，

2x?y?15?得???1839?為點M的坐標(biāo)，，???55?1839?1839?，不是整數(shù)，所以點??5，5??不是最優(yōu)解，經(jīng)過可行域內(nèi)的整數(shù)點，得到B（3,9）55??

由于

和C（4,8），是最優(yōu)解。

綜上所述，線性規(guī)劃的問題要結(jié)合線性方程組進(jìn)行求解。3.2三角恒等式方面的應(yīng)用

例6已知sin??sin??1，cos??cos??0,求出cos?????。

分析：要解決此題，首先要找???與?和?的關(guān)系，題中解的是兩角差的余弦，根據(jù)公式

cos??????cos?cos??sin?sin?就可以求出答案。重點是求出?和?的正弦和余弦，已知

sin??sin??1，cos??cos??0，就可以聯(lián)立線性方程組求出?和?的正弦和余弦，代入公

式就可以求出。

?sin??sin??1解：由已知?

cos??cos??0?兩式分別平方再相加得：2?2?sin?sin??cos?cos???1

5

化簡得到：cos??????cos?cos??sin?sin???1。2綜上所述，三角恒等式方面的問題，可以利用和角、差的問題，轉(zhuǎn)化為線性方程組求解。3.3幾何方面的應(yīng)用

幾何，即研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。與分析、代數(shù)等具有重要的地位，并且關(guān)系較為密切，是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們主要學(xué)習(xí)的是平面幾何，立體幾何。

平面幾何研究的是直線和二次曲線（即圓錐曲線，也就是橢圓、雙曲線和拋物線），以及它們的幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)（包括長度、角度、面積）。平面幾何采用的是公理化的方法。

立體幾何是三維空間解析幾何的研究范圍，研究的是二次曲面的幾何分類問題，二次曲面如球面，橢球面、錐面、雙曲面。

例7已知兩點為p1?8,?6?p2??2,0?，求滿足條件的直線方程。

分析：已知兩點要求直線方程，中學(xué)大多用兩點式方程公式求解，運用兩點式公式首先需要記住公式，最終還要化簡。我們可以嘗試用線性方程組的方法求解，兩點式公式也是由線性方程組推導(dǎo)出來的。對于解決此題，我們首先設(shè)出直線方程的一般形式：ax?by?c?0，再列出線性方程組，根據(jù)線性方程組理論列出行列式化簡就可得出。

解：設(shè)此直線方程為：ax?by?c?0

?ax?by?c?0?根據(jù)題意可得：?8a???6?b?c?0

??2a?c?0?這是一個關(guān)于a，b，c的齊次線性方程組，根據(jù)直線方程的a，b，c不同時為零，要使方程組有非零解，它的充分必要條件就是系數(shù)行列式為零。

xy1即：8?61?0，展開化簡得：3x?5y?6?0

?201所以滿足條件的直線方程為：3x?5y?6?0

綜上所述，直接利用線性方程組與系數(shù)行列式的關(guān)系，展開行列式，得到直線方程。例8已知空間兩直線l1與l2相交，直線l1過點p1??5,?1,?4?且與平面?：3x?y?4z?0平行，直線l2的方程為:

x?4y?2z?3??,求過直線l1的方程。132分析：對于此題，直線l1是可由p1??5,?1,?4?和它的方向向量v1來確定，直線l2也可由

?????p2??4,?2,?3?和它的方向向量v2?1,3,2?來確定，要求直線l1的方程，首先要找到p1p2,v1,v2的

6

相互關(guān)系，兩直線l1與l2相交，可得p1p2,v1,v2?0。直線l1與平面?平行，聯(lián)立線性方程組求解即可得出直線l1的方程

??。

解：設(shè)直線l1的方向向量為v1??X,Y,Z?。

根據(jù)題意可得：P1P2??1,?1,1?,v1??X,Y,Z?,v2??1,3,2?

1?11可知兩直線l1與l2相交，即：XYZ?0,

132展開化簡得：5X?Y?4Z?0

?5X?Y?4Z?0l直線1與平面?平行，即：?,

3X?Y?4Z?0?令Z為自由未知量，取Z=1。

?X?4?解得：?Y??16

?Z?1?所以直線l1的方程為：

x?5y?1z?4??。4?161綜上所述，利用空間兩直線的公式，列出行列式，結(jié)合線性方程組求出直線方程。3.5比例問題方面的應(yīng)用

比例是各個部分在總體中的數(shù)量占總體數(shù)量的比重，反映的是總體的構(gòu)成或結(jié)構(gòu)。比例表示的是兩個比相等的式子。判斷兩個比能否構(gòu)成比例，就要看它們的比值是否相等。

例9已知實數(shù)xyz?0，滿足條件

xyzx?y?z???，則x?y?z的值為多少？x?1y?2z?33分析：根據(jù)題意可以把k設(shè)為條件的比例值，把上述比例關(guān)系分別進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再用含k的式子來表示x,y,z，要求x?y?z，事實上只需要求出k的值即可。

??????解：根據(jù)題意可得：???????x?kx?1y?ky?2，

z?kz?3x?y?z?k37

k?x??1?k?2k?通過化簡整理得到：?y?

1?k?3k?z??1?k?把x,y,z的值代入x?y?z?3k,得到：

6k?3k1?k即k2?k?0，解得k?0（與題意不合）,或k??1。得到x?y?z??3。

例10設(shè)xyz?0，

y?zz?xx?y

?a,?b,?c,求證：a?b?c?abc?0

。

y?zz?xx?y證明：根據(jù)題意可知：y?z?a?y?z?,z?x?b?z?x?,x?y?c?x?y?。

??a?1?y??a?1?z?0?即：??b?1?x??b?1?z?0

??c?1?x??c?1?y?0?由于xyz?0，所以上述方程是關(guān)于x,y,z的齊次線性方程組，它有非零解，系數(shù)行列式為零。

0即：b?1a?1a?10b?1?0

c?1c?10行列式展開整理得：a?b?c?abc?0。例11若滿足

q?rr?pp?q???k，且p?q?r?0,求k的值。pqr解：由已知得：q?r?pk,r?p?qk,p?q?rk

??kp?q?r?0?即：?p?kq?r?0，

?p?q?kr?0?上述方程是關(guān)于p,q,r的一個齊次線性方程組，由于p,q,r都在分母上，所以它們不同時為零，所以方程組有非零解，系數(shù)行列式為零。

?k11即：1?k1?0

8

11?k

展開整理得：?k?1?k2?k?2?0,即?k?1??k?2??0

2??得k??1或k?2。例12設(shè)a,b,c為正實數(shù)，求

3a?c6a?5b?4c3c

??的最小值。

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c?x?3a?3b?2c?3a?c?3y?2xx?y?b+c???解：令?y?3a?2b?c，則：?，所以：?6a?5b?4c?z?x

?z?y?c?z?3a?2b?2c?c?z?y??從而得：

3a?c6a?5b?4c3c??

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c?3y?2xz?y3?z?y???xyz3yxz3y???xyyz??5???5?23?23??17?43???當(dāng)且僅當(dāng)：????即

3yx??xy?x?3y，即：?時取等號。

z3y??z?3y?yz3a?c6a?5b?4c3c??取最小值，最小值為??17?43。

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c綜合上述的例子，可將比例問題轉(zhuǎn)化為線性方程組問題，用線性方程組進(jìn)行求解，便得出所求結(jié)果。

3.6方程有關(guān)方面的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程是含有未知數(shù)的等式。方程的定義不止一個，還有函數(shù)定義法，關(guān)系定義等，含未知數(shù)的等式也不一定就是方程，像0x=0這樣的等式就不是方程，方程表示的是兩個數(shù)學(xué)式（譬如兩個數(shù)、量、運算、函數(shù)）之間有相等關(guān)系的等式，在這兩者之間用等號連接，使等式成立的未知數(shù)的值叫做方程的“解〞或“根〞。

例13甲從距A地5m處出發(fā)，以50m/h的速度前進(jìn)，同時，乙從距A地15m處與甲同向出發(fā)，以30m/h的速度前進(jìn)，甲乙能否相遇？相遇時他們出發(fā)了多少小時？

解：設(shè)甲，乙在距A點y處相遇，相遇時間為x，對于甲y關(guān)于x的關(guān)系為：y?50x?5，對于乙y關(guān)于x的關(guān)系為：y?30x?15

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聯(lián)立可得??y?50x?5，

?y?30x?15?x?0.5解得：?

y?30?甲，乙能相遇，相遇時出發(fā)了0.5h。

綜上所述，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為方程問題，建立線性方程組，用線性方程組求解。

例14把一堆書分給幾名同學(xué)，若每人分得3本，則還剩余4本；若每名同學(xué)分5本，那么前面的同學(xué)每人都分得5本，只有最終一名分到1本，求這堆書有幾本？共有幾名同學(xué)?

分析：設(shè)學(xué)生有x名，根據(jù)題中“每人分得3本，則還剩余4本〞就可以用含x的代數(shù)式表示出這堆書，再依據(jù)“前面的同學(xué)每人都分得5本，只有最終一名分到1本〞列出不等式，進(jìn)行求解，就可以求出有多少本書，多少名同學(xué)。

解：設(shè)有x名同學(xué)，y本書。根據(jù)題意可得：??y?3x?4，

y?5(x?1)?1?解得：??x?4

?y?16綜上所述，剩余定理結(jié)合線性方程組進(jìn)行求解。3.7實際問題

在生活中，有些問題線性方程組與實際問題的聯(lián)系較為緊湊，用線性方程組來解決比較簡便。例15若購買45件甲商品和18件乙商品要用990元，購買86件甲商品和32件B乙商品要用1880元，甲商品和乙商品打了一致的折扣后，買250件甲商品和300件乙商品用了5200元，打折后比打折前少花多少錢？

分析：根據(jù)題目給出的條件，找出適合的等量關(guān)系，列出方程組，再求解。得到甲商品和乙商品的原價，求出原價購買250件甲商品和300件乙商品與打折購買的差即解此題。

解：設(shè)甲商品的原價為x元，乙商品原價為y元。根據(jù)題意得：??45x?18y?990，

86x?32y?1880?解得：??x?20，

?y?5打折后與打折前的差為：?250?20?300?5??5200?1300故打折后比打折前少花1300元錢

綜上所述，商品打折問題是生活中常遇到的問題，將其轉(zhuǎn)化為線性方程組問題，會使問題簡單

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易求解。

例16（2023年山東省公務(wù)員·54）某劇場A、B兩間影視廳分別坐有觀眾43人和37人。假使將B廳的人往A廳調(diào)動，當(dāng)A廳滿座后，B廳內(nèi)剩下的人數(shù)占B廳容量的

1。假使將A廳內(nèi)剩下的2人往B廳調(diào)動，當(dāng)B廳滿座后，A廳內(nèi)剩下的人數(shù)占A廳容量的

1。問B廳能容納多少人？3分析：無論A廳和B廳的觀眾如何移動，觀眾的總?cè)藬?shù)都是固定不變的。解：設(shè)A廳能容納x人，B=廳能容納y人。

1?x?y?43?37??2根據(jù)題意得：??1x?y?43?37??3解得y=64

故B廳能容納64人。

綜上所述，實際生活中的問題也可以聯(lián)立線性方程組進(jìn)行求解。3.8其他方面的應(yīng)用

線性方程組不僅在數(shù)列、不等式、方程、比例、幾何、實際問題這六方面有應(yīng)用，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用。

例17已知x,y都是正整數(shù)，滿足條件xy?x?y?42,xy?xy?360，求出x2?y2的值。分析：看到此類的題目常規(guī)方法是根據(jù)條件聯(lián)立方程解出x,y的值，再代入x2?y2就可以得出。這種解法相對來說比較麻煩，若把xy,x?y分別看為一個整體為u,v，構(gòu)造線性方程組進(jìn)行求解，要簡便一些。

解：把xy,x?y分別設(shè)為u,v。

則：xy?x?y?42可轉(zhuǎn)化為u?v?42,xy?xy?360可轉(zhuǎn)化為uv?360,

2222?u?v?42?u?30得到：?解得：?

uv?360v?12??2222根據(jù)平方差公式可得：x?y??x?y??2xy?u?v?756。

2例18已知函數(shù)

f?x??mx2?nx,x??1,3?,試確定m,n的關(guān)系式。

分析：要確定m,n的關(guān)系式，根據(jù)已知條件可從定義域入手，為了計算的便利，在取值過程中一般選擇計算簡便的值。

11

?f?1??m?n?解：根據(jù)題意可得：?f?2??4m?2n,○1

?f?3??9m?3n??m?n?f?1??0?把方程組○1變形為：?4m?2n?f?2??0，○2

?9m?3n?f?3??0?此時，方程組○2可以看成是一個關(guān)于m,n,f(x)的一個齊次線性方程組，而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：系數(shù)行列式為零。

11f?1?即：42f?2??0

93f?3?展開化簡得：3f?1??3f?2??f?3??0○3

把○1式f?1?,f?2?,f?3?的值代入○3式得：3m?3n?12m?6n?9m?3n?24m?12n?0即：m??1n21n。2故m,n的關(guān)系式為：m??綜合上述例子，處理多個變量函數(shù)的最值問題、求解函數(shù)表達(dá)式的問題，對于中學(xué)生是一個困難的問題，利用線性方程組，用特別的技巧進(jìn)行處理。

4.終止語

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)合數(shù)學(xué)對應(yīng)