高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

第7頁(yè)（共7頁(yè)）《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)執(zhí)教者指導(dǎo)教師一、教學(xué)目標(biāo)：1．認(rèn)知目標(biāo)：（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)；（2）理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書(shū)寫(xiě).2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。.二、教學(xué)重點(diǎn)：證明整除性問(wèn)題，證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問(wèn)題．三、教學(xué)難點(diǎn)：在P(k)P(k+1)遞推時(shí)，找出n=k與n=k+1時(shí)的遞推公式.四、內(nèi)容分析：

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是教學(xué)的重點(diǎn)，本節(jié)課著重是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整式問(wèn)題、整除性問(wèn)題和與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問(wèn)題，主要是探索遞推關(guān)系，教會(huì)學(xué)生思維，離開(kāi)研究解答問(wèn)題的思維過(guò)程幾乎是不可能的.因此在日常教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中，必須把教學(xué)集中在問(wèn)題解答或解答問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程上.理清思路是教學(xué)的重點(diǎn).即遞推關(guān)系的探索發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等思維過(guò)程的暴露，知識(shí)形成過(guò)程的揭示為教學(xué)重點(diǎn).用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，從決定n=k時(shí)，P(k)做何種變形，一般地只有將n=k+1時(shí)P(k+1)的整式進(jìn)行分拆配湊成P(k)的形式，再利用歸納假設(shè)和基本事實(shí).這個(gè)變形是難點(diǎn).用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題時(shí)，難點(diǎn)就是在P(k)P(k+1)遞推時(shí)，找出n=k與n=k+1時(shí)的遞推公式，這是關(guān)鍵所在.五、教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)引入：1.數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法2.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.（3）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確總結(jié)：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.（二）例題講解：類型一證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明1）第一步應(yīng)做什么？此時(shí)n0=，左，2)當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊共有項(xiàng)，第k項(xiàng)是。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即_______________________________________________________________3）當(dāng)n=k+1時(shí)，命題的形式是4）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是5)從左到右如何變形？證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立變式訓(xùn)練1、用數(shù)學(xué)歸納法證:(n≥2,n∈N)過(guò)程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，不等式左邊的變化是（）：（課堂練習(xí)）(2)用數(shù)學(xué)歸納法證:(n≥2,n∈N)過(guò)程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左式所需添加的項(xiàng)數(shù)為（C）：（課后練習(xí)）Ａ.１項(xiàng)Ｂ.項(xiàng)Ｃ.項(xiàng)Ｄ項(xiàng)類型二證明整除問(wèn)題變式訓(xùn)練:用數(shù)學(xué)歸納法證明:能被8整除.類型三證明不等式問(wèn)題例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明:分析：此題關(guān)鍵在于從n=k到n=k+1不等式左端的變化變式訓(xùn)練求證:四、小結(jié)：1、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：（1）整式問(wèn)題（2）整除問(wèn)題（3）不等式問(wèn)題2、處理第二步中的技巧和方法：第二步中證明n=k+1時(shí)命題成立是全局的主體，主要注意兩個(gè)“湊”：一是湊n=k時(shí)的形式，(必須用上歸納假設(shè))二是湊目標(biāo)式。五、課后作業(yè)：（一）、必做題1、用數(shù)學(xué)歸納法證明下式(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；(2)當(dāng)n=k時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；(3)當(dāng)n=k+1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時(shí)有什么不同?左邊增加兩項(xiàng):_____________右邊增加兩項(xiàng):__________,減少一項(xiàng):________2、用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明能被13整除，（其中n∈N*）3、用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)（二）、選做題1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),能被x+y整除.2、平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n-1)/2.六、板書(shū)（略）學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)歸納推理，以及一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明方法，并且已經(jīng)開(kāi)始使用與正整數(shù)有關(guān)的結(jié)論（在求曲邊梯形面積中），但學(xué)生只是停留在認(rèn)知階段，對(duì)問(wèn)題本質(zhì)沒(méi)有作更進(jìn)一步的研究。另外高二學(xué)生經(jīng)過(guò)了一年半的高中學(xué)習(xí)之后，初步具備了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)于貼近生活實(shí)際的問(wèn)題，學(xué)生基本上能夠掌握和解答，并能夠做到靈活運(yùn)用。但有部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，缺乏分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，特別分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力較差，對(duì)所學(xué)知識(shí)達(dá)不到學(xué)以致用，抓不住重點(diǎn)。但也初步具有了發(fā)現(xiàn)和探究問(wèn)題的能力，這為本節(jié)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法奠定了一定的基礎(chǔ)。效果分析本課能密切聯(lián)系學(xué)生的學(xué)習(xí)生活實(shí)際，精心選取典型的的事例，結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)歷和體驗(yàn)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的課堂活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；設(shè)計(jì)科學(xué)合理、有思維價(jià)值的問(wèn)題，讓學(xué)生在感悟、討論、交流、辯論中深化自己的思想認(rèn)識(shí)，形成正確的價(jià)值觀念，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主合作、分析探究問(wèn)題的能力。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動(dòng)去獲取知識(shí)，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，使數(shù)學(xué)知識(shí)人文化，使抽象的問(wèn)題具體化，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。教材分析歸納是一種由特殊事例導(dǎo)出一般規(guī)律的思維方法．歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種．不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的．完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中有著廣泛的應(yīng)用．

“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。它貫通了高中代數(shù)的幾大知識(shí)點(diǎn)：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)??在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)著力解決的內(nèi)容是：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用）。只有真正了解了數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握了證題步驟，學(xué)生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關(guān)問(wèn)題。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，有兩大難點(diǎn)：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中歸納假設(shè)的利用。不突破以上難點(diǎn)，學(xué)生往往會(huì)懷疑數(shù)學(xué)歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會(huì)對(duì)以后的學(xué)習(xí)造成極大的阻礙。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際水平，本節(jié)課采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”和“講練結(jié)合法”。通過(guò)課件的動(dòng)畫(huà)模擬展示，引發(fā)和開(kāi)啟學(xué)生的探究熱情，通過(guò)“師生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深層實(shí)質(zhì)。評(píng)測(cè)練習(xí)一、選擇題1．已知等式，以下說(shuō)法正確的是（）A．僅當(dāng)時(shí)等式成立B．僅當(dāng)時(shí)等式成立C．僅當(dāng)時(shí)等式成立D．為任何自然數(shù)時(shí)等式都成立2．設(shè)f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）－f（n）等于（）A. B.C.+ D.－3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為（）A.2k+1B.2（2k+1）C.D.4．如果命題P（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對(duì)n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.P（n）對(duì)n∈N*成立B.P（n）對(duì)n＞4且n∈N*成立C.P（n）對(duì)n＜4且n∈N*成立D.P（n）對(duì)n≤4且n∈N*不成立5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A.2k－1B.2k－1C.2kD.2k+1二、填空題…6．在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）.…7．觀察下表：12343456745678910……設(shè)第n行的各數(shù)之和為Sn，則Sn＝.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是.三、解答題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明10．在各項(xiàng)為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足（1）求（2）由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．11．試證當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．課后反思1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開(kāi)始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問(wèn)題，讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來(lái)，把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問(wèn)題之中，在逐漸展開(kāi)中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得知識(shí)體系的更新與拓展．3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時(shí)必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過(guò)程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向．課標(biāo)分析數(shù)學(xué)歸納法作為直接證明的一種特殊方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。人教課標(biāo)版教科書(shū)把數(shù)學(xué)歸納法安排在選修2-2第二章推理與證明中