材料力學(xué)I第三章

材料力學(xué)I第三章第1頁(yè)/共80頁(yè)2圓軸扭轉(zhuǎn)變形動(dòng)畫第2頁(yè)/共80頁(yè)3

本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實(shí)心或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。第3頁(yè)/共80頁(yè)4§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒——通常指的圓筒

當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)第4頁(yè)/共80頁(yè)5薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)動(dòng)畫第5頁(yè)/共80頁(yè)6Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：(1)圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng),形狀及尺寸不變；(2)縱向直線在小變形情況下保持為直線,但發(fā)生傾斜;(3)圓周線之間的距離保持不變。第6頁(yè)/共80頁(yè)7推論：(1)橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣；(2)相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，橫截面之間的距離未變。第7頁(yè)/共80頁(yè)8橫截面上的應(yīng)力：(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力(shearingstress)，且圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力相同；(2)對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無正應(yīng)力。第8頁(yè)/共80頁(yè)9引進(jìn)，上式亦可寫作Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：由根據(jù)應(yīng)力分布可知

，于是有(3-1)第9頁(yè)/共80頁(yè)10Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圓筒表面上每個(gè)格子的直角均改變了g，這種直角改變量稱為切應(yīng)變(shearingstrain)。(2)該圓筒兩個(gè)端面之間繞圓筒軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了j角，這種角位移稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。(3)在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下,有由于很小,故可近似為即g=jr0/l(3-2)此處r0為薄壁圓筒的平均半徑。第10頁(yè)/共80頁(yè)11

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t

不超過材料的剪切比例極限tp時(shí)，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j成線性正比例關(guān)系，從而可知t

與g亦成線性關(guān)系：

這就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系數(shù)G稱為材料的切變模量(shearmodulus)。鋼材的切變模量的約值為：G=80GPa(3-3)第11頁(yè)/共80頁(yè)12§3-3傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動(dòng)軸的外力偶矩

當(dāng)傳動(dòng)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于某一輪上的外力偶在t秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶之矩Me乘以輪在t秒鐘內(nèi)的轉(zhuǎn)角a

。第12頁(yè)/共80頁(yè)13

因此，外力偶Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為

因此，在已知傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n(亦即傳動(dòng)軸上每個(gè)輪的轉(zhuǎn)速)和主動(dòng)輪或從動(dòng)輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計(jì)算作用于每一輪上的外力偶矩：(3-4)第13頁(yè)/共80頁(yè)14

主動(dòng)輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，而從動(dòng)輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。第14頁(yè)/共80頁(yè)15Ⅱ.扭矩及扭矩圖

傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來計(jì)算?？煞抡蛰S力圖的方法繪制扭矩圖第15頁(yè)/共80頁(yè)16

扭矩圖中扭矩的正負(fù)規(guī)定可按其轉(zhuǎn)向的右手螺旋法則表示：扭矩矢量離開截面在扭矩圖中的取值為正，畫在橫軸的上方;扭矩矢量指向截面為負(fù),畫在橫軸的下方。第16頁(yè)/共80頁(yè)17

一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min，轉(zhuǎn)向如圖所示。主動(dòng)輪A輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)B、C、D輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。例題3-1第17頁(yè)/共80頁(yè)181.

計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩

主動(dòng)輪上M1的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相同，從動(dòng)輪上的M2、M3、M4的轉(zhuǎn)向和軸的轉(zhuǎn)向相反。例題3-1由(3-4)式可列得第18頁(yè)/共80頁(yè)192.

計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi),扭矩如圖所測(cè)：CA段內(nèi)：AD段內(nèi)：例題3-1得負(fù)值表明所設(shè)方向與實(shí)際相方,其轉(zhuǎn)向的右手螺旋應(yīng)指向截面第19頁(yè)/共80頁(yè)203.

作扭矩圖:根據(jù)扭矩的正負(fù)規(guī)定和以上結(jié)果,畫出扭矩圖如下

由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。例題3-1扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)第20頁(yè)/共80頁(yè)21§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件Ⅰ.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問題的靜力學(xué)方面)第21頁(yè)/共80頁(yè)221.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個(gè)角度g

。平面假設(shè)——等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。(1)幾何方面第22頁(yè)/共80頁(yè)232.橫截面上一點(diǎn)處()的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr第23頁(yè)/共80頁(yè)24

式中——相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j

沿桿長(zhǎng)的變化率，常用j'

來表示，對(duì)于給定的橫截面為常量。

可見，在橫截面的同一半徑

r的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變gr

均相同；gr與r成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr第24頁(yè)/共80頁(yè)25(2)物理方面由剪切胡克定律t

=Gg

知

可見，在橫截面的同一半徑r

的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力tr

均相同，其值

與r成正比，其方向垂直于半徑。第25頁(yè)/共80頁(yè)26其中稱為橫截面的極慣性矩Ip(單位:m4)，它是橫截面的幾何性質(zhì)。(3)靜力學(xué)方面將前式代入上式(3-6)從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)()處切應(yīng)力計(jì)算公式以代入上式得：(3-5)第26頁(yè)/共80頁(yè)27橫截面圓周邊上各點(diǎn)處(r

=r)的最大切應(yīng)力為(3-6)式中定義

稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單位為m3。(3-7)第27頁(yè)/共80頁(yè)28(1)實(shí)心圓截面Ⅱ.圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp(3-8)(3-9)第28頁(yè)/共80頁(yè)29(2)空心圓截面(3-10)(3-11)第29頁(yè)/共80頁(yè)30

以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切向截面)從受扭的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點(diǎn)處截取一微小的正六面體——單元體。Ⅲ.單元體·切應(yīng)力互等定理

由單元體的平衡條件∑Fx=0和∑Mz=0知單元體的上、下兩個(gè)平面(即桿的徑向截面上)必有大小相等、指向相反的一對(duì)力t'dxdz并組成其矩為(t'dxdz)dy力偶?？傻?3.12)第30頁(yè)/共80頁(yè)31

即單元體的兩個(gè)相互垂直的面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力t

和t

數(shù)值相等，且均指向(或背離)該兩個(gè)面的交線——切應(yīng)力互等定理。第31頁(yè)/共80頁(yè)32

現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于正六面體前、后兩平面的任一斜截面ef(如圖)上的應(yīng)力。Ⅳ.斜截面上的應(yīng)力第32頁(yè)/共80頁(yè)33分離體上作用力的平衡方程為利用t

=t

'，經(jīng)整理得dA第33頁(yè)/共80頁(yè)34由此可知：(1)單元體的四個(gè)側(cè)面(a

=0°和a

=90°)上切應(yīng)力的絕對(duì)值最大,正應(yīng)力為零；(2)a

=-45°和a

=+45°截面上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對(duì)值最大；即代入(1)式得(1)(2)第34頁(yè)/共80頁(yè)35

至于上圖所示單元體內(nèi)不垂直于前、后兩平面的任意斜截面上的應(yīng)力，經(jīng)類似上面所作的分析可知，也只與單元體四個(gè)側(cè)面上的切應(yīng)力相關(guān)。因此這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。第35頁(yè)/共80頁(yè)36低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示第36頁(yè)/共80頁(yè)37低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口第37頁(yè)/共80頁(yè)38鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示第38頁(yè)/共80頁(yè)39鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口第39頁(yè)/共80頁(yè)40

直徑為d1的實(shí)心圓軸Ⅰ(圖a)和內(nèi)、外直徑分別為d2和D2，a＝d2/D2=0.8的空心圓軸Ⅱ(圖b),兩軸的長(zhǎng)度、材料、扭矩分別相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2與d1之比以及兩軸的重量比。例題3-2第40頁(yè)/共80頁(yè)411.分別求兩軸的最大切應(yīng)力例題3-2代入(3-7)得(1)(2)第41頁(yè)/共80頁(yè)422.求D2/d1和二軸重量之比。由t1,max=t2,max，比較(1)、(2)式并將a

＝0.8代入得因?yàn)閮奢S的長(zhǎng)度l和材料密度r分別相同，所以兩軸的重量比即為其橫截面面積之比例題3-2第42頁(yè)/共80頁(yè)43

切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖c、d所示，當(dāng)tmax＝[t]時(shí)，實(shí)心軸圓心附近的切應(yīng)力還很小，這部分材料沒有充分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實(shí)心軸輕。但應(yīng)注意過薄的圓筒受扭時(shí)容易發(fā)生皺折，還要注意加上成本和構(gòu)造上的要求等因素。zmaxd1(c)tmaxD2d2(d)例題3-2第43頁(yè)/共80頁(yè)44Ⅴ.強(qiáng)度條件此處[t]為材料的許用切應(yīng)力。對(duì)于等直圓軸代入（3-7)式亦即

鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系，故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。(3.13)(3.14)第44頁(yè)/共80頁(yè)45

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。例題3-4第45頁(yè)/共80頁(yè)461.

繪扭矩圖例題3-4解：第46頁(yè)/共80頁(yè)47AB段內(nèi)2.分別求每段軸橫截面上的最大切應(yīng)力例題3-4第47頁(yè)/共80頁(yè)48BC段內(nèi)2.求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力例題3-4第48頁(yè)/共80頁(yè)493.

校核強(qiáng)度

t2,max>t1,max'且有t2,max<[t]=80MPa，故該軸滿足強(qiáng)度條件。例題3-4

階梯狀圓軸，其，必須綜合考慮扭矩和Wp兩個(gè)因素，AB段的扭矩大，直徑d1也大，BC段的扭矩小，直徑也小，必須分別計(jì)算兩段軸的tmax，經(jīng)比較后才能確定tmax。第49頁(yè)/共80頁(yè)50例題3-4

注意：階梯狀圓軸在兩段連接處有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計(jì)算中對(duì)此并未考慮。第50頁(yè)/共80頁(yè)51§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形

等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移)

j

來度量。MeADBCMejg第51頁(yè)/共80頁(yè)52

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(3-5)式(亦稱單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為可知，桿的相距l(xiāng)的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為

當(dāng)?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時(shí)有(3-15)的單位為rad,其正負(fù)號(hào)隨扭矩T而定.由上式知扭轉(zhuǎn)角與成反比,故稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度.第52頁(yè)/共80頁(yè)53

圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，鋼的切變模量G=80GPa。試求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jBC。(a)例題3-5第53頁(yè)/共80頁(yè)541.

用截面法求出I、II兩段軸內(nèi)的扭矩分別為(a)例題3-5解：第54頁(yè)/共80頁(yè)55(a)2.

分別計(jì)算B、C截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)jAB、jAC，設(shè)A截面固定不動(dòng)：jAB、jAC的轉(zhuǎn)向如圖a所示。例題3-5由(3-15)式可列出第55頁(yè)/共80頁(yè)56(a)3.

C截面相對(duì)于B截面的扭轉(zhuǎn)角為設(shè)B固定不動(dòng)，jBC的轉(zhuǎn)向與M3相同。例題3-5第56頁(yè)/共80頁(yè)57Ⅱ.剛度條件式中的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[j‘]的常用單位是(°)/m。此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為(即將(3-5)式代入上式)：對(duì)于精密機(jī)器的軸[j‘]≈0.15~0.30(°)/m；對(duì)于一般的傳動(dòng)軸[j']≈2(°)/m。(°)(°)(3.17)(3.18)第57頁(yè)/共80頁(yè)58

由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的最大扭矩Tmax=9.56kN·m，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[j']=0.3(°)/m。試選擇軸的直徑。例題3-6第58頁(yè)/共80頁(yè)591.按強(qiáng)度條件求所需外直徑D例題3-6解：第59頁(yè)/共80頁(yè)602.按剛度條件求所需外直徑D例題3-6第60頁(yè)/共80頁(yè)613.空心圓截面軸所需外直徑為D≥125.5mm(由剛度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)a

=d/D=0.5知例題3-6第61頁(yè)/共80頁(yè)62§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體(圖a)，為計(jì)算其上的外力所作功dW可使左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力t僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。第62頁(yè)/共80頁(yè)63于是，當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)(t

≤tp，見圖b)，有第63頁(yè)/共80頁(yè)64由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為

單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dVe數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVe=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為(3-19)第64頁(yè)/共80頁(yè)65等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能(3-20)

在扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為由可知，亦有(3-21a)(3-21c)第65頁(yè)/共80頁(yè)66

當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為

在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩T為常量，其長(zhǎng)度為l范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：結(jié)果與前頁(yè)用應(yīng)變能密度積分得的結(jié)果相同.第66頁(yè)/共80頁(yè)67

試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線升角a

<

5°)受軸向壓力(拉力)F作用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧縮短(伸長(zhǎng))變形的近似計(jì)算公式。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料的切變模量G。設(shè)d<<(2R)。例題3-7第67頁(yè)/共80頁(yè)681.用截面法求簧桿橫截面上的內(nèi)力

對(duì)于密圈螺旋彈簧可近似認(rèn)為螺旋線升角a≈0o，簧桿的橫截面就在外力F作用的彈簧軸線所在縱向平面內(nèi)，由圖b所示的分離體的平衡方程得剪力

FS=F扭矩

T=FR(b)例題3-7解：第68頁(yè)/共80頁(yè)692.求簧桿橫截面上的應(yīng)力

簧桿橫截面上與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩T相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。因?yàn)閐<<(2R)，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去簧圈的曲率影響，按直桿公式計(jì)算。于是有例題3-7Rd第69頁(yè)/共80頁(yè)703.求彈簧的縮短(伸長(zhǎng))變形D

當(dāng)彈簧所受外力F不超過一定限度時(shí)變形D與外力F成線性關(guān)系(如圖c)。于是外力所作的功為(c)例題3-7第70頁(yè)/共80頁(yè)71

不計(jì)FS的影響，并忽略簧桿的曲率，簧桿內(nèi)的應(yīng)變能Ve為(用(3-21a)的直桿公式):式中l(wèi)=2pRn，表示簧桿軸線的全長(zhǎng)，Ip為簧桿橫截面的極慣性矩。根據(jù)能量守恒原理W=，即如令，則有，式中k為彈簧的剛度系數(shù)(N/m)。例題3-7第71頁(yè)/共80頁(yè)72

以上分析中，不計(jì)螺旋線升角產(chǎn)生的切應(yīng)力和應(yīng)變能，并用直桿公式計(jì)算扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和應(yīng)變能，由此得到的和均比實(shí)際值偏小。例題3-7第72頁(yè)/共80頁(yè)73§