材料力學(xué)梁彎曲時(shí)的位移

材料力學(xué)梁彎曲時(shí)的位移第1頁(yè)/共57頁(yè)2§5-1

梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角

直梁在對(duì)稱(chēng)平面xy內(nèi)彎曲時(shí)其原來(lái)的軸線(xiàn)AB將彎曲成平面曲線(xiàn)AC1B。梁的橫截面形心(即軸線(xiàn)AB上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線(xiàn)位移w稱(chēng)為撓度(deflection)，橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移q稱(chēng)為橫截面的轉(zhuǎn)角(angleofrotation)。第五章梁彎曲時(shí)的位移第2頁(yè)/共57頁(yè)3

彎曲后梁的軸線(xiàn)——撓曲線(xiàn)(deflectioncurve)為一平坦而光滑的曲線(xiàn)，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱(chēng)為撓曲線(xiàn)方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線(xiàn)保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q也就是撓曲線(xiàn)在該相應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：第五章梁彎曲時(shí)的位移第3頁(yè)/共57頁(yè)4

直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線(xiàn)曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線(xiàn)的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。第五章梁彎曲時(shí)的位移(a)(b)第4頁(yè)/共57頁(yè)5

在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)；

順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。第五章梁彎曲時(shí)的位移第5頁(yè)/共57頁(yè)6§5-2

梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分Ⅰ.

撓曲線(xiàn)近似微分方程的導(dǎo)出

在§4-4中曾得到等直梁在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線(xiàn)的曲率的表達(dá)式。第五章梁彎曲時(shí)的位移第6頁(yè)/共57頁(yè)7

在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力FS對(duì)梁的變形的影響可略去不計(jì)，而有注意：對(duì)于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核電站中會(huì)遇到的那樣，梁的翼緣由不銹鋼制作，而主要承受剪力的腹板則由價(jià)廉但切變模量較小的復(fù)合材料制作，此時(shí)剪切變形對(duì)梁的變形的影響是不可忽略的。第五章梁彎曲時(shí)的位移第7頁(yè)/共57頁(yè)8從幾何方面來(lái)看，平面曲線(xiàn)的曲率可寫(xiě)作式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(xiàn)(撓曲線(xiàn))彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w"是q=w'沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。第五章梁彎曲時(shí)的位移第8頁(yè)/共57頁(yè)9第五章梁彎曲時(shí)的位移再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w"

，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w"

，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線(xiàn)為一平坦的曲線(xiàn)，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線(xiàn)近似微分方程第9頁(yè)/共57頁(yè)10Ⅱ.撓曲線(xiàn)近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線(xiàn)方程時(shí)可將上式改寫(xiě)為后進(jìn)行積分，再利用邊界條件(boundarycondition)確定積分常數(shù)。第五章梁彎曲時(shí)的位移第10頁(yè)/共57頁(yè)11

當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(例如圖中所示情況)有第五章梁彎曲時(shí)的位移

以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程。第11頁(yè)/共57頁(yè)12

邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示。第五章梁彎曲時(shí)的位移第12頁(yè)/共57頁(yè)13

若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫(xiě)出時(shí)，各段梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程也就不同。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件(constraintcondition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件(continuitycondition)。這兩類(lèi)條件統(tǒng)稱(chēng)為邊界條件。第五章梁彎曲時(shí)的位移第13頁(yè)/共57頁(yè)14

例題5-1

試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移第14頁(yè)/共57頁(yè)15解：該梁的彎矩方程為撓曲線(xiàn)近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得于是得該梁的邊界條件為：在x=0

處

，w=0第五章梁彎曲時(shí)的位移第15頁(yè)/共57頁(yè)16從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線(xiàn)方程

根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線(xiàn)應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線(xiàn)的示意圖。第五章梁彎曲時(shí)的位移第16頁(yè)/共57頁(yè)17可見(jiàn)該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有第五章梁彎曲時(shí)的位移第17頁(yè)/共57頁(yè)18

由此題可見(jiàn)，當(dāng)以x為自變量對(duì)撓曲線(xiàn)近似微分方程進(jìn)行積分時(shí)，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的：此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。第五章梁彎曲時(shí)的位移第18頁(yè)/共57頁(yè)19兩式中的積分在坐標(biāo)原點(diǎn)處(即x=0處)總是等于零，從而有事實(shí)上，當(dāng)以x為自變量時(shí)第五章梁彎曲時(shí)的位移第19頁(yè)/共57頁(yè)20思考:

試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和C2等于零嗎？第五章梁彎曲時(shí)的位移第20頁(yè)/共57頁(yè)21

例題5-2

試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移第21頁(yè)/共57頁(yè)22解：該梁的彎矩方程為撓曲線(xiàn)近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得：第五章梁彎曲時(shí)的位移第22頁(yè)/共57頁(yè)23該梁的邊界條件為在x=0處w=0，在x=l處w=0于是有即從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線(xiàn)方程第五章梁彎曲時(shí)的位移第23頁(yè)/共57頁(yè)24

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對(duì)值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為第五章梁彎曲時(shí)的位移第24頁(yè)/共57頁(yè)25

例題5-3

試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移第25頁(yè)/共57頁(yè)26解：約束力為兩段梁的彎矩方程分別為

為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第一項(xiàng)與方程M1(x)中的項(xiàng)相同。第五章梁彎曲時(shí)的位移第26頁(yè)/共57頁(yè)27兩段梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程亦需分段列出，并分別進(jìn)行積分：撓曲線(xiàn)近似微分方程積分得左段梁右段梁第五章梁彎曲時(shí)的位移第27頁(yè)/共57頁(yè)28

值得注意的是，在對(duì)右段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，對(duì)于含有(x-a)的項(xiàng)沒(méi)有以x為自變量而是以(x-a)作為自變量進(jìn)行積分的，因?yàn)檫@樣可在運(yùn)用連續(xù)條件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a確定積分常數(shù)時(shí)含有(x-a)2和(x-a)3的項(xiàng)為零而使工作量減少。又，在對(duì)左段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)仍以x為自變量進(jìn)行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁彎曲時(shí)的位移第28頁(yè)/共57頁(yè)29該梁的兩類(lèi)邊界條件為支座約束條件：在x=0處w1=0，在x=l處w2=0連續(xù)條件：在x=a處

，w1=w2第五章梁彎曲時(shí)的位移由兩個(gè)連續(xù)條件得：由支座約束條件w1|x=0=0得從而也有第29頁(yè)/共57頁(yè)30由另一支座約束條件w2|x=l=0有即從而也有第五章梁彎曲時(shí)的位移第30頁(yè)/共57頁(yè)31從而得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程如下：左段梁右段梁第五章梁彎曲時(shí)的位移第31頁(yè)/共57頁(yè)32左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為當(dāng)a>b時(shí)有第五章梁彎曲時(shí)的位移第32頁(yè)/共57頁(yè)33顯然，由于現(xiàn)在a>b，故上式表明x1<a，從而證實(shí)wmax確實(shí)在左段梁內(nèi)。將上列x1的表達(dá)式代入左段梁的撓曲線(xiàn)方程得

根據(jù)圖中所示撓曲線(xiàn)的大致形狀可知，最大撓度wmax所在

處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的轉(zhuǎn)角方程

等于零，得第五章梁彎曲時(shí)的位移第33頁(yè)/共57頁(yè)34

由上式還可知，當(dāng)集中荷載F作用在右支座附近因而b值甚小，以致

b2和

l2相比可略去不計(jì)時(shí)有它發(fā)生在處。而此時(shí)處(跨中點(diǎn)C)的撓度wC為第五章梁彎曲時(shí)的位移第34頁(yè)/共57頁(yè)35

當(dāng)集中荷載F作用于簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)(b=l/2)，最大轉(zhuǎn)角qmax和最大撓度wmax為

可見(jiàn)在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，跨中撓度與最大撓度也只相差不到3%。因此在工程計(jì)算中，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線(xiàn)上沒(méi)有拐點(diǎn)都可以跨中撓度代替最大撓度。第五章梁彎曲時(shí)的位移第35頁(yè)/共57頁(yè)36思考:

試?yán)L出圖示兩根簡(jiǎn)支梁的彎矩圖，并描出它們的撓曲線(xiàn)。并指出：(1)

跨中撓度是否最大？(2)跨中撓度的值是否接近最大撓度值？第五章梁彎曲時(shí)的位移l/4l/2第36頁(yè)/共57頁(yè)37§5-3按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角

當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線(xiàn)性關(guān)系。在此情況下，當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時(shí)，梁的某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)荷載或每種荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁的位移時(shí)的疊加原理(principleofsuperposition)。第五章梁彎曲時(shí)的位移第37頁(yè)/共57頁(yè)38

懸臂梁和簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡(jiǎn)支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的附錄Ⅳ中以及一些手冊(cè)中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。第五章梁彎曲時(shí)的位移第38頁(yè)/共57頁(yè)39

例題5-5

試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度

wC和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA及qB。第五章梁彎曲時(shí)的位移(a)

解：此梁

wC及qA，qB實(shí)際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄Ⅳ表中序號(hào)13情況下的公式得出。這里是作為靈活運(yùn)用疊加原理的例子，假設(shè)沒(méi)有可直接利用的現(xiàn)成公式來(lái)講述的。第39頁(yè)/共57頁(yè)40

作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)荷載的疊加(圖b)。第五章梁彎曲時(shí)的位移(b)(a)第40頁(yè)/共57頁(yè)41

在集度為q/2的正對(duì)稱(chēng)均布荷載作用下，利用本教材附錄Ⅳ表中序號(hào)8的公式有第五章梁彎曲時(shí)的位移C第41頁(yè)/共57頁(yè)42注意到反對(duì)稱(chēng)荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁

AC和右半跨梁

CB分別視為受集度為

q/2的均布荷載作用而跨長(zhǎng)為

l/2的簡(jiǎn)支梁。于是利用附錄Ⅳ表中序號(hào)8情況下的公式有第五章梁彎曲時(shí)的位移

在集度為q/2的反對(duì)稱(chēng)均布荷載作用下，由于撓曲線(xiàn)也是與跨中截面反對(duì)稱(chēng)的，故有C第42頁(yè)/共57頁(yè)43按疊加原理得第五章梁彎曲時(shí)的位移第43頁(yè)/共57頁(yè)44

例題5-6

試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD。第五章梁彎曲時(shí)的位移第44頁(yè)/共57頁(yè)45第五章梁彎曲時(shí)的位移

解：為利用本教材附錄Ⅳ中簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡(jiǎn)支梁(圖c)連接而成。原來(lái)的外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力和彎矩應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡(jiǎn)支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也應(yīng)與的正負(fù)相對(duì)應(yīng)，如圖b及圖c中所示。第45頁(yè)/共57頁(yè)46

圖c中所示簡(jiǎn)支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡(jiǎn)支梁B支座左側(cè)的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會(huì)引起彎曲后，便可知道按圖d和圖e所示情況由本教材附錄Ⅳ中的資料求Bq，

BM和wDq，wDM并疊加后得到的就是原外伸梁的

B和wD。第五章梁彎曲時(shí)的位移第46頁(yè)/共57頁(yè)47第五章梁彎曲時(shí)的位移第47頁(yè)/共57頁(yè)48

圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|·a應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA：第五章梁彎曲時(shí)的位移第48頁(yè)/共57頁(yè)49§5-6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

在本教材的§3-6中曾講述了等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能，并利用功能原理導(dǎo)出了密圈圓柱螺旋彈簧受壓(拉)時(shí)彈簧高度變化量的計(jì)算公式。

本節(jié)研究等直梁在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由于作用在梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理來(lái)求梁在簡(jiǎn)單荷載情況下的位移。第五章梁彎曲時(shí)的位移第49頁(yè)/共57頁(yè)50

等直梁在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)(圖a)，其曲率為常量，撓曲線(xiàn)為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在梁彎曲后對(duì)應(yīng)的圓心角為第五章梁彎曲時(shí)的位移(a)第50頁(yè)/共57頁(yè)51(b)

圖b示出了Me與q的上列線(xiàn)性關(guān)系