《【六大解答題】統(tǒng)計和概率專練》

2012屆高考數(shù)學（理）考前60天沖刺【六大解答題】

統(tǒng)計和概率

1.某學校為調(diào)查高三年學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高

情況的頻率分布直方圖（圖（D）和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））.已知圖（1）

中身高在170~175cm的男生人數(shù)有16人.

圖（1）圖（2）

（I）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少人？

（II）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下列的2x2列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分幾）的

把握認為“身高與性別有關(guān)”？

。170cm<170cm總計

男生身高

女生身高

總計

（Ill）在上述80名學生中，從身高在170?175cm之間的學生中按男、女性別分層抽

樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當旗手，求3人中恰好有名女生的概率.

參考公式：

參考數(shù)據(jù)：

0.0250.0100.0050.001

10.82

5.0246.6357.879

8

率分布直方圖、列聯(lián)表和概率等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用用意

識，考查必然與或然思想、分類與整合思想等.滿分12分.

解：（I）直方圖中，因為身高在170~175cm的男生的頻率為，

設(shè)男生數(shù)為，則，得................................4分

由男生的人數(shù)為40,得女生的人數(shù)為80-40=40.

（II）男生身高的人數(shù)，女生身高的人數(shù)，所以可得到下列列聯(lián)表：

170cm<170cm總計

男生身高301040

女生身高43640

總計344680

6分

>..............................................................7分

所以能有99.9%的把握認為身高與性別有關(guān)；................................8

分

(III)在170?175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有人.

按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人...................9分

設(shè)男生為，女生為.

從5人任選3名有：

，共10種可能，........................10分

3人中恰好有一名女生有:共6種可能，..................11分

故所求概率為.

2.某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，

得到的頻率分布表如下左圖所示.

(I)請先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布

直方圖；

(II)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽

樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面

試？

(IH)在(2)的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官的面試,

求：第4組至少有一名學生被考官A面試的概率？

解：

(I)由題意知，第2組的頻數(shù)為人,

第3組的頻率為，

頻率分駕惠方圖如下：

組距

0.08|---?-------?--------1--------1--------1--------1--------1

....................................................................................................4分

(II)因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學

生,每組

分別為：

第3組:人.

第4組:人.

第5組:人，

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人..................................8分

(HI)設(shè)第3組的3位同學為,第4組的2位同學為,第5組的1位同學為，

則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如

下：

其中第4組的2位同學至少有一位同學

入選的有：

共9種.

所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為

3.對某校高三年級學生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，

隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).(第18題圖)

根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率

24

40.1

20.05

合計1

<I）求出表中及圖中的值；

（n）若該校高三學生有240人,試估計該校高三學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);

（III）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人

參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.

解（I）由分組內(nèi)的頻數(shù)是4,頻率是0.1知，，所以

因為頻數(shù)之和為，所以，.一-4分

因為是對應(yīng)分組的頻率與組距的商，所以----------6分

（II）因為該校高三學生有240人，分組內(nèi)的頻率是，

所以估計該校高三學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.……一一8分

（III）這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學生共有人，

設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，在區(qū)間內(nèi)的人為.

則任選人共有

，15種情況，……10分

而兩人都在內(nèi)只能是一種，所以所求概率為

5.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)乃依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從?批該日用

品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

X12345

頻率a0.20.4bc

（I）若所抽取的20件II用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求

a,b,c的值；

（H）在（I）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為汨，生，范，等級系數(shù)為5的2

件日用品記為必，％,現(xiàn)從小，及，m，發(fā)這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被

取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.

解：（I）由頻率分布表得a+0.2+0.45+Z?+c=l,即a+人+c=0.35.

因為抽取的20件II用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以6=而=0.15.

2

等級系數(shù)為5的恰有2件，所以。=4=0.1.

從而a=0.35—b—c=O.l.

所以a=O.l,6=0.15,c=O.l.............6分

(II)從日用品占，檢，X3,乃，>2中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：

{.rpx2},{X1,X3}>*1，力}，［x{,y2},{x2,x3},{x2,力}，{x2,y2}-{必，乃}，{冷，

”}，{力，》}?

設(shè)事件A表示“從日用品為，X2,巧，力,乃中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包

含的基本事件為：

{X|,x2},{Xf,尤3}，*2，X3},{yi，y2},共4個.

又基本事件的總數(shù)為10,

,4

故所求的概率P(A)=而=0.4.............12分

6.已知A、B、C三個箱子中各裝有2個完全相同的球，每個箱子里的球，有一個球標著

號碼1,另一個球標著號碼2,現(xiàn)從A、B、C三個箱子中各摸出1個球。

(1)若用數(shù)組(x,y,z)中的x、y、z分別表示從A、B、C三個箱子中摸出的球的

號碼，請寫出數(shù)組(x,y,z)的所有情形，并回答一共有多少種；

(2)如果請您猜測摸出的這三個球的號碼之和，猜中有獎，那么猜什么數(shù)獲獎的可能

性最大？請說明理由。

(1)1?：數(shù)組(x,y,z)的所有情形為:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,

1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共8種6分

注：列出所有情形，得6分，列出5種以上情形，得4分.

(2)解：摸出的三個球號碼的和可能為3,4,5,6,故記“所摸出的三個球號碼之和為

廣為事件A(i=3,4,5,6)8分

易知，事件A?包含有1個基本事件，事件A4包含有3個基本事件，事件As包含有3

個基本事件，事件4包含有1個基本事件10分

7.為了淮北市爭創(chuàng)“全國文明城市”，市文明委組織了精神文明建設(shè)知識競賽。統(tǒng)計局調(diào)

查中心隨機抽取了甲.乙兩隊中各6名組員的成績，得分情況如下表所示：

甲組848587888890

乙組828687888990

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，哪個組對精神文明建設(shè)知識的掌握更為穩(wěn)定？

(2)用簡單隨機抽樣方法從乙組6名成員中抽取兩名，他們的得分情況組成一個樣本,

求抽出的兩名成員的分數(shù)差值至少是4分的概率。

解析：(1)由題意可知,

1分

2分

...3分

...4分

因為，所以甲組的成績比乙組穩(wěn)定。.....6分

(2)從乙組抽取兩名成員的分數(shù)，所有基本事件為(用坐標表示)：(82,86),(82,

87),(82,87),(82,89),(82,90),(86,87),(86,88),(86,89),(86,90),

(87,88)(87,89)(87,90),(88,89),(88,90),(89,90)共15種情

況。............8分

則抽取的兩名成員的分數(shù)差值至少是4的事件包含：(82,86),(82,87),(82,87),

(82,89),(82,90),(86,90)共6種情

況。............10分

由古典概型公式可知，抽取的兩名成員的分數(shù)差值至少是4分的概率P=

8.某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究，他們

分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),

得到如下資料：

日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日

溫差X(℃)101113128

發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616

(I)從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n

均小于25”的概率；

(II)請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出，關(guān)于x的線性回歸方程；

(III)若山線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則

認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(11)所得的線性回歸方程是否可靠？

(參考公式：回歸直線方程式，其中)

(I)m,〃構(gòu)成的基本事件(勿，n)有：(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,

30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共有10個.

..................................................2分

其中“如〃均小于25”的有1個，其概率為...................4分

(II),/

/....................6分

于是，.......8分

故所求線性回歸方程為.9分

(III)由(2)知，

當戶10時，尸22；當—8時,片17...............................11分

與檢驗數(shù)據(jù)的誤差均為1,滿足題意.

故認為得到的線性回歸方程是可靠的.

9.在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1、2、3、4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取

出1個球，每個小球被取出的可能性相等。

(1)求取出的兩個球上標號為相鄰整數(shù)的概率；

(2)求取出的兩個球上標號之和能被3整除的概率.

(I)當時，?.-----------------------3分

故，.-------6分

(II)的可取值為.

-----------------10分

的分布列為

0123

P

12分

10.為了解學生喜歡數(shù)學是否與性別有關(guān)，對50個學生進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:

喜歡數(shù)學不喜歡數(shù)學合計

男生5

女生10

合計50

己知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜歡數(shù)學的學生的概率為.

(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程)；

(2)是否有99.5%的把握認為喜歡數(shù)學與性別有關(guān)？說明你的理由;

下面的臨界值表供參考：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（參考公式:，其中）

.解：解：⑴列聯(lián)表補充如下:

喜愛數(shù)學不喜愛數(shù)學合計

男生20525

女生101525

合計302050

------5分

(2)V-------------------------10分

.?.有99.5%的把握認為喜愛教學與性別有關(guān).--------------12分

11.為了比較注射兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只老鼠做試驗，將這200只老

鼠隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物（稱為組），另一組注射藥物（稱為組）,

則兩組老'I腿勰相微說膜麟重表、頻率分布直方圖分別如下.

注射藥物B后皮膚皰疹面積頻率分布直方圖

皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)

頻數(shù)20502010

（I）為方便兩組試驗對比，現(xiàn)都用分層抽樣方法從

兩組中各挑出20只老鼠，求兩組成膚皰疹

面積同為的這一區(qū)間應(yīng)分別挑出兒只？

（11）在（I）的條件卜.，將兩組挑出的皮膚皰疹面積

同為這一區(qū)間上的老鼠放在一起觀察，幾天

后，從中抽取兩只抽血化驗,求組中至少有1只被

抽中的概率.

【解】（I）由組頻數(shù)分布表可知，組中這一小組的頻數(shù)為20,............1分

由組頻率分布直方圖可知,組中這一小組的頻率為

3分

所以這一小組頻數(shù)為................4分

由于是分層抽樣,所以,..............5分

即兩組中成膚皰疹面積同為的這一區(qū)間應(yīng)分別挑出4只、2只.....6分

（1［）由（1）知，兩組中這一區(qū)間上挑出的老鼠分別有4只、2只,

設(shè)編號分別為L2,3,4;5(組)，6(組),.............7分

則從中抽取兩只的所有基本事件如下

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,4),(3,5),(3,6);(4,5),(4,6);

(5,6)

共有15個.............................8分

顯然事件{組中至少有1只被抽中}發(fā)生包含了以下9個基本事件，

(1,5),(1,6);(2,5),(2,6);(3,5),(3,6);(4,5),(4,6);(5,6)....................10分

所以由古典概型知

12.已知集合在平面直角坐標系中，點M(x,y)的坐標。

(1)請列出點M的所有坐標；

(2)求點M不在x軸上的概率；

(3)求點M正好落在區(qū)域上的概率。

解：(1)集合A={-2,0』,3},點M(x,y)的坐標，

點M的坐標共有：個，分別是：

(-2,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,3)；(0,-2),(0,0),(0,1),(0,3)；

(1,-2),(1,0),(1,1),(1,3)；(3,-2),(3,0),(3,1),(3,3)................................4分

(2)點M不在x軸上的坐標共有12種：

(-2,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,3)；(1,-2),(1,0),(1,1),(1,3);

(3,-2),(3,0),(3,1),(3,3)

所以點M不在x軸上的概率是................................8分

(3)點M正好落在區(qū)域上的坐標共有3種：(1,1),(1,3),(3,1)

故M正好落在該區(qū)域上的概率為

13.中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20?80mg/100

ml(不含80)之間，屬于酒后賀車；在80mg/100ml(含80)以上時，屬醉酒賀車，對于酒后

駕車和醉酒駕車的駕駛員公安機關(guān)將給予不同程度的處罰.

某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了250輛機動車，查出

酒后駕車和醉酒賀車的駕駛員20人,下圖是對這20人血液中酒精含量進行檢查所得結(jié)果的

頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求：此次抽查的250人中，醉酒駕車的人數(shù)；

(2)從血液酒精濃度在［70,90)范圍內(nèi)的駕駛員中任取2人，求恰有1人屬于醉酒駕車的

概率.

解：(1)

酒精含量(單位：mg/100ml)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

人數(shù)3441

酒精含量(單位：mg/100ml)160,70)170,80)180,90)[90,100]

人數(shù)2321

所以醉酒駕車的人數(shù)為人.....................................6分

(2)因為血液酒精濃度在［70,80)內(nèi)范圍內(nèi)應(yīng)抽3人，記為a,b,c,［80,90)范圍內(nèi)有2人,

記為d,e,則從中任取2人的所有情況為(a,b),3,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),

(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10種....................................8分

恰有一人的血液酒精濃度在［80,90)范圍內(nèi)的情況有(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),

(c,e),共6種，.........................................................10分

設(shè)“恰有1人屬于醉酒駕車”為事件A,則P(A)……

105

14.是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.我國標準采用世衛(wèi)

組織設(shè)定的最寬限值，日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米

75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標.

某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2011年全年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)作為

樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)，若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機抽出2天.

(I)求恰有一天空氣質(zhì)量超標的概率；

(II)求至多有一天空氣質(zhì)量超標的概率.PM2.5日均值(微克/立方米)

33

481

793

97

解：由莖葉圖知：6天有4天空氣質(zhì)量未超標，有2天空氣質(zhì)量超標........2分

記未超標的4天為,超標的兩天為.則從6天中抽取2天的所有情況為：......，，，，，，，,

基本事件數(shù)為15.4分

(I)記“6天中抽取2天，恰有1天空氣質(zhì)量超標”為事件，可能結(jié)果為：，，，，，，，,

基本事件數(shù)為.

;..........6分

(H)記“至多有一天空氣質(zhì)量超標”為事件，

“2天都超標”為事件，其可能結(jié)果為，....................8分

故，.............................................10分

15.為加強中學生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進教育教學改革，鄭州市教育局舉

辦了全市中學生創(chuàng)新知識競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學生參加，為了解成績情況，

從中抽取50名學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成的頻

率分布表，解答下列問題：

Q)若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，現(xiàn)將所有學生隨機地編號為000,001,002,…，

199,試寫出第二組第一位學生的編號；

(II)求出a,b,c,d,e的值(直接寫出結(jié)果)，并作出頻率分布直方圖；

(IH)若成績在85.5-95.

5分的學生為二等獎，問參賽學生中獲得二等獎的學生約為多少人？

［解析］(I)編號為004.……3分

(IDa,b,c,d,e的值分別為

13,4,0,30,0.08,1..........8分

(III)在被抽到的學生中獲二等獎的人數(shù)

9+2=11(人)，占樣本的比例是=0.22,

即獲二等獎的概率為22%,所以獲二等獎

的人數(shù)估計為200X22%=44(人).

答：獲二等獎的大約有44人.……12分

16.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)乃依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用

品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

X12345

頻率a0.20.4bc

(I)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求

a,b,c的值；

(H)在(I)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為為，加，*3,等級系數(shù)為5的2

件日用品記為必，及，現(xiàn)從汨，也，照，必，％這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被

取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.

解：(I)由頻率分布表得a+0.2+0.45+6+c=l,即a+6+c=0.35.

因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以6=而=0.15.

等級系數(shù)為5的恰有2件，所以c=4=0.1.

從而a=O.35-b-c=O.l.

所以a=O.l,b=0.15,c=O.l.............6分

(II)從日用品即，X2,x3,%，兒中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：

{Xi，x2],{X|,x3},{%)，-},{片,y2},{x2,x3},{x2,yj,{x2,y2],{x3,一},{x3,

以}，{y”yi}-

設(shè)事件A表示“從日用品X1,X2,冷，力，”中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包

含的基本事件為：

{xt，x2],{Xpx3},{x2,x3},{yi，y2}>共4個.

又基本事件的總數(shù)為10，

4

故所求的概率P(A)=正=04

17.已知A、B、C三個箱子中各裝有2個完全相同的球，每個箱子里的球，有一個球標著

號碼1,另一個球標著號碼2,現(xiàn)從A、B、C三個箱子中各摸出1個球。

(1)若用數(shù)組(x,y,z)中的x、y、z分別表示從A、B、C三個箱子中摸出的球的

號碼，請寫出數(shù)組(x,y,z)的所有情形，并回答一共有多少種；

(2)如果請您猜測摸出的這三個球的號碼之和，猜中有獎，那么猜什么數(shù)獲獎的可能

性最大？請說明理由。

⑴解:數(shù)組(x,y,z)的所有情形為：(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,

1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共8種6分

注：列出所有情形，得6分，列出5種以上情形，得4分.

(2)解：摸出的三個球號碼的和可能為3,4,5,6,故記“所摸出的三個球號碼之和為

i”為事件A(i=3,4,5,6)8分

易知，事件小包含有1個基本事件，事件A4包含有3個基本事件，事件必包含有3

個基本事件，事件A6包含有1個基本事件10分

18.有關(guān)部門要了解甲型H1N1流感預(yù)防知識在學校的普及情況，命制了一份有道題的問卷

到各學校做問卷調(diào)查.某中學兩個班各被隨機抽取名學生接受問卷調(diào)查，班名學生得分

為：，，，，；班5名學生得分為：，，，，.

(I)請你估計兩個班中哪個班的問卷得分要穩(wěn)定一些；

(II)如果把班名學生的得分看成一個總體，并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為的

樣本，求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不小于的概率.

解：(I)?.?班的名學生的平均得分為+,.....1分

方差；...3分

班的名學生的平均得分為+,...............4分

方差.……6分

??，

，班的預(yù)防知識的問卷得分要穩(wěn)定一些.....................8分

(H)從班名同學中任選名同學的方法共有種，..............10分

其中樣本和，和，和，和的平均數(shù)滿足條件，故所求概率為.

19.近年來，我國機動車擁有量呈現(xiàn)快速增加的趨勢，可與之配套的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)速度相對

遲緩，交通擁堵問題已經(jīng)成為制約城巾發(fā)展的重要因素，為了解某市的交通狀況，現(xiàn)對

其6條道路進行評估，得分分別為5、6、7、8、9、10規(guī)定評估的平均得分與全市的總

體交通狀況等級如下表：

評估的平均得分[0,6][6,8][8,10]

全市的總體交通不合格合格優(yōu)秀

(1)求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級。

(2)用簡單隨機抽樣方法從6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本

的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率。

解：(1)合格--------------6分

(2)基本事件為(5,6)(5,7)(5,8)(5,9)(5,10)(6,7)(6,8)(6,9)

(6,10)(7,8)(7,9)(7,10)(8,9)(8,10)(9,10)共15個

19.(本小題滿分12分)

一，工廠生產(chǎn)甲，乙，丙三種樣式的杯子,每種樣式均有500M?/和100ml兩種型號，

某天的產(chǎn)量如右表(單位:個)：

型號甲樣式乙樣式丙樣式

500加2000Z3000

700加300045005000

按樣式進行分層抽樣，在該天生產(chǎn)的杯子中抽取100個，其中有甲樣式杯子25個.

(I)求z的值；

(II)用分層抽樣的方法在甲樣式杯子中抽取一個容量為5的樣本，從這個樣本中任取

2個杯子，求至少有1個500ml杯子的概率.

解：(I)設(shè)該廠本月生產(chǎn)的乙樣式的杯子為n個，在丙樣式的杯子中抽取x個，由題意

得,，所以x=40.-----------2分

貝I」100—40—25=35,所以，n=7000,

故z=2500----------6分

(II)設(shè)所抽樣本中有m個500ml杯子，

因為用分層抽樣的方法在甲樣式杯子中抽取?個容量為5的樣本，

所以，解得m=2-----------9分

也就是抽取了2個500ml杯子,3個700ml杯子，分別記作SiSB.BzB?,則從中任取2個

的所有基本事件為⑸，B,),(SbB2),⑸,B3)(S2,B,),(S2,B2),(S2,B3),((SbS2),(B,,B2),

(B2,B.D,(B|,B3)共10個，其中至少有1個500ml杯子的基本事件有7個基本事件：

(Si,B1),(Si,B2),(SbB3)(S2,B,),(S2,B2),(S2,B3),((SJ,S2),所以從中任取2個，

至少有1個500ml杯子的概率為.

20.一化工廠因排污趨向嚴重，2011年1月決定著手整治。經(jīng)調(diào)研，該廠第一個月的污染

度為，整治后前四個月的污染度如下表；

月數(shù)1234...

污染度6031130...

污染度為后，該工廠即停止整治，污染度又開始上一升，現(xiàn)用下列三個函數(shù)模擬從整治后

第一個月開始工廠的污染模式：

,,,其中表示月數(shù)，分別表示污染度.

(參考數(shù)據(jù)：)

(I)問選用明B個函數(shù)模擬比較合理，并說明理山；

(H)如果環(huán)保部門要求該廠每月的排污度均不能超過60,若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測,

該廠最晚在何時開始進行再次整治？

(I)3分

.......6分

由此可得更接近實際值，所以用模擬比較合理.7分

（II）因在上是增函數(shù)，又因為.....12分

這說明第一次整治后有16個月的污染度不超過60,

故應(yīng)在2012年5月起開始再次整治.

21.某校高三年級共有450名學生參加英語口語測試，其中男生250名，女生200名。現(xiàn)按

性別用分層抽樣的方法從中抽取45名學生的成績。

（I）求抽取的男生與女生的人數(shù)？

（II）從男生和女生中抽查的結(jié)果分別如下表1和表2；

表1

成績分組

人數(shù)3m86

表2

成績分組

人數(shù)25n5

分別估計男生和女生的平均分數(shù)，并估計這450名學生的平均分數(shù)。（精確到0.01）

45

解析：（I）由抽樣方法知，被抽取的男生人數(shù)為250義瘋=25,

45

被抽取的女生人數(shù)為200X^=20.....................2分

（II）男生甲和女生乙被抽到的概率均為0.1,所以男生甲與女生乙至少有1人被抽

到的概率：P=1-(1-0.1)2=

0.19.................................................7分

(III)由(I)知，m=25—(3+8+6)=8,n=20—(2+5+5)=8,據(jù)此估計

65X3+75X8+85X8+95X6?

男生平均分為=81.8>

65X2+75X5+85X8+95X5.

女生平均分為81.8暹+83X2。=吩

這450名學生的平均分數(shù)為?=82.33.

45

22.設(shè)平頂向量=(m,1),=(2,n),其中m,n{1,2,3,4).

（I）請列出有序數(shù)組（m,n）的所有可能結(jié)果;

（II）記“使得（-）成立的（m,n）”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。

(II)由得，即。由于，故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個。又基本

事件的總數(shù)為16,故所求的概率為。................12

23.某校高一某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，

但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：

(1)求分數(shù)在［50,60)的頻率及全班人數(shù)；

(2)求分數(shù)在［80,90)之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中［80,90)間的矩形的高；

(3)若要從分數(shù)在［80,100］之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,在抽取的試卷中,

求至少有一份分數(shù)在［90,100］之間的概率.

解：(1)分數(shù)在［50,60)的頻率為0.008X10=0.08,(2分)

2

由莖葉圖知：分數(shù)在［50,60)之間的頻數(shù)為2,所以全班人數(shù)為\=25,(4分)

U.Uo

(2)分數(shù)在［80,90)之間的頻數(shù)為25—2—7—10—2=4；(6分)

4

頻率分布直方圖中［80,90)間的矩形的高為菰+10=0.016.(8分)

⑶將［80,90)之間的4個分數(shù)編號為1,2,3,4,［90,100］之間的2個分數(shù)編號為5,6,

在［80,100］之間的試卷中任取兩份的基本事件為：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,5),(4,6),

(5,6)共15個，(10分)

其中，至少有一個在［90,100］之間的基本事件有9個，

9

故至少有?份分數(shù)在［90,100］之間的概率是三=0.6.(12分)

15

24.甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗

勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.

(D設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況.

(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？

(3)甲乙約定：若甲抽到的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝。你認為此游戲是否

公平，說明你的理由。

26.某車間在兩天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2

件次品.而質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則

當天的產(chǎn)品不能通過.

(I)求第一天產(chǎn)品通過檢查的概率；

(H)(文)求兩天全部通過的概率.

(解：(I)：隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品.

，第一天通過檢查的概率為.......................4分

(II)同(I),第二天通過檢查的概率為..............9分

因第一、第二天是否通過檢查相互獨立，......................10分

所以，兩天全部通過檢查的概率為.........12分

27.某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研

究，他們分別記錄了12月1日至12月5II的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的

發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

溫差X(°C)101113128

發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方

程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，

求出y關(guān)于x的線性回歸方程;并預(yù)報當溫差為9°C時的種子發(fā)芽數(shù)。

解：(1)設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件A,從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)

據(jù)共有10種情況：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)

(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5),

....................3分

其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù).每種情況都是可能出現(xiàn)的，

事件A包括的基本事件有6種.

AP(A)=

.?.選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是

....................6分

（2）由數(shù)據(jù)，求得.

8分

由公式，求得b=

，y關(guān)于x的線性回歸方程為x-3.

.....................10分

由此可以預(yù)報當溫差為9°C時的種子發(fā)芽數(shù)為19或20顆

....................12分

28.現(xiàn)從3道選擇題和2道填空題中任選2題.

（I）求選出的2題都是選擇題的概率；（II）求選出的兩題中至少1題是選擇題的概率.

解（I）記“選出兩道都是選擇題”為A,5題任選2題，共有種，

其中，都是選擇題有3種.......2分；........................4分

（II）.記“選出1道選擇題，1道填空題”為B,

/..............................10分

所以，至少有1道選擇題的概率.........12分

29.先后隨機投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點

數(shù).（I）求點在直線上的概率；（II）求點滿足的概率.

解：（I）每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有種情況，

所以基本事件總數(shù)為個.................2分

記”點在直線上”為事件，有5個基本事件：

，................5分

................6分

（n）記“點滿足”為事件，則事件有個基本事件：

當時，當時,；