《大學(xué)物理學(xué)》(第三版)課后習(xí)題答案

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人以%

(m?的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小.

L：^：＜

,%圖1-4

解：設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為/,此時(shí)繩與水面成。角,由圖可知

/2=A2+52

將上式對(duì)時(shí)間，求導(dǎo)，得

卜

c,d/-ds

2l—=2s—一-p-s一題1-4圖

dtdt

根據(jù)速度的定義，并注意到/,$是隨，減少的，

?_d/_is

,?u維—一由一%，u船一一；

it

ds1dli

即"船=一出=一六廣”二%

cose

221/2

lv0(A+5)VL

或“船—S

將V船再對(duì)求導(dǎo)，即得船的加速度

1-6已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為a=4+3rrns~2,開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=5mv

=0,求該質(zhì)點(diǎn)在f=10s時(shí)的速度和位置.

dv..

解：：a=—=4+3/

dr

分離變量，得dv=(4+3t)dt

32

積分，得v=4At+-t+c,

21

由題知，r=0,%=0,/.<=0

,32

故v=4t+-t

2

djr.3

又因?yàn)閡=—=4f+一〃2

dr2

3

分離變量，dx=(4t+-t2)dt

c213

積分得x—2z+—f

由題知/=(),Xo=5,c>=5

故x=2，“H—+5

2

所以f=10s時(shí)

2-1

v10=4x10+jxio=190m-s

91q

X=2X102+-X103+5==705m

1O02

1-10以初速度%=20m-sT拋出一小球，拋出方向與水平面成幔260°的夾角,

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑與；（2）落地處的曲率半徑

(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

(1)在最高點(diǎn),

匕=vx=vocos60°

ani=g=10m.s-2

2

Vj

%=一

p^

u：(20xcos600)2

w~~

=10m

(2)在落地點(diǎn),

4=%=20ms-1

an=gxcos60°

1-13一船以速率h=30km?曰沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率均=40km?h’

沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，則有七=比一耳，依題意作速度矢量圖如題1T3圖(a)

方向北偏西0=arctarb^-=arctan^=36.87°

匕4

(2)小船看大船，則有耳2=耳-弓，依題意作出速度矢量圖如題『13圖(b),同上法，得

-1

v12-50km-h

2-2一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角為。)上以初速度%運(yùn)動(dòng)，%的方向

與斜面底邊的水平線AB

解：物體置于斜面上受到重力,斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取環(huán)方向?yàn)閄軸，平行斜

面與X軸垂直方向?yàn)閅軸.如圖2-2.

AB

題2-2圖

X方向：Fv=0x-v0Z①

方向：、②

FFy=mgsina=ma

r=0時(shí)y=0vv=0

1.2

y二萬(wàn)gsmar

由①、②式消去f,得

1.,

y=-rgsina?x-

2%

2-4質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力初(k為常數(shù))作用，，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的

速度為％,證明(1)f時(shí)刻的速度為u=%e；(2)由10到/的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為

k

尢=(彳卜)[1-e"1]；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為v。(￡)；⑷證明當(dāng)"旬女時(shí)速

度減至%的1,式中卬為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

e

』,、-kvdv

答：⑴：a=-----=—

mdt

分離變量，得

dv_-kdt

vm

即「9=『*

兒vJ。m

In—=Inem

%

m，

v-voe

w

(2)x=Jvdt-￡vae~'dt-(1-<2)

(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t-8,

故有'vae~"'dt=

（4）當(dāng)t=；時(shí)，其速度為

k

-k.2LVQ

v=vem*=ve=—

ooe

即速度減至%的L.

e

2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為%m-sT,當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為

尸=（。-4）N（a/為常數(shù)），其中f以秒為單位：（1）假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零,

試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

E=（a-4）=0,得f=@

b

（2）子彈所受的沖量

I-（3一初）由=at-gbJ

將t=f代入，得

b

2b

（3）由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

m-——=------

%如o

2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在

鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問(wèn)擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊

解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為y坐標(biāo)正向，如題2T3圖，則鐵釘所受阻力為

1or

-dy

y

題2-13圖

f^-ky

第一錘外力的功為4

4=[f,dy=J-fdy=1:ky'dy=1①

式中/'是鐵錘作用于釘上的力，,是木板作用于釘上的力，在d，-0時(shí)，f'=-f.

設(shè)第二錘外力的功為A?,則同理，有

4@dy=g處；一g②

由題意，有

A2=A=A(^mv2)=:

1,2k_k

即2^2~2=2

所以,M=行

于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為

Ay=%一%=V2-1=0.414cm

2-15一根勁度系數(shù)為匕的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為七的輕彈簧8,8的下端

一重物C,C的質(zhì)量為M,如題275圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)

解：彈簧A、3及重物C受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有

題2-15圖

FA=FB=Mg

又FA

FB=k2M?

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為

Av,_k2

彈性勢(shì)能之比為

12

E不匕Ax；k

PI_2_竺

En17A2k,1

〃2-K2AX2

2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為根］和加2

的滑塊組成如題2T7圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為％,自然長(zhǎng)度等于水平距離8C,加2與

桌面間的摩擦系數(shù)為〃，最初犯靜止于A點(diǎn)，AB=8C=/?,繩已拉直,現(xiàn)令滑塊落下m1,

求它下落到8處時(shí)的速率.

解：取B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有

1,1

2-

-/jm2gh=萬(wàn)(m1+m2)v-[mtgh+—A:(A/)]

式中△/為彈簧在A點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則

A/=AC-BC=(V2-l)/z

聯(lián)立上述兩式，得

12(加|一)g〃+kh2(后一I,

Vmx+m2

mu”

〃/〃〃〃〃

題2-17圖

2-19質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示.質(zhì)量為機(jī)的

小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從

靜止開(kāi)始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度.

解：機(jī)從M上下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以相，M,地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)

能零點(diǎn)，則有

1,1,

mgR-—mv-+—MV~

又下滑過(guò)程，動(dòng)量守恒，以相，M為系統(tǒng)則在相脫離M瞬間，水平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

，—2MgR

X(m+M)

習(xí)題八

8-1電量都是g的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂

點(diǎn).試問(wèn)：(D在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就

可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷

的庫(kù)侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無(wú)關(guān)

系？

解：如題8-1圖不

(1)以A處點(diǎn)電荷為研究對(duì)象，由力平衡知：/為負(fù)電荷

2—'—金os300=—'——

471%a-4兀％/J3、2

解得…鼻

3

(2)與三角形邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).

mg

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是機(jī)，都用長(zhǎng)為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它

們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線夾角為2。11,如題8-2圖所

示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球

解：如題8-2圖示

TcosO=mg

'Tsin0=Fe=--------?—?

4兀4(2/sin8)2

解得q=21sintan6

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式E=』，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)

電荷很近(r-0)時(shí)，則場(chǎng)強(qiáng)一8,這是沒(méi)有物理意義的，對(duì)

此應(yīng)如何理解？

解：左石僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)rf()時(shí)，帶電體不能再視

4n￡0r-

為點(diǎn)電荷，再用上式求場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形

狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無(wú)限

大.

8-4在真空中有A,8兩平行板，相對(duì)距離為"，板面積為S,

其帶電量分別為和%.則這兩板之間有相互作用力/，有

22

人說(shuō)片』，又有人說(shuō)，因?yàn)槭浚珽=%所以片鼻.試

問(wèn)這兩種說(shuō)法對(duì)嗎?為什么？/到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說(shuō)法均不對(duì).第一種說(shuō)法中把兩帶電板視為

點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第二種說(shuō)法把合場(chǎng)強(qiáng)E=V看成是一個(gè)帶

￡°S

電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)的.正確解答應(yīng)為一個(gè)

板的電場(chǎng)為E=W，另一板受它的作用力/寸4=￡,這

2q）S24S220s

是兩板間相互作用的電場(chǎng)力.

8-5一電偶極子的電矩為場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距

離為「，矢量尸與7的夾角為。，（見(jiàn)題8-5圖），且，>>/.試證〃點(diǎn)

的場(chǎng)強(qiáng)E在「方向上的分量E,和垂直于「的分量約分別為

pcos0_psin。

證：如題8-5所示，將日分解為與『平行的分量psine和垂直

于尸的分量psin。.

r?/

J場(chǎng)點(diǎn)P在〃方向場(chǎng)強(qiáng)分量

_pcosg

垂直于r方向，即。方向場(chǎng)強(qiáng)分量

_psing

3

°47i6：or

題8-5圖題8-6圖

8-6長(zhǎng)/=15.OcmAB上均勻地分布著線密度2

=5.0x10-9C-mH（1）在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與

導(dǎo)線B端相距《=5.0cm處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（2）在導(dǎo)線的垂直平分

線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距4二5.0cm處。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

⑴在帶電直線上取線元dx,其上電量卻在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為

dEp——

4兀%(a-x)

dx

Ep=口昂=-1

2

J4兀/(a-x)

A

[―...................—]

LIIJ

4兀%ci—Cl-\—

22

兀%(4〃_—廣)

用/=15cm,2=5.0x10-9Cm-',a=12.5cm代入得

2

EP=6.74X10N-C-*方向水平向右

（2）唉=，一T彳方向如題8-6圖所示

4兀%x+d2

由于對(duì)稱性o=°，即號(hào)只有），分量,

m12drd2

04兀分F+d；次+#

22(—+4)2

Al

2兀4"+4d；

以4=5.0xl(y9.

CcmI=15cm,d2=5cm代入得

Eq="=14.96x102NC。方向沿y軸正向

8-7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為"求環(huán)

心處。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取4=/?由

dq=M=RAdw,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

亞=差方向沿半徑向外

貝！JdE=dEsincp=----sin(pA(p

v4?！辍鉘

dE=dEcos(7r~(p)=-----cos貝夕

4?！㏑

積分紇=J：品.89=4

(兀-X

E、,=---------cos0d0=0

，J。gR

E=E，=M，方向沿x軸正向?

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長(zhǎng)為/,總電量為(1)

求這正方形軸線上離中心為「處的場(chǎng)強(qiáng)E；(2)證明：在「＞〉/處,

它相當(dāng)于點(diǎn)電荷4產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷幺在尸點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)d瓦

4

方向如圖，大小為

d瓦在垂直于平面上的分量d4=dEpCosP

題8-8圖

由于對(duì)稱性，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿。方向，大小為

8-9(1)點(diǎn)電荷q位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該

點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過(guò)立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場(chǎng)

源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過(guò)立方體各

面的電通量是多少?*⑶如題8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷q的電

場(chǎng)中取半徑為R的圓平面.q在該平面軸線上的A點(diǎn)處，求:

通過(guò)圓平面的電通量.(a=arctan-)

X

解：⑴由高斯定理聲髭=詈

立方體六個(gè)面，當(dāng)4在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

各面電通量①”工.

6%

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長(zhǎng)2〃的立方體，使q處

于邊長(zhǎng)2a的立方體中心，則邊長(zhǎng)2a的正方形上電通量①

6%

對(duì)于邊長(zhǎng)a的正方形，如果它不包含4所在的頂點(diǎn)，則①,,

如果它包含g所在頂點(diǎn)則①”0.

圖

⑶???通過(guò)半徑為R的圓平面的電通量等于通過(guò)半徑為

的球冠面的電通量，球冠面積*

S=2K(/?2+X2)[1--,*]

...①;強(qiáng)_=]

44兀(/?-+x)24JR2+*2

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見(jiàn)題8-9(c)圖

S=27crsinof?rda

Jo

ra

=2兀r2sina-da

Jo

=2+(1-cos。)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cni,外半徑10cm,電荷體密度為

2Xi(r5c?m3求距球心5cHi,8cm,12cm各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：高斯定理/后￡4兀r2=應(yīng)

Js%%

當(dāng)/"=5cm時(shí)，￡q=0,E=0

r=8cm時(shí)，=-4)

夕？(/-d,

E==——；—a3.48xlO4N.CT,方向沿半徑向外.

4兀"

r=12cm時(shí),(以-硝

E=―3外內(nèi)一4.10xl()4N.C-'沿半徑向外.

4兀"

8-11半徑為K和&(%>N)的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位

長(zhǎng)度上分別帶有電量義和-2,試求：(1)「〈與；(2)Ri<r<R2;

(3)「>此處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：高斯定理伍心今

取同軸圓柱形高斯面,側(cè)面積S=2口/

則￡￡-dS=￡27r/7

對(duì)（1）r<RtZ4=O，E=（）

（2）7?,<r<R2￡q=lA

.?.E=--沿徑向向外

（3）r>R2￡q=0

E=0

題8-12圖

8-12兩個(gè)無(wú)限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分

別為力和a2

解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分

別為b］與5,

兩面間，后=」-。|-(7,而

2%

b］面夕卜，E=——(。］+er,)n

2%

cr,面夕卜，E----(cr,+cr,)n

2%

萬(wàn)：垂直于兩平面由巧面指為1面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為0,若在球

內(nèi)挖去一塊半徑為的小球體，如題8T3圖所示.試求:

兩球心。與。，點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電P的均勻球與帶電-。的均勻小

球的組合，見(jiàn)題8-13圖（a）.

（1）+夕球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)&=0,

43

—nrp

-P球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)區(qū)20=~~^od'

。點(diǎn)電場(chǎng)曷=」衛(wèi)行；

34d

（2）+。在。產(chǎn)生電場(chǎng)鼠=1而

￡（）d

-0球在。產(chǎn)生電場(chǎng)%=0

O點(diǎn)電場(chǎng)Ea=^-00

題8-13圖（a）題8-13圖⑹

⑶設(shè)空腔任一點(diǎn)p相對(duì)。，的位矢為尸，相對(duì)。點(diǎn)位矢為r（如

題873（b）圖）

EP=EPO+Epo=j5d=0

???腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是均勻的.

8-14一電偶極子由小1.OX10-6c

兩電荷距離d=0.2cm,把這電偶極子放在1.0義這5N?L

解：電偶極子？在外場(chǎng)月中受力矩

M=pxE

/然=的代入數(shù)字

Mmax=1.0x10^xZxlO^xl.Oxltf=2.0x10^N.m

8-15兩點(diǎn)電荷％=1.5X101,%=3.OX10/，相距『42cm,

要把它們之間的距離變?yōu)镚=25cm,需作多少功？

解：4="擊=產(chǎn)"=幺”」）

r

%%4K￡。產(chǎn)例/42

=-6.55x10-6]

外力需作的功A,=-A=-6.55xlQ-6J

AR

+q-q

題8-16圖

8-16如題8T6圖所示，在A,8兩點(diǎn)處放有電量分別為-

g的點(diǎn)電荷，AB間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷外從。點(diǎn)

經(jīng)過(guò)半圓弧移到C

解：如題8T6圖示

-J-(W)=__J

4兀43RR6冗￡小

8-17如題8T7圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為力

的正電荷,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)

中心。

解：（1）由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，鈉和。段電荷在。點(diǎn)

產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相抵消，取W=Rd，

則dq=〃de產(chǎn)生。點(diǎn)心如圖，由于對(duì)稱性，。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)

方向

?8-17圖

"fffAR60A

E=d￡v=|\-----7cos。

J>J-f4兀

=-Esin(--)-sin—

4TI￡07?22

-A

2HSQR

（2）AB電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以4=0

JB4TI6：0XJR4兀JX4兀

同理CD產(chǎn)生U,=—ln2

-4兀&、

半圓環(huán)產(chǎn)生TIR九_(tái)2

4兀4%

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以2XlO'm?ST的勻

速率作圓周運(yùn)動(dòng).求帶電直線上的線電荷密度.（電子質(zhì)量外

=9.lX10-31kg,電子電量6=1.60X1（）79。

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為人在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng)

E=—^—

2716,0r

電子受力大小工="=盧

?eXv2

??=m—

2兀r

得人型四E=125xl（T”C-mT

e

8-19空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為E=30kV-cm）超過(guò)

這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電.今有一高壓平行板電容器,

極板間距離為d=0.5cm

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng)

t/=Ed=1.5xlO4V

8-20根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)后與電勢(shì)。的關(guān)系后=7。，求下列電場(chǎng)的場(chǎng)

強(qiáng)：（1）點(diǎn)電荷4的電場(chǎng)；（2）總電量為4,半徑為R的均勻帶

電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*（3）偶極子p=q/的廠》/處（見(jiàn)題8-20

圖）

P[r.e）

解：（1）點(diǎn)電荷u=」-題8-20圖

4兀20r

.??后=_孚1」^＞。為「方向單位矢量.

dr4?！?0〃

（2）總電量令，半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì)

U

4兀4，/?2+x?

?FSU丁qx-

??E=-------1=------7-----------7T7TI

&4兀4（夫2+/）~

（3）偶極子》=/在r?/處的一點(diǎn)電勢(shì)

。=臼^------------------F^產(chǎn)

"°（「一一COS。）（1+-COS。）兀%/

22

?廠dU〃cos。

??E「=---=2-----

or2式￡”'

_1dU_psinO

°rdO4?！闛〃3

8-21證明：對(duì)于兩個(gè)無(wú)限大的平行平面帶電導(dǎo)體板（題8-21

圖）來(lái)說(shuō)，（1）相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而

符號(hào)相反；（2）相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、8的四個(gè)平面均勻帶

電的電荷面密度依次為巧，力,小,巴

題8-21圖

(1)則取與平面垂直且底面分別在A、B內(nèi)部的閉合柱面為高

斯面時(shí)，有

-dS=(t+6)AS-0

??。2+。3=0

說(shuō)明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反；

⑵在A內(nèi)部任取一點(diǎn)P,則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均

勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的，即

%"4%=0

242%242%

又＜,+%=0

*

??(T]=

說(shuō)明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同.

8-22三個(gè)平行金屬板A,8和c的面積都是200cm:A和8相

距4.0mm,A與c相距2.0mm.B,c都接地，如題8-22圖所

示.如果使A板帶正電3.0X10C,略去邊緣效應(yīng)，問(wèn)B板和

c板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢(shì)為零，則A板的電勢(shì)

是多少？

解：如題8-22圖示，令A(yù)板左側(cè)面電荷面密度為,，右側(cè)面

電荷面密度為％

(1)VUAC=UAB，即

%cdAC二548d48

2=EAC_^AB_2

EAB^AC

且+_q、

得/=弘，

23s13S

而Qc=P|S=-也=-2xl0「7C

7

qB=—c^S=—1x10C

i

(2)UA=EACdAC=^-dAC=23xi0V

￡。

8-23兩個(gè)半徑分別為與和&(N<%)的同心薄金屬球殼,

現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電乜

(1)

⑵先把外球殼接地，然后斷開(kāi)接地線重新絕緣，此時(shí)外球

*⑶再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的

解：（1）內(nèi)球帶電+4；球殼內(nèi)表面帶電則為-4,外表面帶電

為+4,且均勻分布，其電勢(shì)

題8-23圖

"J&4;話oU4兀47?

⑵外殼接地時(shí)，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內(nèi)表

面電荷仍為-q.所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球+q與內(nèi)表面-4產(chǎn)生：

U=」-------=0

4?！辏ǎ?4兀4

（3）設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為小；則外殼內(nèi)表面帶電量為-0,

外殼外表面帶電量為-q+d（電荷守恒），此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為

零，且

V』------^+^±^=0

4兀/內(nèi)4兀%/?24?！辏ǎ?

得q，=§q

外球殼上電勢(shì)

JJq'）「q+q'_（R-R?%

uB=------------------------1------=-----—

4714%47T￡O&4兀4716：O7?2

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，

在與球心相距為d=3R處有一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的

感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為則球接地

時(shí)電勢(shì)。。=0

d=3R+(/

8-24圖

由電勢(shì)疊加原理有:

u=?

°4?！臧??4兀&37?

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號(hào)電

荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫(kù)侖力為尸。.試求：

⑴用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小

球1,2之間的庫(kù)侖力；

⑵小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之

2

解：由題意知-

2

471^0r

(1)小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電，=生,

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電q"=-q

匕

力

止時(shí)

小球

與

小球

間相

作用

2互

3

2

-夕

,ZH83

6=---入

428

兀

2r兀4r

（2）小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量

均為小

22

，小球1、2間的作用力K=王￡,與

4兀9

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,

相距為d,分別維持電勢(shì)uju,不變.現(xiàn)把一塊帶有電

量夕的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S,

片的厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢(shì).

解：依次設(shè)A,c,B從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別

為,，cr2,%,b”如圖所小.由靜電平衡條件，電荷

守恒定律及維持UAB=U可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

+%=，="GU=當(dāng)

SSa

…6=”號(hào)

Sa

%+%=。

5+4=0

bl=/+cr3+cr4+o-5+(T6

解得CT,1=a6=—25

="幺

3d2S

工廠％U4q

所以CB間電場(chǎng)E『區(qū)=5+’一

-￡nd2As

uc=E,g="+-^-)

cCB2222/S

注意：因?yàn)镃片帶電，所以Uc*g,若C片不帶電，顯然〃=￡

8-27在半徑為小的金屬球之外包有一層外半徑為此的均勻

電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為,金屬球帶電Q.試求:

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng);

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì);

⑶金屬球的電勢(shì).

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理抄@=Zq

⑴介質(zhì)內(nèi)(8＜廠＜6)場(chǎng)強(qiáng)力二名,即

4兀尸'4716,0^,r

介質(zhì)外(”4)場(chǎng)強(qiáng)力唔,『舟

⑵介質(zhì)外（r>凡）電勢(shì)。=「左外.沂=」一

上4n￡0r

介質(zhì)內(nèi)（A<r<&）電勢(shì)

。=「顯.擊+「段位

=—（」）+一

4兀分邑rR24712O%

=q（」+9

47ieosrrR2

⑶金屬球的電勢(shì)U=「后內(nèi)心+『瓦卜Tf

JR】JR、

_產(chǎn)Qdr+「Qdr

JR4兀/%-Jg4714產(chǎn)

=q二+金）

4兀4j&R2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相

對(duì)介電常數(shù)為邑的電介質(zhì).試求：在有電介質(zhì)部分和無(wú)電介

質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為瓦，真空部

分場(chǎng)強(qiáng)為E，自由電荷面密度分別為力與,

由f>=Z<70得Dl=aijD-,=cr2

而D,=￡0Et,D2=snsrE2

L「U

=E2=—

?*?-%---_-。--2--G

?A

題8-28圖

8-29兩個(gè)同軸的圓柱面，長(zhǎng)度均為/,半徑分別為4和g（%

＞%）,且兩柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介

質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號(hào)電荷0和-0時(shí)，求：

⑴在半徑「處（4＜「＜&=,厚度為dr,長(zhǎng)為/的圓柱薄殼中

任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量；

⑵電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量；

⑶圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為r的同軸圓柱面⑸

貝fDdS=2n/7￡＞

J⑸

當(dāng)（"＜廠＜4）時(shí)，fq=Q

2nrl

（1）電場(chǎng)能量密度^=,=4^

2s8儲(chǔ)02產(chǎn)

薄中dW=wdu=——g,,27trdrl=0出

8rt2夕2/24兀夕］

（2）電介質(zhì)中總電場(chǎng)能量W=fdW=「旦立=2Ln里

JvJR、4式夕I4兀&/R}

⑶電容：?/卬=之

?c_g__2Tt儀

??一麗―ln(R2/R})

*8-30金屬球殼A和8的中心相距為r,A和B原來(lái)都不帶

電.現(xiàn)在A的中心放一點(diǎn)電荷劣,在B的中心放一點(diǎn)電荷%,

如題8-30圖所示.試求：

(1)1對(duì)%作用的庫(kù)侖力，陰有無(wú)加速度；

⑵去掉金屬殼3,求名作用在％上的庫(kù)侖力，此時(shí)%有無(wú)加

速度.

解：(1)%作用在%的庫(kù)侖力仍滿足庫(kù)侖定律，即

F__1

4兀4r2

但％處于金屬球殼中心，它受含力為零，沒(méi)有加速度.

⑵去掉金屬殼8,0作用在％上的庫(kù)侖力仍是尸=」-緡，

4兀%r

但此時(shí)％受合力不為零，有加速度.

題8-30圖題

8-31圖

8-31如題8-如圖所示,G=0.25〃F,C2=0.15AF,C3=0.20//

F.G上電壓為50V.求：uAB.

解：電容G上電量

Qi=CM

電容與C3并聯(lián)。23=。2+G

其上電荷&3=

*Q23_GG_25x50

。23。2335

25

+-2=50（1+行）=86V

8-32G和。2兩電容器分別標(biāo)明"200pF、500V”和“300pF、

900V”，把它們串聯(lián)起來(lái)后等值電容是多少?如果兩端加上

1000V?

解：（1）G與C2串聯(lián)后電容

r=C1C^=2Q0x300=120

G+G200+300

⑵串聯(lián)后電壓比

幺=Q=2,而q+u,=1000

U2G212

t/,=6OOV,f/2=400V

即電容a電壓超過(guò)耐壓值會(huì)擊穿，然后G也擊穿.

8-33將兩個(gè)電容器G和°?充電到相等的電壓u以后切斷電

源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相

聯(lián)?試求：

（1）每個(gè)電容器的最終電荷；

⑵電場(chǎng)能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為e%

%+。C2，學(xué)

題8-33圖

%+%=%0一夕20=GU-

貝口&=0M

夕2C?U2

U\=U?

c

解得(1)q、=C72)U，%=-f)U

G+GC]+。2

⑵電場(chǎng)能量損失

AW="-W

8-34半徑為4=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼,

殼的內(nèi)、外半徑分別為&二4.0cm和%二5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷0

=3.0X10-8C

⑴整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量；

⑵如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量；

⑶此電容器的電容值.

解：如圖，內(nèi)球帶電0,外球殼內(nèi)表面帶電-0,外表面帶電

Q

題8-34圖

⑴在/?</?］和&<〃<冗3區(qū)域

E=0

在與<r<%時(shí)小戶

471分廣

「>6時(shí)小聲

4兀名廣

，在凡<r<R?區(qū)域

%=［4。(4Q2)一4兀廠“

JR24兀Eg〃

加8兀%/8冗4&R2

在r>《區(qū)域

W,=］」/(—)247tr2dr=——--

"見(jiàn)24兀4L8兀％%

Q2111

總能量卬=叱+%---------1------------------1-------)

8兀4曷R2&

=1.82X10-4J

⑵導(dǎo)體殼接地時(shí),只有人…時(shí)人品,弘=。

W=W=_^_(_1——-)=1.01x1O-4J

8兀4與R2

⑶電容器電容。償=4嗎/一卷）

=4.49x1()72F

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)看的數(shù)值是否都相等?為何不

把作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度分的方向?

解：在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因?yàn)榇?/p>

場(chǎng)作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有

關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由