2020高考數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習(xí)考點和題型全歸納：第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算、定積分

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴函數(shù)》=於）在％=沏處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y=/（x）在尸沏處的瞬時變化率liA^nrO圖=

lizMirO+黑人⑹?為函數(shù)y=yq）在』=的處的導(dǎo)數(shù)，記作f（沏）或y'尸沏，即/'（沏）

=ii^o華習(xí)―左。+呼）一病。）.

AxAx

O函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)/'（x）反映了函數(shù)式x）的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方

向，其大?。ㄖ品从沉俗兓目炻?，（x）|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.

（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)兀0在尢=沏處的導(dǎo)數(shù)，（孫）的幾何意義是在曲線y=?x）上點

P（x0,%）?處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)s⑺對時間f的導(dǎo)數(shù)）.相應(yīng)地，切線方程

為y—%=/Uo）（x—Afi）.

?曲線y=7（x）在點尸（xo,yo）處的切線是指P為切點，斜率為左=/'（x（））的切線，是唯一

的一條切線.

（3）函數(shù)兀v）的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)，（x）=liA.w0，，+黑"，為y（x）的導(dǎo)函數(shù).

（4/（x）是一個函數(shù)，/（須）是函數(shù)/'（x）在沏處的函數(shù)值（常數(shù)），/（Xo）］'=0.

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

7U)=/(〃eQ*)f[x)=n-^

Xx)=sinxf(x)=cosx

fix)=cosXf(x)=~sinx

./(尤)="(〃>0,且〃W1)f(x)=a'\na

>W=e*/'(x)=e*

ytr)=logH(a>0,且〃W1)f(x)-xlna

/(x)=:

fix)-\nx

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

（l）『（x）±g（x）］'=/'（x）土g'（尤）；

(2)[f(x>g(x)]'=/'(x)g(x)+7(x)g'(x);

八、「於17f'MsM-j(x)g'(x)

(3W)J-麗(g(x)W。).

4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=_A"),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yj=)'"'?以」，

即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對"的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

5.定積分的概念

在J伙x)dx中，a,。分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[。，b]叫做積分區(qū)間，?v)叫

做被積函數(shù)，x叫做積分變量，_/(x)dx叫做被積式.

6.定積分的性質(zhì)

(1)f?U)dx=&f/x)dr(k為常數(shù))；

(2)fa[flW+f2(X)]dx=J%(x)iv土f^(x)dx；

(3)f旅x)dx=f沆x)dx+f飲x)dx(其中a<c<b).

求分段函數(shù)的定積分，可以先確定不同區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后根據(jù)定積分的性質(zhì)(3)

進行計算.

7.微積分基本定理

一般地，如果幻-)是區(qū)間[Q,句上的連續(xù)函數(shù)，并且尸(x)=/(x),那么/飲x)(U=FS)

~F(a),常把Fg)一尸3)記作尸(x)t，即/飲x)ck=F(xW=FS)—F(a).

8.定積分的幾何意義

定積分/飲x)口的幾何意義是介于x軸、曲線y=/(x)及直線x=a,之間的曲邊梯

形的面積的代數(shù)和，其值可正可負，具體來說，如圖，設(shè)陰影部分的面積為￡

①S=f飲x)dx；②^二-J沈r)dx；f^x)dx-f/x)dr；

@S=/飲x)dx—f*(x)(U=f?[f(x)-g(x)]dr.

(1)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結(jié)果可正

可負.

(2)當曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值為正；當曲邊梯形位于x軸下方時，定積

分的值為負；當位于x軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相等時，定積分的

值為零.

二、常用結(jié)論

1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2.熟記以下結(jié)論：(1)(：)'=一5；(2)(ln|x|)'=p

「11f'(x)

(4)[af(x)±bg(x)]'=af(x)±bg'(x).

3.常見被積函數(shù)的原函數(shù)

(1)f4dLe湍(2)f笈5=臺消("W—1)；

(3)f[sinxdx=_cos.記；(4)/1cosxdr=sinx\a；

⑸f^dx=ln|x|lS；(6)/%，ck=e%.

考點一導(dǎo)數(shù)的運算

1./x)=x(2018+lnx),若/(沏)=2019,則沏等于()

A.e2B.1

C.In2D.e

解析：選B/(x)=2018+lnx+xX^=2019+lnx,故由/(xo)=2O19,得2019+

Inx()=2,019,則lnx()=0,解得的=1.

2.(2019?宜昌聯(lián)考)已知/(x)是函數(shù)次幻的導(dǎo)數(shù)，jix)=f(l)-2r+x2,則/(2)=()

12-81n22

A-------------------R-----------------

l-21n2l-21n2

D.-2

v

解析：選C因為，(x)=/(l).2ln2+2xf所以，(1)=/(l>21n2+2,解得，(1)

27?4

=1K一所以"(X)=|cic-2'ln2+2r,所以/(2)^.X22ln2+2X2^..

1—21n2)1—21n2J1—21n201—21n20

3.若函數(shù)段)=0/+版2+。滿足/,([)=2,則/(―1)=.

解析：f(x)=4ax3+2hx,

,.了(x)為奇函數(shù)且f(1)=2,

：.f'(-l)=-2.

答案：一2

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=xsin%；

(2)y=lnx+p

s、cosx

(3)y=~^~；

(4)y=xsin(2x+3cos(2x+3.

解：(l)y'=(x2)1sinx+x2(sinx)1

=2xsinx+x2cosx.

(2?=(lnx+5=(lnx)，+?)'=B

⑶),，=(等，J一切器產(chǎn)皿，=_singcosx⑷...「=融3+,

=/sin(4x+兀)

1.

=-，rsin4x,

?，?y'=-pin4x-^x-4cos4x

=—^sin4x_2xcos4x.

考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用

考法(一)求切線方程

［例1］(2018?全國卷I)設(shè)函數(shù)/U)=f+3—1>/+依，若兒,為奇函數(shù)，則曲線y二人工)

在點(0,0)處的切線方程為()

A.y=—2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

［解析］法一：,.,/(無)=1+(4—Df+or,

:?f(x)=3f+2(a—\)x+a.

又7U)為奇函數(shù)，???人一元)=~/(幻恒成立，

即一f+(〃-l)f—or=一/一(〃-1)/—恒成立，

2

：.a=lt：.f(X)=3X+1,：.f(0)=1,

曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x.

法二：二"(x)=￡+(。-l)f+〃工為奇函數(shù)，

:?，(1)=3，+2(。-1〃+。為偶函數(shù)，

???。=1,即/(X)=3X2+1,：.f(0)=1,

曲線y=火天)在點(0,0)處的切線方程為y=x.

［答案］D

考法(二)求切點坐標

［例2］已知函數(shù)/(x)=xlnX在點P(w，yUo))處的切線與直線x+y=O垂直,則切點P(x(),

?to))的坐標為.

［解析］VXx)=xlnx,：,f(x)=lnx+l,由題意得/(沏)?(一D=-1,即，Uo)=l,

InXo+1=1,lnx()=O,/.x()—1,',?fi.xo)—0,即尸(1,0).

［答案］(1,0)

考法(三)由曲線的切線(斜率)求參數(shù)的值(范圍)

［例3］(1)(2018?商丘二模)設(shè)曲線7(x)=—e*—x(e為自然對數(shù)的底數(shù))上任意一點處的切

線為/”總存在曲線g(x)=3ax+2cosx上某點處的切線氏使得則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.［—1,2］B.(3,+°°)

「21］「12］

Q一亨3JD.「?可

(2)(2018?全國卷IH)曲線y=3+l)e*在點(0,1)處的切線的斜率為一2,則a=.

［解析］⑴由_/(x)=-e"一x,得/'(x)=-e'—1,

Ve'+1>1,［e(0,l).由g(x)=3or+2cosx,得g'(x)=3a—2sinx,又一2sinx

e［-2,2］,...3a—2sinxG［—2+3Q,2+3a］.要使過曲線兀v)=-e'-x上任意一點的切線

—2+34W0,

/i,總存在過曲線ga)=3ox+2cosx上某點處的切線和使得6-L/2,則彳,、

2+3啟1,

17

解得一？W〃W］.

(2)?.,y'=(ax+a+l)e-

/.當x=0時，y'=。+1,

???a+l=-2,解得〃=一3.

［答案］(1)D(2)-3

考法(四)兩曲線的公切線問題

［例4］已知曲線在x=0處的切線與曲線g(x)=—InX相切，則。的值

為.

［解析］由式幻=儲+介+：,得，(x)=3f+a

??/(())=〃,型)4

/.曲線y=/U）在x=0處的切線方程為y—^=ax.

f

設(shè)直線y一1=辦與曲線g（x）=—Inx相切于點（劭，—lnx0）,g（x）=-p

-lnxo-4=^b,①

4=一5,②

{的

3

將②代入①得lnx0=3

._3.__±_____3

??沏一%,.?〃——―e-a

e4

3

［答案］-e-4

［題組訓(xùn)練］

I.曲線），=旨在點（0,一1）處的切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為（）

A4B.7C.rD.1

o4Z

2

解析：選B因為y'=-T77，所以y'尸0=2,所以曲線在點（0,—1）處的切線方程

為y+l=2x,即y=2v-l,與兩坐標軸的交點坐標分別為（0,-1）,Q,0）,所以與兩坐標

軸圍成的三角形的面積S=1x|—l|x1=^.

2.已知直線2%—y+l=0與曲線y=ae*+x相切（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a

的值為.

解析：由題意知y'=〃e'+l=2,則a>0,x=—Ina,代入曲線方程得y=1—Ina,所

以切線方程為y—（1—Ina）=2（x+\na）9即y=2x+lna+1=2x+1今。=1.

答案：1

3.若一直線與曲線y=lnx和曲線』=@3>（））相切于同一點尸，則。的值為.

解析：設(shè)切點P（沏，W）,則由y=lnx,得y'=~,

J__2

二=不0,

2的a

由f=得y，=-.t,則有v解得a=2e.

yo=lnxo,

=ayo,

答案：2e

考點三定積分的運算及應(yīng)用

［題組訓(xùn)練］

X-cosx)dx=

解析:(sinx-cosx)d￥

=2.

答案：2

解析：=1—0=1，因為丁尸Mdx表示的是圓,+)2=4在x軸及其上

方的面積，故/2m二Pdx=%X22=2兀，故答案為2兀+1.

答案：2冗+1

3.由曲線y=4Ly=2—x,y=-%所圍成圖形的面積為

解析：法一：畫出草圖，如圖所示.

y=W，1x+y=2,

(y=小，

1及｛1

解方程組\x+y=2,得交點分別為(1,1),(0,0),(3,-1),

y=—尹

所以所求圖形的面積

=%+6-]X9-2+十寸.

法二：如圖所求陰影的面積就是三角形0A8的面積減去由)，軸，y=y[x,y=2—x圍成

的曲邊三角形的面積，即

5,0WxW2,

4.一物體在力F(x)=],(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x

[3x+4,x>2

=0處運動到x=4(單位：m)處，則力尸(x)做的功為J.

解析：由題意知，力尸(x)所做的功為W=f*F(x)dx=f25dx+f4(3x+4)dr=5X2+

J0J0J2

(|f+4x)_=10+1X42+4X4-(|X22+4X2^=36(J).

答案：36

1.正確選用求定積分的4個常用方法

定理法性質(zhì)法幾何法奇偶性法

2.定積分在物理中的2個應(yīng)用

(1)求物體做變速直線運動的路程，如果變速直線運動物體的速度為⑺，那么從時

刻t=a到f=6所經(jīng)過的路程s=/o(f)df.

(2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b

時，力尸(x)所做的功是W=//(x)dx.

[課時跟蹤檢測]

A級

1.曲線y=ex—lnx在點(1,e)處的切線方程為()

A.(1—e)x—y+l=0B.(1—e)x—y—1=0

C.(e—l)x—y+1=0D.(e—l)x—y—1=0

解析：選C由于y'=e-p所以y'k=]=e—1,故曲線y=ex—Inx在點(1,e)處的

切線方程為y—e=(e—l)(x—1),即(e—1)x—y+1=0.

2.曲線段)=/—%+3在點尸處的切線平行于直線y=2x—1,則尸點的坐標為()

A.(1,3)B.(—1,3)

C.(1,3)和(一1,3)D.(1,-3)

解析：選cra)=3d—i,令/a)=2,則才一1=2,解得工=1或1=-1,??.P(I,3)

或(一1,3),經(jīng)檢驗，點(1,3),(―1,3)均不在直線y=2x—1上，故選C.

3.已知函數(shù)/U)的導(dǎo)函數(shù)為/。)，且滿足關(guān)系式兀外=/+34(2)+lnx,則/(2)

的值等于()

A2B2

?

99

C-D-

44

解析：選C因為危)=/+34(2)+ln.所以/(x)=2x+3/(2)+：,所以/(2)

19

=2X2+3f(2)+2，解得/(2)=一1

4.(2019?四川名校聯(lián)考)已知函數(shù)段)的圖象如圖所示，f(x)是府)

的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()

A.0<f'(2)<f,(3)<A3)-/2)

B.0<f'(3)<f(2)</(3)-/2)

C.0</(3)勺(3)—/(2)</(2)

D.0</(3)-A2)<f(2)勺'(3)

解析：選C設(shè)/(3),共3)一12),f(2)分別表示直線n,m,1的斜率，數(shù)形結(jié)合知

0</(3)勺(3)一<2)勺?'(2),故選C.

5.(2019?玉林模擬)由曲線和曲線尸也圍成的一個葉形圖如

圖所示，則圖中陰影部分的面積為()

A.3BU)

C4D5

產(chǎn)元，x=0,x—1,

解析：選A由廠解得.或所以陰影部分的面積為’1（4一

j=W，y=0

x2)dx=

o

6.（2018?安慶模擬）設(shè)曲線），=*一1n（工+1）在兀=0處的切線方程為2x-y+l=0,則〃

=()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選DVj=ear-ln（x+l）,=〃/*一9]，???當x=0時，＜=〃一1「??曲線

y=e"—ln（x+l）在x=0處的切線方程為21一y+l=0,.\a—1=2,即〃=3.

QL2

7.（2018?延邊期中）設(shè)點尸是曲線y=f—小x+§上的任意一點，則曲線在點尸處切線

的傾斜角?的取值范圍為（）

c.[o,mJD.C，y]

解析：選C因為y=3f—小2—小，故切線的斜率Z2一小，所以切線的傾斜角a

的取值范圍為0,y,兀）

8.若曲線於尸xsinx+1在7T廠方處的切線與直線ox+2y+l=0相互垂直，則實數(shù)。=

解析：因為/（x）=sinx+xcosX，所以/（?=si埼+梟靖=1.又直線分+2y+l=0

的斜率為一/所以1義（一9=-1,解得〃=2.

答案：2

9.（2019?重慶質(zhì)檢）若曲線y=ln（x+q）的一條切線為y=ex+b,其中a,b為正實數(shù)，

則〃+舟的取值范圍為?

=不，設(shè)切點為（沏，％）,則有＜沏+〃'

解析：由y=lna+q）,得y'=>b=

Jn（xo+^）=exo+Z?

4/e—2.V/?>0,

el

.??〃+不W=〃+々22,當且僅當a=1時等號成立.

答案：[2,+°°)

10.（2018?煙臺期中）設(shè)函數(shù)尸（x）=lnx+?0<xW3）的圖象上任意一點P（x°,光）處切線的

斜率亙成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析：由F（x）=lnx+f（0wW3）,得尸（x）=%*（0<xW3）,則有k=F'（即）=白/在2

在（0,3］上恒成立，所以“）（一5；+Ab）max.當須）=1時，一；/+須在（0,3J上取得最大值所

以心!

答案：+°°)

B級

1.若公)=/+2僅㈤心，則口(x)ir=()

J010

A.-1B.一g

C.gD.1

■\j1-X2,x?[―1,

2.設(shè)丸x）=則/兀v）cU的值為（)

X2-1,xG(l,2J,

4

兀

兀

一+--+3

A.232

4

兀

C二--+3

4+■34

24

兀

2+&3-x)--十-

解析：選A23

1

3.等比數(shù)列｛%｝中，。1=2,〃8=4，函數(shù)於)=X(X—。]＞。一。2)?…，(x—。8)，則/'(0)=

()

A.26B.29

C.212D.215

解析：選C因為，(x)=/?[(x-Ch)(x—。2卜…?(x—a8)]+[(x—Qi)(x—。2)?…。一。8)]'式

=(x—，“)(工一。2)?…?(x-a8)+[(x—。1)仇一。2)?…，(x—。8)]'”，所以/(0)=(0—，“)(0—敢)?…?(0

—as)+0=aia2-"--?8"

因為數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，

所以。2。7=。346=。445=。1〃8=8,

所以/'(0)=84=2?

4.若存在過點(1,0)的直線與曲線y=f和尸加+琴L9都相切，則a等于()

人?-25口,.21

A.一1或一瓦B.-1或彳

C.一孑或一署D,一*或7

解析：選A因為y=d,所以<=37，

設(shè)過點(1,0)的直線與相切于點a。，瑞，

則在該點處的切線斜率為左=3/,

所以切線方程為y—XQ=3XQ(A*—沏),即y=3XQX—2x0.

3

又點(1,0)在切線上，所以沏=0或x()=2-

當沏=0時，切線方程為y=0.由y=0與y=a?+學(xué)I—9相切可得〃=一符；

當劭=|時，切線方程為)，=乎一日，由》=務(wù)工一孑與丁二^^+冬一9相切，可得。=

-1.

綜上，4的值為一1或一會25.

5.已知力(x)=sinx+cosx,%+G)是%⑴的導(dǎo)函數(shù)，即為。)=力'(x),力。)=靈'。)，…，

fn+1W=fn'W〃￡N,貝(J/(H9(X)=()

A.—sinx—cosxB.sinx-cosx

C.-sinx+cosxD.sinx+cosx

解析：選AV/i(x)=sinx+cosx,???力(x)=/l‘(x)=cosx—sinx,力(x)=/&'(x)=—sinx

-cosx,A(x)=/'(x)=-cosx+sinx,fs(x)=f^(x)=sinx+cosx,…，.7/Xr)的解析式以

4為周期重復(fù)出現(xiàn)，72019=4X504+3,：.f2Oi9W=A(x)=-sinx-cosx.

6.曲線y=ln(2x—1)上的點到直線2%—)，+8=0的最短距離是()

A.2市B.2

C.25D.小

解析：選A設(shè)M(xo,ln(2xo-1))為曲線上的任意一點，則曲線在點M處的切線與直

線2x-y+8=0平行時，點M到直線的距離即為曲線y=ln(2x—l)上的點到直線2x~y+S

=0的最短距離.

22

???<=-~~7,------7=2,解得劭=1,記點M到直線2x-y+8=0的距

ZX—12X()-1

|2+8|

離為d,則d==2小.

^/4+T

7.如圖，y=>(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線/：y=fcr+2是曲線)，=大m在x=3處的切線，令g(x)

=求工)，則曲線g(x)在x=3處的切線方程為

解析：由題圖可知曲線)，=兀￥)在x=3處的切線斜率等于一上即r(3)=—又g(x)=

燈U),所以g'(x)=yU)+^'(%),屋(3)=#3)+3-(3),由題圖可知人3)=1,所以g(3)=

訓(xùn)3)=3,g'(3)=1+3X(—9=0,則曲線g(x)在x=3處的切線方程為y—3=0.

答案：y—3=0

8.設(shè)函數(shù)曲線y=?r)在點(2,42))處的切線方程為7x—4y—12=0.

⑴求危)的解析式；

(2)曲線y=/U)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積是否

為定值，若是，求此定值；若不是，說明理由.

7

解：(1)方程7x—4y—12=0可化為3,

當x=2時，y=1.

之1

=-

22=1

又/'(x)=〃+?,所以解=

〃73

一-

4=4

3

故

(2)是定值，理由如下：

設(shè)P(xQ,先)為曲線y=?r)上任一點，

由，(x)=l+子知曲線在點尸(沏，地)處的切線方程為y—)；0=(1+竟)?！獰o0),

即廠"卜=(1+款LM)?

令x=0,得丁=一號，得切線與直線x=0的交點坐標為(0,—

令丁=無，得>=工=2沏，得切線與直線)，=%的交點坐標為(2ro,2xo).

所以曲線在點尸(項)，％)處的切線與直線x=0,y=/所圍成的三角形的面積S=g

康2。1=6.

故曲線y=/(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定

值，且此定值為6.

〃(x+1)

9.已知函數(shù)於)=lnx

x~\

+1.

(1)求函數(shù)兀v)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)直線/為函數(shù)g(x)=lnx圖象上任意一點4的，光)處的切線，問：在區(qū)間(1，+8)

上是否存在劭，使得直線/與曲線/i(x)=e”也相切？若存在，滿足條件的沏有幾個？

解：函數(shù)fl且刀并

(1)：/x)=lnx-^Z1'\x>01),

,.x~+\

???/⑸=2+8a=10,...a=l,

?.”>o且xWl,：.f'(x)>0,

，函數(shù)7U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)在區(qū)間(1,+8)上存在唯---個滿足條件的沏.

Vg(x)=lnjc,：.g'W=p

，切線/的方程為y—Inxo=((x—沏)，

即

y=g+Inx0—1.①

設(shè)直線/與曲線〃(%)=e"相切于點(X[,exi),

,?*h'(x)=e、，ex\~~,.??Aj=-Inx()

沏f

?二直線/的方程也可以寫成y—L='(x+lnxo),

X。XQ

即y=：x+乎.②

X。的沏

由①②得lnx)—1=乎^+《，??.lnM)=

的xo即一1

下證在區(qū)間(1,+8)上存在唯——個滿足條件的沏.

x+1

由(1)可知，/(x)=lnx一二7在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

2e2—3

又:/^)=一杏<0,Z(e2)==>0,

二結(jié)合零點存在性定理，知方程<x)=0在區(qū)間(e,e2)上有唯一的實數(shù)根，這個根就是

所求的唯一滿足條件的沏.

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用

一、基礎(chǔ)知識

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

在(“，6)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)/'(x)在他，6)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0/。)200段)在(a,

加上為增函數(shù).a)wooy(噌在

(a,6)上為減函數(shù).

2.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/u)在點x=a的函數(shù)值共/比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,/(@=0；

而且在點尸“附近的左側(cè)/(尤)<0,右側(cè)/(x)>0,則點a叫做函數(shù))，=中0的極小值點，加)

叫做函數(shù)_y=7(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點x=b的函數(shù)值人力比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大，f(b)

=0；而且在點x=6附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/(x)<0,則點》叫做函數(shù)y=/(x)的極大

值點，_/(〃)叫做函數(shù)y=7U)的極大值.

極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

3.函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間M，切上連續(xù)的函數(shù)兀c)在［a,加上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù)7U)在［a,旬上單調(diào)遞增，則犬a(chǎn))為函數(shù)的最小值，述匕)為函數(shù)的最大值；若函

數(shù)4x)在口，句上單調(diào)遞減，則犬。)為函數(shù)的最大值，人份為函數(shù)的最小值.

(3)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.，

。(1?'(x)>0(<0)是應(yīng)r)在區(qū)間(a,加內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.

(2N'(x)》0(W0)是/U)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.

(3)由/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得/(x)》0(W0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立,而不是/(》)

>0(<0)恒成立，“=”不能少，必要時還需對“=”進行檢驗.

圖、'(的)=0是沏為/U)的極值點的必要不充分條件.例如，J(x)=x\f(0)=0,但x

=0不是極值點.

(1)極值點不是點，若函數(shù)兀0在兩處取得極大值，則勺為極大值點，極大值為八兩)；

在尤2處取得極小值，則M為極小值點，極小值為加2).極大值與極小值之間無確定的大小

關(guān)系.

(2)極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).?

二、常用結(jié)論

(1)若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“U”及“或”連接，

只能用“，”“和”字隔開.

(2)若函數(shù)兀v)在開區(qū)間(小田內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值一定是函數(shù)的最值.

(3)極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點)，最值卻可以在端點處取得，有極值的不一定

有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點

處取，則必定在極值處取.

第一課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

考點一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.已知函數(shù)4x)=x1nx,則於)()

A.在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.在(0,+8)上單調(diào)遞減

C.在(0,§上單調(diào)遞增

D.在(0,§上單調(diào)遞減

解析：選D因為函數(shù)的定義域為(0,+°°),

所以/(x)=lnx+l(x>0),

當ra)>o時，解得x>9，

即函數(shù)?r)的單調(diào)遞增區(qū)間為(：，+8)；

當/(x)V0時，解得0<xV：,

即函數(shù)7U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,故選D.

2.若嘉函數(shù)人x)的圖象過點為，9,則函數(shù)g(x)=e%x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

解析：設(shè)賽函數(shù)兀v)=x",因為圖象過點停，；)，

所以3=除)，a=2,

所以fix)=x2,故g(x)=e'x1,

則g'(x)=ex2+2e'x=e'(jc2+2x),

令g'(x)<0,得一2Vx<0,

故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2,0）.

答案：（-2,0）

3.（2018?開封調(diào)研）已知定義在區(qū)間（一無，兀）上的函數(shù)式x）=xsinx+cosx,則火x）的單調(diào)

遞增區(qū)間是.

解析：f（x）=sinX+JCCOSx-sinx=xcosx.

令，（x）=xcosx>0（x￡（—兀，兀）），

jr7T

解得一兀VxV—1或OVxV1,

即函數(shù)於）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一兀，一習(xí)和（°,?）.

答案:（一兀，一.和（0,§

考點二判斷含參函數(shù)的單調(diào)性

（2018?全國卷I節(jié)選）已知函數(shù)兀r）=p—x+alnx,討論八x）的單調(diào)性.

［解］YU）的定義域為（0,+8）,

「，，、1,,ax-ax+\

①當aW2時，則/（x）W0,

當且僅當〃=2,x=l時，f（JV）=O,

所以ZU）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

②當〃>2時，令（x）=0,

付x=2雙x=2,

當X《。，七當三川產(chǎn)產(chǎn)，+8）時，

fW<0;

當xeR三,讓盧）時,fW>0.

所以於）在（0,右尹），停邛三，+8）上單調(diào)遞減，在

尸用三，Th用三）上單調(diào)遞增.

綜合①②可知，當“W2時隊勸在（0,+8）上單調(diào)遞減；當〃>2時，於）在（0,一弓一B，

??三，+8）上單調(diào)遞減，在尸f三，￡±半三百上單調(diào)遞增.

［題組訓(xùn)練］

己知函數(shù)8(》)=皿》+依2+公，其中g(shù)(x)的函數(shù)圖象在點(1,g(l))處的切線平行于X軸.

⑴確定a與6的關(guān)系；

⑵若a20,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

解：(l)g'(x)=；+2ax+Z>(x>0).

由函數(shù)g(x)的圖象在點(1,g(l))處的切線平行■于x軸，

得g'(l)=l+2a+b=0,所以〃=一2。一1.

⑵由⑴得

,2ax2—(2a+1)x+1(2ax~1)(x—1)

g(x)=---------------=--------------

因為函數(shù)g(x)的定義域為(0,+°°),

x-1

所以當〃=()時，/a)=-=j—.

由g'a)>o,得ovxvi,由『a)vo,得七>i,

即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

當〃>0時，令g，(x)=0,得x=l或

若」V1,即〃>義，由g'(x)>0,得犬>1或OVxv},由g,(x)V0,得］VxVl,

即函數(shù)g(x)在(0,力，(1,+8)上單調(diào)遞增，在七，I)上單調(diào)遞減：

若方>1,即0<4<3，由g'(x)>0,得A古或OVxVl,

由g'(x)<0,得1Vx</,

即函數(shù)g(x)在(0,1),七，+8)上單調(diào)遞增，在(1,與上單調(diào)遞減；

若4=1,即a=￡,在(0,+8)上恒有/(x)20,

即函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得，當a=0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減：

當0<a<；時，函數(shù)g(x)在(0,1),七，+8)上單調(diào)遞增，在(1,51，上單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當a>T時，函數(shù)g(x)在(0,D，(1,+8)上單調(diào)遞增，

在0，1)上單調(diào)遞減.

考點三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

［典例精析］

⑴若函數(shù)火x)=L/sin2x+asinx在(一8,十8)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

(2)若函數(shù)〃(x)=lnx-3/-2幅*0)在［1,4］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為.

17

［解析］(1)函數(shù)兀r)=x-gsin2尤+nsinx在(一8,+8)單調(diào)遞增，等價于/(尤)=1—§

cos2x+acosx=—gcosZx+acosx+T-0在(一8,+8)恒成立.設(shè)cosx=f,則g(f)=-gf2

45

g(l)=-)+a+J0,

45解得本

{g(—D=一廠〃+汪0，

⑵因為力(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，

所以當xd［l,4］時，/(尤)=9一or-2W0恒成立，

12

即.27一;恒成立.

1?

由(1)知G(x)=p--,

所以a》G(X)max，而G(x)=?一|)2一1,

因為xC［L4］,所以1,

7

所以G(X)max=一五(此時X=4),

7

所以。2—而，又因為。#0,

所以。的取值范圍是一卷0)U(0,+°°).

答案：(1)［一；，|(2)一看0)U(0,+~)

［變式發(fā)散］

1.(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤昂瘮?shù)〃(x)在［1,4］上單調(diào)遞增”，則a的取值范圍為

解析：因為Z?(x)在［1,4］上單調(diào)遞增，所以當xG口,4］時，/?'(x)20恒成立，即“0-三

恒成立,

又因為當xG［l,4］時，(土—芻)”2=-1(此時x=l),

所以“W—1,即a的取值范圍是(一8,—1］.

答案：(-8,—1］

2.(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤昂瘮?shù)A(x)在［1,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則a的取值

范圍為.

解析：因為/z(x)在口,4］上存在單調(diào)遞戒區(qū)間，

所以/'(x)VO在［1,4］上有解,

12

所以當xG［l,4］時,a＞/一:有解,

而當XE［1,4］時，(玄-$min=-1(此時X=l),

所以4＞一1,又因為aWO,

所以a的取值范圍是(一1,O)U(O,+8).

答案：(-1,O)U(O,+8)

3.(變條件)若本例⑵條件變?yōu)椤昂瘮?shù)〃(x)在［1,4］上不單調(diào)”，則a的取值范圍為

解析：因為〃(x)在［L4］上不單調(diào)，

所以〃(x)=O在(1,4)上有解，即4='—1)2—1在(1,4)上有解，

127

令加(%)=7—px￡(l,4),則一1＜皿%)〈一正.

所以實數(shù)a的取值范圍是(一1,一擊).