矩陣的運(yùn)算與初等變換第三講

矩陣的運(yùn)算與初等變換第三講第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生了解矩陣十分重要的運(yùn)算——矩陣的初等變換、初等方陣的概念，掌握初等變換的方法.

教學(xué)要求：理解初等變換、初等方陣的概念，熟練掌握初等變換的運(yùn)算，會用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.

教學(xué)重點：矩陣初等變換和初等方陣，用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡形、行階梯形矩陣.

教學(xué)難點：用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的方法.矩陣初等變換和初等方陣的關(guān)系.

教學(xué)時間：2學(xué)時.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一§5矩陣的初等變換5.1引例求解線性方程組(1)①②③④第一章機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一(1)÷123(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一于是得

其中x3可任意取值，或令x3=c

這里c為任意常數(shù).則方程組的解可記為：x

=x=即第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一把上面方法加以數(shù)學(xué)抽象B=（A

b)=稱為方程組（1）的增廣矩陣.

把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一5.2矩陣的初等變換

定義5.1

下面三種變換稱為矩陣的初等變換:(3)換法變換:

交換矩陣的兩行(列).(1)倍法變換:

用一個數(shù)k≠0乘矩陣某一行(列)中的所有元素;(2)消法變換:

用一個數(shù)乘矩陣的某行(列)所有元素后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去;

※矩陣初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為初等變換.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

顯然,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換:※矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：

※兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價.(3)換法變換的逆變換就是其本身.(1)倍法變換的逆變換為;(2)消法變換的逆變換為;※如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作AB.

（1）反身性A

A;（2）對稱性若A

B，則BA；（3）傳遞性若A

B，B

C，則A

C.

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定理5.1

設(shè)A為m×n矩陣，則A必可經(jīng)過有限次初等變換化為如下形式其中G稱為矩陣A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形.簡稱為A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.……第r行.（6）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

證明若A為零矩陣，則定理顯然成立，此時r=0.否則，必可經(jīng)過行、列的換法變換使第1行、第1列元素d不為零.以乘第1行，化（1，1）元為1，在經(jīng)過適當(dāng)?shù)男小⒘邢ㄗ儞Q，將矩陣化為如下形式如果bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)全為零，則B便是形如（6）式的矩陣（r=1）了.如若不然，在B的第2~m行，第2~n列中進(jìn)行上述初等變換，即先使B的（2，2）元非零，化為1，在用適當(dāng)?shù)南ㄗ儞Q，將矩陣的第2行和第2列的其余非零第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一元素都化為0，注意到這些初等變換不改變B的第1行及第1列的元素.至此，已將矩陣A化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

如此繼續(xù)下去，最后必能得到一個形如（6）式的矩陣.根據(jù)等價的定義，顯然AG.第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

例1求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.

解對矩陣A施以初等行變換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一為A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

在例1的計算中，我們暨使用了初等行變換，也使用了初等列變換.但在某些場合只允許使用初等行變換.例如，引例中求解方程組的過程對應(yīng)到相應(yīng)的矩陣上來，即有→→→機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一1)行階梯形矩陣：

行階梯形矩陣的特點是：1）矩陣的所有元素全為0的行（如果存在的話）都集中在矩陣的最下面；

2）每行左起第一非零元素（稱為首非零元）的下方元素全為0.

形象地說，可以在該矩陣中畫一條階梯線，線的下方元素全為0；每個階梯僅有一行，階梯數(shù)既是非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第1個元素即為首非零元.第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一定理5.2設(shè)A為m×n矩陣,則A必可用初等行變換化為行階梯形矩陣.上邊的例子便是只用初等行變換將A化成行階梯形矩陣,而如果求解過程中的“回代”過程也用初等行變換來完成,則有

→→機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一2)行最簡形矩陣：※一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把它的增廣矩陣化為行最簡形矩陣.

行最簡形矩陣的特點是：非零行的首非零元為1，且這些首非零元所在的列的其它元素全為0.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

5.3

初等矩陣一、初等矩陣的概念

定義5.2

對單位矩陣Ｅ施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

1.初等倍法矩陣：以數(shù)k≠０乘以某行（列）第i行機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一2．初等消法矩陣：以數(shù)k乘以某行（列）加到另一行（列）上去．第i行第ｊ行機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一3．初等換法矩陣：對調(diào)兩行（列）．第i行第ｊ行機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

例5.2設(shè)求P(1,3)A；AP(1,3)；P(2[k])A；AP(1,3[k]).

解將矩陣A按行分塊得按列分塊得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一由矩