矩陣與矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣與矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形第1頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為多項(xiàng)式矩陣或矩陣。定義

如果矩陣中有一個(gè)階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱(chēng)的秩為，記為零矩陣的秩為0。定義

一個(gè)階矩陣稱(chēng)為可逆的，如果有一個(gè)階矩陣，滿(mǎn)足這里是階單位矩陣。稱(chēng)為矩陣的逆矩陣，記為。第2頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理

一個(gè)階矩陣可逆的充要必要是一個(gè)非零的常數(shù)。定義下列各種類(lèi)型的變換，叫做矩陣的初等變換：矩陣的任二行(列)互換位置；非零常數(shù)乘矩陣的某一行(列)；矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去，其中是的一個(gè)多項(xiàng)式。對(duì)單位矩陣施行上述三種類(lèi)型的初等變換便得相應(yīng)得三種矩陣得初等矩陣

第3頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理

對(duì)一個(gè)的矩陣的行作初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的階初等矩陣左乘。對(duì)的列作初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的階初等矩陣右乘。定義如果經(jīng)過(guò)有限次的初等變換之后變成，則稱(chēng)與等價(jià)，記之為定理

與等價(jià)的充要條件是存在兩個(gè)可逆矩陣與，使得第4頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

矩陣Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存在性

定理

任意一個(gè)非零的型的矩陣都等價(jià)于一個(gè)對(duì)角形矩陣，即

第5頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式且稱(chēng)這種形式的矩陣為的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。稱(chēng)為的不變因子。例1將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。第6頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：第7頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第8頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：第9頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第10頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第11頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：第12頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第14頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第15頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第16頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。例4解：第18頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第21頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定義：為一個(gè)矩陣且對(duì)于任意的正整數(shù)，，必有非零的階子式，的全部階子式的最大公因式稱(chēng)為的階行列式因子。第22頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一顯然，如果，則行列式因子一共有個(gè)。例1求的各階行列式因子。解：第23頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于，所以。顯然而且其余的7各2階子式也都包含作為公因子，所以另外第24頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意：觀察三者之間的關(guān)系。定理：等價(jià)（相抵）矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。設(shè)矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為第25頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一容易計(jì)算上面的標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子為第26頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一顯然有：第27頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于與上面的Smith標(biāo)準(zhǔn)形具有相同的各階行列式因子，所以的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定理：的Smith標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。例1求下列矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。第28頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第29頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：（1）容易計(jì)算出第30頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看階行列式因子。有一個(gè)階子式要注意，即第31頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一容易計(jì)算出從而第32頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第33頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)定理

矩陣與等價(jià)的充要條件是對(duì)于任何的，它們的階行列式因子相同。定理

矩陣與等價(jià)的充要條件是與有相同的不變因子。第34頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價(jià)。推論矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。第35頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一初等因子和矩陣的相似設(shè)矩陣的不變因子為在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：第36頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中是互異的復(fù)數(shù)，是非負(fù)整數(shù)。因?yàn)?，所以滿(mǎn)足如下關(guān)系定義在上式中，所以指數(shù)大于零的因子稱(chēng)為矩陣的初等因子第37頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如果矩陣的不變因子為則的初等因子為第38頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如果矩陣的秩為4，其初等因子為求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：首先求出的不變因子第39頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從而的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為定理階矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。第40頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理設(shè)矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：第41頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理若矩陣則各個(gè)初等因子的全體就是的全部初等因子。第42頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求矩陣的初等因子，不變因子與標(biāo)準(zhǔn)形。解：記第43頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那么對(duì)于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為因?yàn)榈闹葹?，故的不變因子為第44頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為第45頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2判斷下面兩個(gè)矩陣是否等價(jià)？第46頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求下面矩陣不變因子第47頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求下列矩陣的行列式因子與不變因子第48頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一數(shù)字矩陣的相似與矩陣的等價(jià)定理：設(shè)是兩個(gè)階的數(shù)字矩陣，那么與相似的充分必要條件為它們的特征矩陣與等價(jià)。定義：對(duì)于數(shù)字矩陣，我們稱(chēng)的不變因子為的不變因子，稱(chēng)的初等因子為的初等因子。第49頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于任何一個(gè)數(shù)字矩陣所以，于是可得下面兩個(gè)定理定理：兩個(gè)同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。定理：兩個(gè)同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。例設(shè)，證明：第50頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）階矩陣與第51頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一相似；（2）階矩陣與第52頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一不相似。

矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定義：稱(chēng)階矩陣第53頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為Jordan塊。設(shè)為Jordan塊，稱(chēng)準(zhǔn)對(duì)角形矩陣第54頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。由前面的例題和定理可知Jordan塊的初等因子為，從而Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等因子為第55頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一于是可以得到下面的定理定理：設(shè)的初等因子為則，這里第56頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中我們稱(chēng)是矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。特別地，我們有定理：可以對(duì)角化的充分必要條件是第57頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一的初等因子都是一次因式。例1求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解：先求出的初等因子。對(duì)運(yùn)用初等變換可以得到第58頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以的初等因子為第59頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故的標(biāo)準(zhǔn)形為或第60頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解：先求出的初等因子。對(duì)運(yùn)用初等變換可以得到第61頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以的初等因子為第62頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為或第63頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的另一種方法：特征矩陣秩的方法.具體操作步驟：（1）先求出該矩陣的特征多項(xiàng)式及其特征值（2）其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上都是的特征值，并且特征值在主對(duì)角線上出現(xiàn)的次數(shù)等于作為特征根的重?cái)?shù)。對(duì)于每個(gè)特征值，求出以它為主對(duì)角元的各級(jí)Jordan塊的數(shù)目，首先求出

那么以為主對(duì)角元的Jordan塊的總數(shù)是第64頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這里為該矩陣的階數(shù)，而以為主對(duì)角元的級(jí)Jordan塊的數(shù)目是依次先求出直至滿(mǎn)足條件第65頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為止。（3）根據(jù)第二步求出的各級(jí)Jordan塊的數(shù)目，就可以寫(xiě)出的一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。例1用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。第66頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：先求出的特征多項(xiàng)式及其特征值。對(duì)于特征值，它是的1重根，從而在的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上出現(xiàn)一次，因此中主對(duì)角元為1的Jordan塊只有一個(gè)且它為一階的。第67頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于特征值，先求

所以從而第68頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一特征值是的兩重根，從而在的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上出現(xiàn)兩次，因此中主對(duì)角元為3的Jordan塊只有一個(gè)且它為二階的。故的標(biāo)準(zhǔn)形為或第69頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解：首先求出其特征值，顯然其特征多項(xiàng)式為第70頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以為的4重根，從而在的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上出現(xiàn)四次，下面計(jì)算中主對(duì)角元為1的Jordan塊的數(shù)目，先計(jì)算，容易得到那么中主對(duì)角元為的Jordan塊數(shù)是由此立即可得其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為第71頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何求相似變換矩陣？

設(shè)階方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為,則存在可逆矩陣使得第72頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一，稱(chēng)為相似變換矩陣。對(duì)于相似變換矩陣的一般理論我們不作過(guò)多的討論，只通過(guò)具體的例題說(shuō)明求的方法。例1求方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣。第73頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：第74頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故的初等因子為從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為再求相似變換矩陣：設(shè)所求矩陣為，則，對(duì)于按列分塊記為第75頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一于是有從而可得第76頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一整理以后可得三個(gè)線性方程組前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系：可以取，但是不能簡(jiǎn)單地取，這是因?yàn)槿绻x取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程組無(wú)解。由于第77頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一的任意線性組合都是前兩個(gè)方程組的解，所以應(yīng)該取使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩也為1。即第78頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一容易看出只需令就會(huì)使得上述矩陣的秩為1，于是再由第三個(gè)方程解出一個(gè)特解為第79頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一，那么所求相似變換矩陣為例2求方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣。第80頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：第81頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故的初等因子為從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為再求相似變換矩陣：設(shè)所求矩陣為，則，對(duì)于按列分塊記為第82頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一于是有從而可得第83頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一整理以后可得三個(gè)線性方程組前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系：可以取，但是不能簡(jiǎn)單地取，這是因?yàn)槿绻x取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程組無(wú)解。由于第84頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一的任意線性組合都是前兩個(gè)方程組的解，所以應(yīng)該取

使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩也為1。即第85頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一容易看只要就會(huì)使得上述增廣矩陣的秩為1。令，于是再由第三個(gè)方程解出一個(gè)特解為第86頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一，那么所求相似變換矩陣為從而有第87頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一般地，設(shè)，則存在階可逆矩陣使得其中為Jordan塊，記這里第88頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那么有記，又可得第89頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意：是矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，特征向量的選取應(yīng)該保證特征向量可以求出，同樣特征向量的選取應(yīng)該保證特征向量可以求出，依此類(lèi)推，并且使得線性無(wú)關(guān)。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用例1對(duì)于方陣第90頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求。解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：第91頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故的初等因子為第92頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為再求相似變換矩陣且，那么按照前面例題的方式，容易計(jì)算出第93頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從而第94頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2求解常系數(shù)線性微分方程組解：令第95頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那么此方程組可表示成第96頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由前面的例題可知存在使得第97頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一作線性替換從而可得整理即得方程第98頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期一首先得到兩個(gè)很顯然的解