離散數(shù)學(xué)離散概率

離散數(shù)學(xué)離散概率1第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一第12章離散概率

12.1隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算12.2條件概率與獨(dú)立性12.3離散型隨機(jī)變量12.4概率母函數(shù)第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一12.1

隨機(jī)事件與概率、事件的運(yùn)算

12.1.1隨機(jī)事件與概率樣本空間與樣本點(diǎn),離散樣本空間基本事件,必然事件,不可能事件12.1.2事件的運(yùn)算和事件,積事件,差事件,逆事件,互不相容加法公式與若當(dāng)公式第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

例1

擲硬幣試驗(yàn)例2

摸小球試驗(yàn).設(shè)袋中有10個(gè)相同的小球,分別編號(hào)

0,1,…,9,從中任取一個(gè).

隨機(jī)試驗(yàn):可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果樣本空間:樣本點(diǎn)的全體,通常記作.離散樣本空間:只有有窮個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間隨機(jī)事件(事件):樣本空間的子集事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果A

第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一隨機(jī)事件的概率基本事件:只含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件必然事件:必然發(fā)生的事件,即本身不可能事件:不可能發(fā)生的事件,即空集定義12.1設(shè)

是離散樣本空間,實(shí)函數(shù)p:

→R滿足條件:(1)

,0≤p()≤1,(2)

稱p是

上的概率,p()是樣本點(diǎn)

的概率.事件A的概率規(guī)定為第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)例例1(續(xù))

擲硬幣.樣本點(diǎn):0(正面向上),1(背面向上).

={0,1},p(0)=p(1)=0.5.例2(續(xù))

摸小球.樣本點(diǎn):i(摸到編號(hào)i的小球),i=0,1,…,9,

={i|i=0,1,…,9},p(i)=0.1,i=0,1,…,9.記A:摸到編號(hào)不超過5的小球,B:摸到編號(hào)為偶數(shù)的小球,

C:摸到編號(hào)小于10的小球,D:摸到編號(hào)大于10的小球,A={i|i=0,1,…,5},P(A)=0.6.B={i|i=0,2,4,6,8},P(B)=0.5.C=

,必然事件,P(C)=1.D=,不可能事件,P(D)=0.第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)例例3考慮某網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)被訪問的次數(shù),

=N.設(shè)

上的概率其中>0是一常數(shù).不難驗(yàn)證p(i)滿足條件:(1)i,0≤p(i)≤1,(2)第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一事件的運(yùn)算

和事件AB:AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生或B發(fā)生積事件AB(AB):AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生差事件AB:AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生且B不發(fā)生逆事件:=

A,發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A不發(fā)生A與B互不相容:AB=A與互不相容,但反之不真第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一事件運(yùn)算的計(jì)算公式1o

加法公式

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).當(dāng)A與B互不相容時(shí),P(AB)=P(A)+P(B).2o

若當(dāng)公式當(dāng)A1,A2,…,An兩兩互不相容時(shí),3oP()=1P(A),第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)例例4

從1~100中任取一個(gè)整數(shù)n,求n能被6或8整除的概率.解記A:n能被6整除,B:n能被8整除.所求概率為P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)例3(續(xù))求該網(wǎng)站主頁在一天內(nèi)至少被訪問一次的概率.解記A:至少被訪問一次,P(A)=1P()=1e

.第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一12.2條件概率與獨(dú)立性

12.2.1條件概率乘法公式全概率公式12.2.2獨(dú)立性12.2.3伯努利概型與二項(xiàng)概率公式

第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一條件概率的引入

某班有30名學(xué)生,其中20名男生,10名女生,身高1.70米以上的有15名,其中12名男生,3名女生.任選一名學(xué)生,問:(1)該學(xué)生身高1.70米以上的概率是多少?(2)發(fā)現(xiàn)該生是男生,他的身高1.70米以上的概率是多少?答案(1)15/30=0.5.(2)12/20=0.6.分析記A:男生,B:1.7米以上(1)求P(A);(2)已知A發(fā)生,求B發(fā)生的概率.稱作在A發(fā)生的條件下,B的條件概率,記作P(B|A).第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一條件概率與乘法公式

定義12.2

設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件且P(A)>0,稱

P(B|A)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率.4o乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A),其中P(A)>0.更一般地,設(shè)P(A1A2…An1)>0,n≥2,則

P(A1A2…An)=P(A1A2…An1)P(An|A1A2…An1)=P(A1A2…An2)P(An1|A1A2…An2)P(An|A1A2…An1)=…=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An1).第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一全概率公式設(shè)樣本空間

,如果事件B1,B2,…,Bn兩兩互不相容且=

,則稱B1,B2,…,Bn是樣本空間

的一個(gè)劃分.定理12.1(全概率公式)設(shè)B1,B2,…,Bn是樣本空間的一個(gè)劃分且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,A是任一隨機(jī)事件,則證且(ABi)(ABj)=(i≠j),故第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)例例1

某系統(tǒng)有5條通信線路.據(jù)統(tǒng)計(jì)資料系統(tǒng)接收的報(bào)文來自這5條線路的百分比分別為20%,30%,10%,15%和25%,報(bào)文超過100個(gè)字母的概率分別為0.4,0.6,0.2,0.8和0.9.任取一個(gè)報(bào)文,求其長度超過100個(gè)字母的概率.解記A:超過100個(gè)字母,Bi:來自第i條線路,i=1,2,…,5.P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.1,P(B4)=0.15,P(B5)=0.25,P(A|B1)=0.4,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=0.2,P(A|B4)=0.8,P(A|B5)=0.9,由全概率公式

P(A)=0.2×0.4+0.3×0.6+0.1×0.2+0.15×0.8+0.25×0.9=0.625.第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)例例2

袋中有6個(gè)紅球和4個(gè)綠球,從袋中取兩次,每次任取一個(gè)球.有兩種取法:a.放回抽樣,b.不放回抽樣.(1)求第一次取到紅球的概率.(2)

求第二次取到紅球的概率.(3)已知第一次取到紅球,求第二次取到紅球的概率.解設(shè)A:第一次取到紅球,B:第二次取到紅球.(1)求(2)求(3)求P(A)P(B)P(B|A)a.放回抽樣.P(A)=P(B)=P(B|A)=6/10.b.不放回抽樣.P(A)=6/10,P(B|A)=5/9,第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一獨(dú)立性放回抽樣中P(B)=P(B|A),不放回抽樣中

P(B)≠P(B|A).當(dāng)P(A)>0時(shí),P(B)=P(B|A)當(dāng)且僅當(dāng)P(AB)=P(A)P(B).定義12.3

如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A和B相互獨(dú)立.例3

兩戰(zhàn)士打靶,已知甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.7.兩人射擊同一個(gè)目標(biāo),各打一槍.求目標(biāo)被擊中的概率.解設(shè)A:甲擊中目標(biāo),B:乙擊中目標(biāo).可以假設(shè)A與B相互獨(dú)立.于是,P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.70.9×0.7=0.97.第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一獨(dú)立性(續(xù))定義12.4設(shè)n個(gè)事件A1,A2,…,An,n≥3.如果對任意的正整數(shù)k≤n和1≤i1<i2<…<ik≤n,則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.(1)若A與B相互獨(dú)立,則A與,與B,與都相互獨(dú)立.(2)設(shè)A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則將其中的任意若干個(gè)事件換成它們的逆事件后也相互獨(dú)立.第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一伯努利概型與二項(xiàng)概率公式

伯努利概型:在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn),每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè):事件A發(fā)生或不發(fā)生,且各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.定理12.2(二項(xiàng)概率公式)

設(shè)在伯努利概型中