空間問題的解答

空間問題的解答第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一本章將介紹空間問題求解的基本方法－按位移求解和按應(yīng)力求解。主要內(nèi)容如下：

1、按位移求解空間問題；2、按位移求解空間問題的應(yīng)用（半空間體受重力和均布壓力、半空間體在邊界上受法向集中力）；3、按應(yīng)力法求解空間問題；本章學(xué)習(xí)指南第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一本章學(xué)習(xí)指南彈性力學(xué)一般空間問題的未知數(shù)為15個(gè)：6個(gè)應(yīng)力分量、6個(gè)應(yīng)變分量、3個(gè)位移分量?；痉匠虜?shù)為15個(gè)，此外還有邊界條件和變形協(xié)調(diào)方程?？臻g問題與平面問題具有相似性：基本未知數(shù)、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的；空間問題的兩種基本解法（按位移和按應(yīng)力）與平面問題相比，在思路和步驟上極其相似，可參照平面問題來學(xué)習(xí)和理解；對于空間問題，位移法比應(yīng)力法更重要。它能適用于各種邊界條件，并且基本未知函數(shù)數(shù)目相對更少；第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題半空間體受重力和均布壓力半空間體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一§8.1按位移求解空間問題按位移求解：以3個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)，從15個(gè)基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含3個(gè)位移分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出位移分量。然后根據(jù)幾何方程和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題＿具體過程以3個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它12個(gè)未知函數(shù)須用3個(gè)位移分量表示；1、應(yīng)變用位移表示：直接采用幾何方程(7-8)；2、應(yīng)力用位移表示：將幾何方程(7-8)代入用應(yīng)變表示的物理方程(7-14)，得到用位移表示的物理方程(8-1)；3、求解位移的最基本方程：將上述彈性方程(8-1)代入平衡微分方程(7-1)，可得用位移表示的平衡微分方程(8-2)，它是按位移求解的最基本方程；4、邊界條件用位移表示：將式(8-1)代入應(yīng)力邊界條件(7-5)，得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件；對于位移邊界條件，其形式不變，仍然用式(7-9)表示；第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題＿總結(jié)

（1）使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程(8-2)

；

（2）同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程(7-8)求應(yīng)變分量，代入方程(8-1)求應(yīng)力分量?？臻g問題按位移求解的方法，位移滿足條件為：第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題＿總結(jié)總之，其位移滿足條件為：（1）在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程(8-4)

；（2）在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程求應(yīng)變分量，代入方程(8-3)求應(yīng)力分量。

空間軸對稱問題按位移求解：此類問題基本方程(7-15)、(7-16)、(7-17)和基本未知函數(shù)都簡化為10個(gè)。按位移求解的推導(dǎo)過程與上面完全相同，只不過方程的個(gè)數(shù)及具體形式不同。并且，其邊界面多為坐標(biāo)面，邊界條件相對簡單。第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題半空間體受重力和均布壓力半空間體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一§8.2半空間體受重力和均布壓力如圖所示，有半空間體，密度為r，在水平邊界上均布壓力q。顯然，它屬于空間問題。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)為三個(gè)位移分量，必須滿足：（1）在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程（8-2）；（2）同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一半空間體受重力和均布壓力1、如圖可知，該問題具有對稱性，任何x和y面均為對稱面，而x和y向的位移本身不對稱于任意垂直平面，故可作如下假設(shè)：2、將上述位移代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），前兩式自然滿足，第三式經(jīng)整理后成為如下的常微分方程：積分得：第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一半空間體受重力和均布壓力3、求應(yīng)力分量：將所求得的位移代入用位移表示的物理方程（8-1），整理得：為了求得常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。為此假定半空間體在距邊界為h處沒有位移，即有如下位移邊界條件：4、由邊界條件確定選定常數(shù)A和B代入可解得常數(shù)A：由此解得常數(shù)B，進(jìn)而求得所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量。上邊界面上的邊界條件為：第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題半空間體受重力和均布壓力半空間體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一§8.3半空間體在邊界上受法向集中力如圖所示，有半空間體，體力不計(jì)，在水平邊界上受法向集中力F。顯然，它屬于空間軸對稱問題，其對稱軸就是集中力的作用線。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)只有兩個(gè)位移分量，且與環(huán)向坐標(biāo)j無關(guān)，只是徑向坐標(biāo)r和軸向坐標(biāo)z

的函數(shù)。它們必須滿足：1、在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的空間軸對稱問題的平衡微分方程，教材中的公式（a）；第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一半空間體在邊界上受法向集中力由于集中力作用在原點(diǎn)，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：（1）不包含原點(diǎn)，則在r≠0

，z=0

的邊界面上，沒有任何法向和切向面力作用，因而應(yīng)力邊界條件為2、在邊界上滿足如下邊界條件：（2）在原點(diǎn)附近，可以看成是一局部的小邊界面。在此小邊界處有面力的作用，而面力可以向原點(diǎn)靜力等效為作用于原點(diǎn)的主失量為F

，主矩為0

的情形。按照圣維南原理來進(jìn)行處理，取一個(gè)0到z的平板脫離體，考慮其靜力平衡條件，得到一個(gè)平衡方程，即教材式（C）；由于軸對稱，其余平衡條件自然滿足。3、布西內(nèi)斯克滿足上述所有條件的解答：見教材的公式（8-6）、（8-7）（b）第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一半空間體在邊界上受法向集中力上述解答其應(yīng)力分布特征如下：

1、在離開集中力作用點(diǎn)非常遠(yuǎn)處，應(yīng)力非常??；在靠近集中力作用點(diǎn)處，應(yīng)力非常大。2、水平截面上的應(yīng)力與彈性參數(shù)無關(guān)，因而在任何材料的彈性體中都是同樣分布。其它截面上的應(yīng)力一般都隨泊松比而變。

3、水平截面上的全應(yīng)力都指向集中力的作用點(diǎn)。利用上述半空間體在邊界上受法向集中力時(shí)的解答，根據(jù)疊加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和應(yīng)力解答。第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按位移求解空間問題半空間體受重力和均布壓力半空間體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一§8.4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解：以6個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從15個(gè)基本方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含6個(gè)應(yīng)力分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出應(yīng)力分量。然后根據(jù)物理方程和幾何方程求應(yīng)變分量和位移分量。第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按應(yīng)力求解空間問題＿具體過程以6

個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它9個(gè)未知函數(shù)須用6

個(gè)應(yīng)力分量表示；1、三個(gè)平衡微分方程，只包含應(yīng)力分量，它是按應(yīng)力求解的最基本方程；2、從幾何方程中消除位移分量：利用幾何方程，進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得到6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程或相容方程，即教材中的式(8-10)和(8-11)；3、將物理方程(7-12)代入上述相容方程(8-10)和(8-11)

，可得用應(yīng)力分量表示的相容方程(8-12)，或無體力情況下的式(8-13)；4、假設(shè)全部邊界都為應(yīng)力邊界條件，則在邊界上應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件(7-5)；第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按應(yīng)力求解空間問題＿總結(jié)空間問題按應(yīng)力求解的方法：使6個(gè)應(yīng)力分量在區(qū)域內(nèi)滿足3個(gè)平衡微分方程(7-1)

，滿足6個(gè)相容方程(8-12)和(8-13)；同時(shí)在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力邊界條件(7-5)。此外，若為多連體，還必須滿足位移單值條件。求解出應(yīng)力分量后，代入物理方程求應(yīng)變分量，代入幾何方程求位移分量。第20頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一按應(yīng)力求解空間問題＿總結(jié)關(guān)于空間問題的相容方程的幾點(diǎn)說