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§2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是:一化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的原因問題:如何把二次型f=xT

Ax化為標(biāo)準(zhǔn)形?(4)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,即:對于二次型尋求一個可逆的線性替換

:二化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形變量替換(4)式變?yōu)閤=Cy,代入

f=xTAx,可得思路:

由此可知,若能找到C使得CTAC=D為對角陣,則標(biāo)準(zhǔn)形可得.這樣就把二次型化標(biāo)準(zhǔn)形問題轉(zhuǎn)化為對稱陣合同對角陣問題.兩種方法:

1.正交變換法;2.配方法.對于給定的實對稱矩陣A,尋求可逆矩陣C,使CTAC成為對角陣.把此結(jié)論用于二次型，即有對給定的n階實對稱矩陣A，必存在n

階正交矩陣P

,使得方法1正交變換法3.求A的n個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量:4.求正交矩陣P=正交變換法的基本步驟：1.寫出二次型的矩陣A；5.作正交變換:x=Py,則

例

用正交變換法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求正交變換矩陣.解二次型f的矩陣為(1)求A的特征值.

得A的特征值(2)求3個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.解方程組=0，

可得解方程組=0，

可得施行施密特正交單位化，得到將其單位化，得到(3)求正交變換矩陣P.令于是(4)

作正交變換x=Py,則注意

(1)

矩陣P是正交矩陣，一般情況下不唯一；(2)

得到的f的標(biāo)準(zhǔn)形中，平方項的系數(shù)恰是A的特征值，(3)對角陣中特征值的順序是和它們對應(yīng)的特征向量在P中的排列順序一致的.

將實二次型f(x)=xTAx

化為標(biāo)準(zhǔn)形后，不妨設(shè)正平方項在前，負(fù)平方項在后,即d1y12+…+dp

yp2-dp+1yp+12-…-

dryr2,得f(x)=xTAx的規(guī)范形為:

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

三化標(biāo)準(zhǔn)形為規(guī)范形di>0,i=1,2,…,r.例解注:

利用正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形,進而化成規(guī)范形,則系數(shù)中”-1”的個數(shù)=負(fù)特征值的個數(shù)=負(fù)慣性指數(shù).系數(shù)中”1”的個數(shù)=正特征值的個數(shù)=正慣性指數(shù);問題:標(biāo)準(zhǔn)形不唯一,規(guī)范形唯一嗎?答案:標(biāo)準(zhǔn)形不唯一,但

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