2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】 專題27 阿基米德多面體 （以阿基米德多面體為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）解析版

2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】專題27阿基米德多面體（以阿基米德多面體為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）一、單選題1．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成的（如圖所示），則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．2．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為1，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為（

）A．8π B．4π C． D．2π3．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點(diǎn)連接形成的幾何體、它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該二十四等邊體的表面積為B．平面C．直線與的夾角為D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式4．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長(zhǎng)為，則該阿基米德多面體的表面積為（

）A． B．C． D．5．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面的夾角正切值為（

）A． B．1 C． D．6．如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個(gè)24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（

）A． B． C． D．7．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．下圖是棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，得到的一個(gè)半正多面體，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該半正多面體是十四面體 B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為5∶6 D．原正方體的表面積比該幾何體的表面積小8．“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體.已知，則該半正多面體外接球的表面積為（

）A．18π B．16π C．14π D．12π9．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形狀多為長(zhǎng)方體?正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德研究過(guò)此類多面體的性質(zhì)，故半正多面體又被稱為“阿基米德多面體”.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖，是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則下列關(guān)于該多面體的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過(guò)多面體所有頂點(diǎn)的球）10．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則（

）A．平面 B．該二十四等邊體的體積為C．ME與PN所成的角為 D．該二十四等邊體的外接球的表面積為11．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點(diǎn)連接形成的幾何體.它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該二十四等邊體的外接球的表面積為B．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式C．直線與的夾角為60°D．平面13．“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．14．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（

）A． B． C． D．15．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．存在點(diǎn)E、使得A、、D、四點(diǎn)共面；B．存在點(diǎn)E，使；C．存在點(diǎn)E，使得直線DE與平面CDF所成角為；D．存在點(diǎn)E，使得直線DE與直線AF所成角的余弦值.二、多選題16．半正多面體（semiregular

solid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，半正多面體有且只有13種．最早用于1970年世界杯比賽的足球就可以近似看作是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的半正面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示的二十四等邊體就是一種半正多面體，它由8個(gè)正三角形和6個(gè)正方形圍成，它是通過(guò)對(duì)正方體進(jìn)行八次切截而得到的．若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與平面不可能垂直 B．異面直線和所成角為C．該二十四等邊體的體積為 D．該二十四等邊體外接球的表面積為17．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．B．該半正多面體的外接球的表面積為C．與平面所成的角為D．與所成的角是的棱共有16條18．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（

）A．B．AB與PF所成角為45°C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面19．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是（

）A．AB與平面BCD所成的角為 B．C．與AB所成的角是的棱共有16條 D．該半正多面體的外接球的表面積為20．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則（

）A．平面B．該二十四等邊體的體積為C．與的夾角為D．該二十四等邊體的外接球的表面積為21．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含端點(diǎn)），始終與垂直D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為22．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的．下列結(jié)論正確的有（

）A．該半正多面體的表面積為 B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為 D．若為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為23．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為24．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體．點(diǎn)、、是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該多面體的表面積為B．該多面體的體積為C．該多面體的外接球的表面積為D．若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題25．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)__________.26．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．27．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球，則該球表面積的最大值為_(kāi)_________.28．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.若點(diǎn)在直線上，且，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)_________．29．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的序號(hào)是______.①平面；

②與所成角為；③該二十四等邊體的體積為；

④該二十四等邊體外接球的表面積為.30．將棱長(zhǎng)為12的正四面體沿棱長(zhǎng)的三等分點(diǎn)處截去四個(gè)小正四面體后，所得的多面體稱為阿基米德體，如圖所示.若點(diǎn)N在阿基米德體的表面上運(yùn)動(dòng)，且直線MN與直線AB始終滿足，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡所圍成平面圖形的面積是___________.四、雙空題31．半正多面體（又稱作“阿基米德體”），是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，其構(gòu)成體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正14面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體沿共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去八個(gè)相同的三棱錐所得，則這個(gè)半正多面體的體積為_(kāi)_____﹔若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與平面AFG所成角的正弦值的取值范圍為_(kāi)_________32．阿基米德多面體也稱為半正多面體，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體．如圖，已知阿基米德多面體的所有頂點(diǎn)均是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體各條棱的中點(diǎn)，則該阿基米德多面體的體積為_(kāi)_____；若，是該阿基米德多面體表面上任意兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間距離的最大值為_(kāi)_____．33．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將一個(gè)棱長(zhǎng)為2正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體的表面積為_(kāi)__________；其外接球的表面積為_(kāi)__________.34．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種成兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得，這個(gè)正多面體的表面積為_(kāi)__________.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為_(kāi)__________.35．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為_(kāi)_____；點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】專題27阿基米德多面體（以阿基米德多面體為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）一、單選題1．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成的（如圖所示），則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意將圖形放到正方體中，如圖所示，由正方體的性質(zhì)可得為異面直線與所成的角，即可得解；【詳解】解：二十四等邊體可認(rèn)為是由正方體切去八個(gè)全等的三棱錐得到的，如圖所示，可知，，所以為異面直線與所成的角，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，故異面直線與所成的角為；故選：C2．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為1，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為（

）A．8π B．4π C． D．2π【答案】B【分析】將該多面體補(bǔ)形為正方體，得到經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟w的棱切球，求出該正方體的邊長(zhǎng)，求出棱切球的半徑，得到表面積.【詳解】將該多面體補(bǔ)形為正方體，則由，，所以由勾股定理得：，所以正方體的邊長(zhǎng)為，所以經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟w的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長(zhǎng)度為，故過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的半徑為1，球的表面積為.故選：B3．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點(diǎn)連接形成的幾何體、它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該二十四等邊體的表面積為B．平面C．直線與的夾角為D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式【答案】B【分析】由三角形和正方形面積公式即可求出二十四等邊體的表面積，線面垂直判定定理，利用平移求異面直線夾角，推理分析即可判斷結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，，，故A正確；對(duì)于B，由圖可知,,但BF與AB和AE都不垂直，所以QH不可能與平面ABE垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，而直線AH與AD的夾角為，所以直線與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為12、面數(shù)為14、棱數(shù)為24，滿足，故D正確；故選：B.4．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長(zhǎng)為，則該阿基米德多面體的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過(guò)圖形可知阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，分別求解正方形和等邊三角形面積，加和即可.【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個(gè)全等的正方形和八個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，其中正方形邊長(zhǎng)和等邊三角形的邊長(zhǎng)均為；阿基米德多面體的表面積.故選：A.5．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面的夾角正切值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】將該多面體放在正方體中，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出平面和平面的法向量，即可求平面和平面夾角的余弦值，進(jìn)而可求解.【詳解】將該“阿基米德多面體”放入正方體中，如圖，平面和平面為有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則設(shè)平面的法向量為所以，令，所以設(shè)平面的法向量為所以，令，所以設(shè)平面平面和平面的夾角為，則，因?yàn)槠矫婧推矫娴膴A角為銳角，所以，所以，故選：D6．如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個(gè)24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面；兩條直線都位于上下底面時(shí)；兩條直線都不在上下底面時(shí)計(jì)數(shù)，再根據(jù)古典概型公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面時(shí)，共有對(duì)異面直線，當(dāng)兩條直線都位于上下底面時(shí)，有對(duì)異面直線，當(dāng)兩條直線都不在上下底面時(shí)，有對(duì)異面直線，所以，兩條棱所在的直線為異面直線的概率為故選：B7．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．下圖是棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，得到的一個(gè)半正多面體，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該半正多面體是十四面體 B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為5∶6 D．原正方體的表面積比該幾何體的表面積小【答案】D【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即得.【詳解】由圖可知該半正多面體的表面是由6個(gè)正方形和8個(gè)等邊三角形構(gòu)成，所以為十四面體，該半正多面體是十四面體，故A正確；該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的體積為，故B正確；對(duì)于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5∶6，故C正確；對(duì)于D，該幾何體有6個(gè)面為正方形，8個(gè)面為等邊三角形，，即原正方體的表面積比該幾何體的表面積大，故D錯(cuò)誤．故選：D．8．“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體.已知，則該半正多面體外接球的表面積為（

）A．18π B．16π C．14π D．12π【答案】A【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知：該半正多面體外接球的球心為正方體的中心，進(jìn)而可求球的半徑和表面積.【詳解】如圖，在正方體中，取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，∴正方體的邊長(zhǎng)為，故，可得，根據(jù)對(duì)稱性可知：點(diǎn)到該半正多面體的頂點(diǎn)的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故選：A.9．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形狀多為長(zhǎng)方體?正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德研究過(guò)此類多面體的性質(zhì)，故半正多面體又被稱為“阿基米德多面體”.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖，是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則下列關(guān)于該多面體的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過(guò)多面體所有頂點(diǎn)的球）【答案】B【分析】求得一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，可判斷A；將半正多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，故其頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，求得半正多面體的棱長(zhǎng)，計(jì)算表面積和體積，可判斷B，C；再由正方體的中心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，可判斷D．【詳解】解：一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面；可將半正多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，故其頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)．半正多面體的棱長(zhǎng)為，表面積為，體積可看作正方體的體積減去八個(gè)三棱錐的體積，則，又因?yàn)檎襟w的中心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，所以有外接球．故選：B．10．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則（

）A．平面 B．該二十四等邊體的體積為C．ME與PN所成的角為 D．該二十四等邊體的外接球的表面積為【答案】D【分析】依題意補(bǔ)齊正方體，對(duì)于A，假設(shè)平面，得到，根據(jù)六邊形為正六邊形，，得出矛盾判斷A；對(duì)于B，結(jié)合集合圖形，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉八個(gè)三棱錐體積，從而求出B；對(duì)于C，由平移法找出異面直線所成角為，判斷C；對(duì)于D，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，從而求出半徑大小，進(jìn)而求出外接球體積，判斷D.【詳解】依題意，補(bǔ)齊正方體，如下圖，對(duì)于A，假設(shè)平面，平面，，，二十四等邊體就是一種半正多面體，由對(duì)稱性可知，六邊形為正六邊形，，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正方體的棱長(zhǎng)為，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉個(gè)三棱錐體積，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），在等邊中，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，在等腰中，，在正方形中，，即外接球半徑，該二十四等邊體的外接球的表面積，D正確.故選：D.11．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體并建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，故正方體的棱長(zhǎng)為所以，.設(shè)，則.所以.令，則，因?yàn)?，所?故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點(diǎn)連接形成的幾何體.它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該二十四等邊體的外接球的表面積為B．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式C．直線與的夾角為60°D．平面【答案】D【分析】將二十四等邊體補(bǔ)齊成正方體，根據(jù)空間幾何相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷.【詳解】由已知，補(bǔ)齊二十四等邊體所在的正方體如圖所示記正方體體心為，取下底面中心為，二十四等邊體的棱長(zhǎng)為2易知，則外接球半徑所以外接球的表面積，故A正確.由歐拉公式可知：頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)2，故B正確.又因?yàn)椤?，易知直線與的夾角即為直線與的夾角為，故C正確.又因?yàn)椤?，∥，易知直線與直線的夾角為可知直線與直線不垂直，故直線與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：D13．“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)其外接球?yàn)檎睦庵耐饨忧?，再結(jié)合球的表面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的外接球，即，所以，則該正多面體外接球的表面積故選:A14．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，把多面體放在棱長(zhǎng)為的正方體中，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征確定球心，求出球半徑作答.【詳解】把該多面體放入正方體中，如圖，由于多面體的棱長(zhǎng)為1，則正方體的棱長(zhǎng)為，因此該多面體是由棱長(zhǎng)為的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，于是得該多面體的外接球球心是正方體體對(duì)角線中點(diǎn)，該多面體外接球半徑等于球心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，即正方體面對(duì)角線的一半，則，解得，所以經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.15．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．存在點(diǎn)E、使得A、、D、四點(diǎn)共面；B．存在點(diǎn)E，使；C．存在點(diǎn)E，使得直線DE與平面CDF所成角為；D．存在點(diǎn)E，使得直線DE與直線AF所成角的余弦值.【答案】C【分析】將半正多面體補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)，得A、F、D、四點(diǎn)共面，故A正確；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)易得，故B正確；對(duì)C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式計(jì)算，可知C不對(duì)；對(duì)于D，根據(jù)直面值直線夾角的向量公式計(jì)算，可知D正確.【詳解】將半正多面體補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，如圖：則半正多面體的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn)，對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，，則A、F、D、四點(diǎn)共面，A正確；對(duì)B，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B時(shí)，易得，B正確；以為原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，對(duì)C，設(shè)，則，設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為，，，則，令，得，，∴，設(shè)直線DE與平面CDF所成角為，則，若，則，則,化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)解，故不存在點(diǎn)E，使得直線DE與平面CDF所成角為，C不對(duì)；對(duì)D，，由C可知，，所以，∴，即為的中點(diǎn)時(shí)，直線DE與直線AF所成角的余弦值，故D正確.故選：C二、多選題16．半正多面體（semiregular

solid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，半正多面體有且只有13種．最早用于1970年世界杯比賽的足球就可以近似看作是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的半正面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示的二十四等邊體就是一種半正多面體，它由8個(gè)正三角形和6個(gè)正方形圍成，它是通過(guò)對(duì)正方體進(jìn)行八次切截而得到的．若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與平面不可能垂直 B．異面直線和所成角為C．該二十四等邊體的體積為 D．該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】ABC【分析】根據(jù)線面垂直得線線垂直，即可找到矛盾進(jìn)而判斷A,根據(jù)異面直線的夾角即可求解B,根據(jù)割補(bǔ)法即可求解C,根據(jù)外接球的半徑即可求解表面積.【詳解】對(duì)于A，若平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，這與矛盾，故與平面不可能垂直，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以異面直線和所成的角即為直線和所成的角，設(shè)角，在正六邊形中，可得，所以異面直線和所成角為，所以B正確；對(duì)于C，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，則該正方體的體積為，其中每個(gè)小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以C正確；對(duì)于D，取正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為，即為該二十四面體的外接球的球心，其半徑為，所以該二十四面體的外接球的表面積為，所以D不正確．故選：ABC.17．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．B．該半正多面體的外接球的表面積為C．與平面所成的角為D．與所成的角是的棱共有16條【答案】ACD【分析】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，根據(jù)條件計(jì)算正方體的棱長(zhǎng)，再求的長(zhǎng)，判斷A;利用幾何體的對(duì)稱性確定該半正多面體的外接球的球心及半徑,判斷B；根據(jù)線面角的定義找到線面角，解三角形求其大小,判斷C；利用平行關(guān)系，確定與所成的角是的棱的條數(shù)，判斷D.【詳解】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，對(duì)選項(xiàng)A：由題意知，該半正多面體由6個(gè)全等的正方形和8個(gè)全等的正三角形構(gòu)成.則由半正多面體的表面積為，得，解得，∵，∴，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由半正多面體的對(duì)稱性可知，其對(duì)稱中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱中心是同一點(diǎn)，其對(duì)稱中心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面的投影點(diǎn)為，則有，，所以，故該半正多面體的外接球的半徑為，面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫?，所以為AB與平面BCD的夾角，因?yàn)闉橹苯侨切?，且，所以所以AB與平面BCD所成的角為，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：在與相交的6條棱中，與AB所成的角是的棱有4條，又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱，故與AB所成的角是的棱共有16條，故D正確；故選：ACD.18．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（

）A．B．AB與PF所成角為45°C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面【答案】CD【分析】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體,利用與是異面直線判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤，利用和的形狀判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤，利用正方體和等二十四等邊體的關(guān)系和分割法判定選項(xiàng)C正確，利用該二十四等邊體頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)判定選項(xiàng)D正確.【詳解】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體（如圖所示），因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，對(duì)于A：正方體的體對(duì)角線平面，而與是異面直線，所以平面不成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以是AB與PF所成角或其補(bǔ)角，在中，，，因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，所以該二十四等邊體的體積為，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：該二十四等邊體多面體有共12個(gè)頂點(diǎn)，有面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面共14個(gè)面，即選項(xiàng)D正確.故選：CD.19．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是（

）A．AB與平面BCD所成的角為 B．C．與AB所成的角是的棱共有16條 D．該半正多面體的外接球的表面積為【答案】AC【分析】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，根據(jù)線面角的定義找到線面角，解三角形求其大小,判斷A；根據(jù)條件計(jì)算正方體的棱長(zhǎng)，再求的長(zhǎng)，判斷B;利用平行關(guān)系，確定與所成的角是的棱的條數(shù)，判定C，利用幾何體的對(duì)稱性確定半正方體的外接球的球心及半徑,判定D；【詳解】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由題意知，該半正多面體由6個(gè)全等的正方形和8個(gè)全等的正三角形構(gòu)成.則由半正多面體的表面積為，得，解得，∵，因?yàn)槠矫?，為AB與平面BCD的夾角，因?yàn)闉橹苯侨切?，且，所以所以AB與平面BCD所成的角為，故A正確；∴，故B錯(cuò)誤；在與相交的6條棱中，與AB所成的角是的棱有4條，又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱，故與AB所成的角是的棱共有16條，故C正確；由半正多面體的對(duì)稱性可知，其對(duì)稱中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱中心是同一點(diǎn)，其對(duì)稱中心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面的投影點(diǎn)為，則有，，所以，故該半正多面體的外接球的半徑為，面積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.20．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則（

）A．平面B．該二十四等邊體的體積為C．與的夾角為D．該二十四等邊體的外接球的表面積為【答案】BD【分析】依題意補(bǔ)齊正方體，對(duì)于A，假設(shè)平面，得到，根據(jù)六邊形為正六邊形，，得出矛盾判斷A；對(duì)于B，結(jié)合集合圖形，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉八個(gè)三棱錐體積，從而求出B；對(duì)于C，由平移法找出異面直線所成角為，判斷C；對(duì)于D，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，從而求出半徑大小，進(jìn)而求出外接球體積，判斷D.【詳解】依題意，補(bǔ)齊正方體，如下圖，對(duì)于A，假設(shè)平面，平面，，，二十四等邊體就是一種半正多面體，由對(duì)稱性可知，六邊形為正六邊形，，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正方體的棱長(zhǎng)為，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉個(gè)三棱錐體積，即，B正確；對(duì)于C，，為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），在等邊中，，又，所以與的夾角為與的夾角，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，在等腰中，，在正方形中，，即外接球半徑，該二十四等邊體的外接球的表面積，D正確.故選：BD.21．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含端點(diǎn)），始終與垂直D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BCD【分析】首先根據(jù)題意，將幾何體在正方體中截取出來(lái)，然后根據(jù)圖形，即可求解.【詳解】如圖所示：依據(jù)題意，棱長(zhǎng)為可知，該幾何體是在邊長(zhǎng)為的正方體中截取.該幾何體為大正方體截取八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，則體積為，故A錯(cuò)誤；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)，，故B正確；在正方體中，始終垂直于平面BHDC，當(dāng)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AH始終與DE垂直，故C正確；當(dāng)E與B重合時(shí)，ED與平面AGHF平行，所以此時(shí)線面夾角為，當(dāng)E與C重合時(shí)，此時(shí)線面夾角為，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D正確.故選：BCD22．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的．下列結(jié)論正確的有（

）A．該半正多面體的表面積為 B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為 D．若為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】將該半正多面體補(bǔ)成正方體，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】解：將該半正多面體補(bǔ)成正方體，因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，所以該幾何體的表面積為，故A錯(cuò)誤；建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，故B正確；，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，所以，則點(diǎn)到平面的距離，故C正確；若為線段的中點(diǎn)，則，所以，，則異面直線與所成角的余弦值，故D正確；故選：BCD23．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，從而求出正方體的體積，減去8個(gè)三棱錐的體積，求出答案；B選項(xiàng)，求出補(bǔ)成的正方體的外接球的半徑即為該半正多面體的半徑，從而求出外接球體積；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用空間向量表達(dá)出直線DE與直線AF所成角的余弦值，換元后，使用二次函數(shù)的取值范圍求出直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】將該半正多面體補(bǔ)成正方體．因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2．該半正多面體的體積，A正確．該半正多面體的外接球球心即正方體的外接球球心．設(shè)正方體的外接球球心為M，則該半正多面體的外接球半徑，故該半正多面體外接球的表面積為，C錯(cuò)誤．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)，可解得，則，，共面，即A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面，B正確．又，設(shè)，所以，則．．令，則．因?yàn)?，所以，故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為．D正確．故選：ABD24．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體．點(diǎn)、、是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該多面體的表面積為B．該多面體的體積為C．該多面體的外接球的表面積為D．若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【分析】計(jì)算出該多面體的表面積和體積，可判斷AB選項(xiàng)；作出圖形，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算出該多面體的外接球半徑，利用球體表面積公式可判斷C選項(xiàng)；找出與垂直的直線，可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，“阿基米德體”一共有八個(gè)面，其中有四個(gè)面是邊長(zhǎng)為的正六邊形，有四個(gè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，因此，“阿基米德體”的表面積為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且，易知點(diǎn)為的中心，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，故，，即棱長(zhǎng)為的正四面體的體積為，因?yàn)椤鞍⒒椎麦w”是在棱長(zhǎng)為的正四面體上截去了個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，因此，“阿基米德體”的體積為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)等邊的中心為，與平面平行的底面正六邊形的中心記為點(diǎn)，則平面，原正四面體（棱長(zhǎng)為）的高為，則，由題意可知，“阿基米德體”的外接球球心在直線上，易知，即正的外接圓半徑為，底面正六邊形的外接圓半徑為，設(shè)，“阿基米德體”的外接球半徑為，則，解得，則，因此，該多面體的外接球的表面積為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)椋瑒t，所以，，即，同理可知，因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，，由余弦定理可得，同理可得，易知，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題25．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【分析】將該半正多面體補(bǔ)成正方體，因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2,建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【詳解】將該半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，，，故直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：26．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．【答案】【分析】利用割補(bǔ)法可得二十四等邊體的體積，計(jì)算即可得解.【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為.故答案為:27．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球，則該球表面積的最大值為_(kāi)_________.【答案】【分析】分析出球心的位置，得出半正多面體所在的正四面體的高，求出點(diǎn)到正六邊形所在平面的距離，到正三角形所在平面的距離，即可求出當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的半徑，進(jìn)而得出表面積.【詳解】由題意，半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，，當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的球心即為半正多面體所在正四面體的外接球的球心，記球心為.在中，，,該半正多面體所在的正四面體的高為：，設(shè)點(diǎn)到正六邊形所在平面的距離為，過(guò)點(diǎn)作于，由幾何知識(shí)得，∴，即，解得：，∴當(dāng)球的表面積最大時(shí)，該球的半徑為，表面積為.故答案為：.28．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.若點(diǎn)在直線上，且，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)_________．【答案】##【分析】根據(jù)正四面題的幾何特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中O為正四面體底面三角形的中心．則，．，，，故直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：29．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的序號(hào)是______.①平面；

②與所成角為；③該二十四等邊體的體積為；

④該二十四等邊體外接球的表面積為.【答案】③④【分析】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體，利用與是異面直線判定選項(xiàng)①錯(cuò)誤，利用和的形狀判定選項(xiàng)②錯(cuò)誤，利用正方體和等二十四等邊體的關(guān)系和分割法判定選項(xiàng)③正確，利用該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心及球的表面積公式判定選項(xiàng)④正確．【詳解】解：將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體（如圖所示），因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于①：根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以，同理可證，，平面，所以平面，而與是異面直線，所以平面不成立，即選項(xiàng)①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?，所以是與所成角或其補(bǔ)角，在中，，因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，所以該二十四等邊體的體積為，即選項(xiàng)③正確；對(duì)于④：設(shè)該二十四等邊體外接球的半徑為，該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心，正方體六個(gè)表面的面積都為1，所以，所以其表面積為，即選項(xiàng)④正確．故答案為：③④．30．將棱長(zhǎng)為12的正四面體沿棱長(zhǎng)的三等分點(diǎn)處截去四個(gè)小正四面體后，所得的多面體稱為阿基米德體，如圖所示.若點(diǎn)N在阿基米德體