奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合-學(xué)生版

奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合-學(xué)生版馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-1-奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合

同學(xué)須知：

本講內(nèi)容比較多，倍數(shù)、余數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)，都要涉及到，題量不能太大，所以，基本上就是講基礎(chǔ)。內(nèi)容設(shè)計(jì)25道題，盡量涵蓋數(shù)論的基本問題。課后練習(xí)5道題。

【基本特點(diǎn)匯總】

整除的一些基本性質(zhì)：

1、尾數(shù)判斷法：

（1）能被2、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字能被2或5整除?！疚矓?shù)系】

（2）能被4、25整除的數(shù)的特征：末兩位能被4和25整除。【雙尾數(shù)】

（3）能被8、125整除的數(shù)的特征：末三位能被8和125整除?！救矓?shù)】

2、數(shù)字求和法：

能被3、9整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和能被3或9整除；

棄3法，

棄9法。

3、奇偶位求差法：

能被11整除的數(shù)的特征：“奇位和”與“偶位和”的差能被11整除。（大減?。?/p>

4、和的整除性與差整除性：兩個(gè)數(shù)如果都能被自然數(shù)a整除，那么他們的和與差也能被a整除。

5、能被7、11、13整除的數(shù)的特征：求末三位數(shù)與之前的數(shù)之差（大減小）

6、能被99

整除的數(shù)的特征：兩位截?cái)嗲蠛停◤挠蚁蜃蠼財(cái)啵?/p>

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-2-【1】能同時(shí)被2，3，5整除的最大的三位數(shù)是（）。

【2】能同時(shí)被2，5，7整除的最大的五位數(shù)是（）。

【3】1到100之內(nèi)所有不能被3整除的數(shù)的和是（）。

【4】小豬寫了一個(gè)兩位數(shù)59，小牛寫了一個(gè)兩位數(shù)89，他們讓小羊?qū)懸粋€(gè)一位數(shù)放在59和89之間拼成一個(gè)五位數(shù)8959□，使得這個(gè)五位數(shù)能被7整除，那么小羊?qū)懙臄?shù)應(yīng)該是(

)。

【提示】后三位截?cái)喾?嘗試法。【5】如果九位數(shù)789AB1234能被99整除，那么AB代表的兩位數(shù)是()。

【6】（試除法）在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成7位數(shù)，使他能被2，3，5，11整除，這個(gè)七位數(shù)最小值是（）。

【提示】首先求出2，3，5，11的最小公倍數(shù)，用1992000除以最小公倍數(shù)（試除法），然后采用“補(bǔ)余”法，求出最小值。

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-3-【7】特點(diǎn)：余數(shù)的和等于（被除數(shù)）和的余數(shù)；原則上余數(shù)小于除數(shù)，特殊情況下除外。

有一個(gè)自然數(shù)，用它去除63、91、129得到3個(gè)余數(shù)的和是25，這個(gè)自然數(shù)是()。

【解析】此類題用被除數(shù)的和減去余數(shù)的和，然后將其差分解質(zhì)因數(shù)即可。

【詞語區(qū)別】除以、除、去除、整除、被整除，這5種說法是有區(qū)別的：

（1）A除以B

（2）A除B

（3）A去除B

（4）A能整除B

（5）A能被B整除

【8】523除以一個(gè)數(shù)所得的商是10，并且除數(shù)與余數(shù)的差是5，求除數(shù)是(

)，余數(shù)是()?！窘馕觥扛鶕?jù)余數(shù)小于除數(shù)，再由公式商

余數(shù)被除數(shù)除數(shù)-=，即可得出正確的結(jié)果?！?】（周期求余）整數(shù)61111111420÷個(gè)的余數(shù)是（）

【解析】分解求余，找到規(guī)律。

【10】（缺同，同補(bǔ)）一個(gè)自然數(shù)除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，這個(gè)自然數(shù)最小是()。

【解析】專業(yè)術(shù)語：同補(bǔ)或同缺。由于這個(gè)自然數(shù)加上2就是3、5、7的倍數(shù)，所以可將此題轉(zhuǎn)化成3、5、7的最小公倍數(shù)減2。

【11】（兩個(gè)同缺）一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，適合條件的最小自然數(shù)是(

)。

【解析】此題采用“逐級滿足法”。

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-4-【12】（容斥原理）在1到200之間，被3或7除都余2的數(shù)有()個(gè)。

【解析】本題的關(guān)鍵是分別求出被3除余2和被7除余2的數(shù)，再把除以21余2的數(shù)減去即可。

【13】一個(gè)自然數(shù)除以3余1，除以5余2，除以7余3，那么這個(gè)自然數(shù)最小是（

）。

【提示】標(biāo)準(zhǔn)逐級滿足法?！?4】求714389÷的余數(shù)是（）。

【15】有一個(gè)自然數(shù)，用它去除226余數(shù)是a，去除411余數(shù)是（a+1），去除527余數(shù)是（a+2），則a=（）。

【16】用0至9這10個(gè)數(shù)字恰好組成一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)各一個(gè)（每個(gè)數(shù)只用一次），且這四個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。其中的四位數(shù)是2940。另外三個(gè)數(shù)可能是（）、（）、（）。

【17】算式：150149333231?????的計(jì)算結(jié)果的末尾有（）個(gè)連續(xù)的0。

【18】在等式：□△□△□△

△□○△□□△=???中，不同的符號代表不同的數(shù)字。四位數(shù)□△○

=

（）。

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-5-【19】右面三個(gè)算式中,相同漢字代表相同數(shù)字,不同漢字代表不同數(shù)字；那么四位數(shù)"李白杜甫

"=

【20

】【21】在橫式2023=?+?DCABABC中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代不同的數(shù)字。若等式成立，那么AB代表的兩位是（

）?！?2】若x，y，z，w是四個(gè)互不相等的自然數(shù)，且它們之積為1998，試求x+y+z+w的最大值是（）。

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-6-【23】

小峰說∶"我們幾人的話中共有___A__個(gè)2."

小光說∶"我們幾人的話中共有__B___個(gè)0."

小葉說∶"我們幾人的話中共有___C_個(gè)1."

小健說∶"我們幾人的話中共有___D___個(gè)4."

現(xiàn)在分別用0～9中的數(shù)字替換A、B、C、D（ABCD可以相同），使得他們說的話都是真話，那么四位數(shù)：ABCD=

【24】請?jiān)谙聢D的每個(gè)箭頭里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得箭頭里的數(shù)字表示箭頭所指方向有幾種不同的數(shù)字，其中雙向箭頭表示箭頭所指的兩個(gè)方向的全部數(shù)字里有多少種不同的數(shù)字那么下圖中第二行從左到右所填數(shù)字依次組成的四位數(shù)是（右圖是一個(gè)3×3的例子）

.

馮老師奧數(shù)杯賽-第3講-專題3-數(shù)論綜合點(diǎn)滴積累，成就未來-7-【25】自然數(shù)240的分解質(zhì)因數(shù)形式是（

）；這個(gè)數(shù)的所有因數(shù)個(gè)數(shù)是（）個(gè)。將所有的因數(shù)相乘所得的乘積再次分解質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的

分解式是（

）?！菊n后作業(yè)】

【作業(yè)1】自然數(shù)12的所有因數(shù)之和是（）。

【作業(yè)2】算式：□???972935975，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，方塊內(nèi)

最小應(yīng)該填的數(shù)字是（）。

【作業(yè)3】如果三個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)相加，和為52