第二質點運動學

第二質點運動學第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一運動學——研究物體位置隨時間變化的規(guī)律主要內容有：三個概念：參考系、坐標系、質點四個物理量：位置矢量、位移、速度、加速度四種運動：直線運動、曲線運動、斜拋運動、圓周運動質點運動學第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2-1質點運動的描述一、參考系坐標系質點1、參考系運動的絕對性與相對性運動的絕對性：所有的物體都在不停地運動，沒有絕對不動的物體運動的相對性：描述物體的運動或靜止總是相對于某個選定的物體而言的第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一參考系的定義為描述物體的運動而選擇的標準物稱為參考系說明參考系的選擇是任意的，主要根據問題的性質和研究方便而定。在描述物體的運動時，必須指明參考系。若不指明參考系，則認為以地面為參考系。選不同的參照系，運動的描述是不同的。以地球為參照系地球月亮以太陽為參照系太陽月亮地球軌道第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、坐標系引入坐標系的必要性定量地描述物體相對于參照系的運動。物理學中常用的坐標系直角坐標系xyzO說明坐標系的選擇是任意的，主要由研究問題的方便而定。坐標系的選擇不同，描述物體運動的方程是不同的。第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3、質點質點的引入任何物體都有大小和形狀。物體在運動時它各部分的位置變化是不同的，物體的運動情況是非常復雜的。質點的概念當物體的大小和形狀忽略不計時，可以把物體當做只有質量沒有形狀和大小的點——質點。說明質點的概念是在考慮主要因素而忽略次要因素引入的一個理想化的力學模型。一個物體能否當做質點，取決于研究問題的性質。第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一二、位置矢量、運動方程、位移1、位置矢量基本概念從原點O到質點所在的位置P點的有向線段，叫做位置矢量或位矢。說明位置矢量是矢量：有大小和方向；具有瞬時性；具有相對性；單位：米（m）zOxyP(x,y,z)第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、運動方程質點運動時，它相對坐標原點O的位置矢量r是隨時間變化的。因此，r是時間的函數運動學的重要任務之一，就是找出各種具體運動所遵循的運動方程。質點運動時，在坐標系中描繪的曲線稱為運動的軌跡。軌跡是直線：直線運動軌跡是曲線：曲線運動x·zyz(t)y(t)x(t)r(t)P(t)0第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例1、自由落體運動的運動方程為例2、平拋運動的運動方程為軌跡方程第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3、位移定義把由始點到終點的有向線段定義為質點的位移矢量，簡稱位移。它是描述質點位置變化的物理量。計算xyzOP1P2位移與路程的區(qū)別位移是矢量：是指位置矢量的變化路程是標量：是指運動軌跡的長度說明位移是矢量；具有瞬時性；具有相對性；單位：米（m）第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一三、速度1、平均速度xyzO2．瞬時速度定義：平均速度的極限值稱為瞬時速度，簡稱速度3、關于速度的說明速度是矢量，有大小和方向勻速運動：速度為恒量變速運動：速度為變量速度具有瞬時性；具有相對性；單位：m·s-1

第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一伽利略(1564—1642)提出相對性原理、慣性原理、拋體的運動定律、擺振動的等時性等。伽利略捍衛(wèi)哥白尼日心說?！蛾P于兩門新科學的對話和數學證明對話集》一書，總結了他的科學思想以及在物理學和天文學方面的研究成果。四、加速度意大利物理學家和天文學家，實驗物理學的先驅者。第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1、平均加速度速度的增量與所用時間的比值叫做質點的平均加速度2、瞬時加速度定義：平均加速度的極限值稱為瞬時加速度，簡稱加速度xyzO方向：t0時速度增量的極限方向；在曲線運動中，總是指向曲線的凹側。第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3、說明1)加速度是矢量，有大小和方向勻變速運動：加速度為恒量非勻變速運動：加速度為變量2)加速度具有瞬時性3)具有相對性4)單位：m·s-2

1、位置矢量和速度是描述質點狀態(tài)的物理量，位移和加速度是反映質點運動狀態(tài)變化的物理量。2、質點運動學的兩類問題：第一類問題：已知質點的運動方程，求質點的狀態(tài)——用微分方法求解；第二類問題：已知質點的狀態(tài)，求質點的運動方程——用積分方法求解。小結第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一特別指出計算速度角速度等一定要選取坐標系；注意矢量的書寫；與的物理含義。已知運動方程，求質點的速度和加速度求導數已知質點的速度(或加速度)和初始條件，求質點運動方程運用積分方法2-2運動學問題類型第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一解：1）任一時刻質點的位矢、速度和加速度分別為t=2s時，三個量分別為例1由運動學方程求速度和加速度

一質點的運動學方程為（單位：m,s)1)求t=2s時質點的位矢，速度和加速度；2）求質點的運動軌跡。第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2）從運動方程中消去時間t,得質點的軌跡方程為討論1)該質點的加速度是一恒矢量，說明質點作勻加速運動。（問題:是否勻加速直線運動?）2）加速度為負，說明方向指向x軸負向。(問題：加速度為負是否說明運動是減速的?）3）（2）式中結果表示，速度和加速度分量分別是速度和加速度的大小分是第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一

如圖所示，絞車以恒定的速率收攏系在小船上的不可伸長的繩子，求小船的速度和加速度隨角的變化關系。解：首先建立運動方程如圖所示.而為初時時刻的繩長船的速度為例2.拉船靠岸第18頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一小船的加速度為討論：小船的速率和加速度隨角的增大而增大，而且加速度和速度方向相同，小船的運動越來越快。問題：有人將小船的速度理解為收繩速度沿x軸方向的一個分量，即錯在哪里？第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例解：可用定積分求任一時刻的速度它仍然是時間t的函數，再對時間t積分得:求該質點的運動學方程？已知x第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一所以運動學方程為討論該題也可以用不定積分，任一時刻的速度將t=0時代入得因此再積分得將t=0代入代入得，因此第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一解例4微分方程式為已知一物體在水中下落的加速度大小與速度成正比,方向相反.設初始時速率為，比例系數為k,求物體在下落過程中速度隨時間的變關系.分離變量積分得即討論該題可用不定積分，請自己練習。第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例5已知物體沿直線運動的加速度與其坐標的函數關系為物體位于坐標原點具有速度，求該物體的速度與坐標函數的關系。解根據已知得微分方程分離變量積分得又由x=0時,所以速度與坐標的函數關系為第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1)已知2)已知方法：由兩邊乘并積分方法：由兩邊乘并積分方法：分離變量積分基本積分問題小結第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一方法：由分離變量積分5)已知方法：變換兩邊乘并積分注意上述的積分過程可以用定積分，也可以用不定積分，注意不定積分的積分常數由初始條件確定。4)已知第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一練習1、一個質點在x軸上作直線運動，運動方程為x=2t3+4t2+8，式中x的單位為米，t的單位為秒，求(1)任意時刻的速度和加速度；(2)在t=2s和t=3s時刻，物體的位置，速度和加速度；(3)在t=2s到t=3s時間內，物體的平均速度和平均加速度。解：(1)由速度和加速度的定義式，可求得

(2)t=2s時

t=3s時

(3)

第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一練習2、一質點的運動方程為x=4t2,y=2t+3,其中x和y的單位是米，t的單位是秒。試求：（1）運動軌跡；（2）第一秒內的位移；（3）t=0和t=1兩時刻質點的速度和加速度。解（1）由運動方程x=4t2

y=2t+3消去參數t得x=(y3)2此為拋物線方程，即質點的運動軌跡為拋物線。（2）先將運動方程寫成位置矢量形式第一秒內的位移為第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一（3）由速度及加速度定義第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一練習3、設某質點沿x軸運動，在t=0時的速度為v0，其加速度與速度的大小成正比而方向相反，比例系數為k(k>0)，試求速度隨時間變化的關系式。解：由題意及加速度的定義式，可知

因而積分

得所以

速度的方向保持不變，但大小隨時間增大而減小，直到速度等于零為止。

第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一小結三個概念：參考系——為描述物體的運動而選擇的標準物坐標系——定量確定物體相對于參考系的位置質點——把物體當做只有質量沒有形狀和大小的點描述質點運動的四個物理量：1、位置矢量2、位移3．速度4、加速度第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一加速度為恒矢量時的質點運動曲線運動質點運動學－－應用第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一復習三個概念：參考系——為描述物體的運動而選擇的標準物坐標系——定量確定物體相對于參考系的位置質點——把物體當做只有質量沒有形狀和大小的點描述質點運動的四個物理量：1、位置矢量2、位移3．速度4、加速度第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2－3加速度為恒矢量時的質點運動一、加速度為恒矢量時的運動方程問題：假設質點作曲線運動，其加速度a為恒量在t=0時，質點的r0

，v0，求在任意時刻t，質點的位置矢量、位移和速度。1．速度第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2．位移和位置矢量曲線可以運動分解為幾個垂直方向的運動。當物體同時參與兩個或多個運動時，其總的運動乃是各個獨立運動的合成結果。3、運動的疊加原理或運動的獨立性原理演示第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一勻速和勻加速直線運動平拋運動第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一二、斜拋運動初速度vx0=v0cosαvy0=v0sinα初始位置x0=0y0=0加速度ax=0ax=-g軌跡方程運動方程水平方向：勻速運動豎直方向：豎直上拋運動軌跡為拋物線d0α速度vx=v0cosαvy=v0sinα–gt第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一討論射程：拋體落地點與拋出點之間的距離第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2-3自然坐標、切向和法向加速度正方向原點

法向切向弧長平面自然坐標的單位矢量為：切向單位矢量：指向自然坐標S增加的方向法向單位矢量：指向曲線的凹側在軌道曲線上任取一點為坐標原點，以“彎曲軌道”作為坐標軸。P點的位置軌道的弧長s即可確定。運動方程1自然坐標系注意直角坐標系中的單位矢量都是恒矢量，而自然坐標系中的單位矢量是隨質點的位置變化而改變方向，一般不是恒矢量。1.3第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一速度的矢量表示為2速度的自然坐標表示用表示速度矢量在切線方向上的分量，即令則得第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一質點沿曲線運動的加速度可以分解為沿切線方向和沿法線方向兩個分量，分別稱為切向加速度和法向加速度。對于圓周運動，根據加速度的定義切向加速度由于速度大小變化而產生的，沿切線方向法向加速度由于速度方向變化而產生的，沿法線方向3切向和法向加速度第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一切向加速度大小等于速率對時間的導數。時，因為，所以法向加速度大小等于速率平方除以半徑時，第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一加速度大小加速度的方向可用它與切向夾角表示（加速度總是指向曲線的凹側）加速度結論：

推廣：對于一般平面曲線運動，可以將曲線視為一系列半徑不同的小圓弧。在極限情況下，小圓弧對應的圓叫曲率圓，對應的半徑叫曲率半徑。隨質點位置的不同而不同。加速度第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例1在自然坐標系中求加速度

一質點沿半徑R=5m的圓軌道運動，運動學方程為求t=1s時質點的加速度。切向加速度為當t=1s時，，切向和法向加速分別為法向加速度為解：在自然坐標中，質點在任一時刻的速度為第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一總加速度的大小討論加速度與的夾角為

為負，說明質點已向的反方向運動，實際在t=4/9s時開始反向運動.為負說明切向加速度的方向與相反.(問題:是否說明質點做減速運動?)第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例2

解：不計阻力的拋體運動軌跡為拋物線，在最高點時炮彈的速率為加速度為重力加速度，方向沿最高點處的法線方向即求曲率半徑已知炮彈的發(fā)射速率發(fā)射角，不計空氣阻力，求炮彈最高點的曲率半徑。根據，曲率半徑為yxv0O第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2-4圓周運動的角量描述1.角量在工程技術中角坐標

確定質點的位置角速度單位：rad/s角加速度單位：rad/s21.4節(jié)運動學方程角位移

確定質點位置的變化，取角增加的方向為正。第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一勻速圓周運動是恒量勻角加速圓周運動是恒量一般圓周運動則有第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一線量位移、速度、加速度角量角位移、角速度、角加速度2線量與角量之間的關系線量與角量的關系★

當一個剛體繞定軸轉動時，各點的角量相同，但是由于各點到轉軸的距離不同，線量不同。第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一當物體作定軸轉動時，正負號可以表示轉動的方向。當轉軸不定時，需用矢量表示角速度，即角速度矢量。

規(guī)定：

右手系。使四指旋轉的方向與質點轉動的方向一致，拇指的指向為角速度矢量的方向。3角速度矢量線速度與角速度的矢量關系第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2－5圓周運動一、平面極坐標yrxAr為徑矢，r與ox軸之間的夾角θ，則質點的坐標可以用（r,θ）來表示。x=rcosθy=rsinθ二、圓周運動的角速度1、定義：角坐標隨時間的變化率2、角速度與線速度的關系rθxΔSωR第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一三、圓周運動的角加速度1、角加速度的定義2、切向加速度與法向加速度切向加速度第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一法向加速度r曲線運動RR為曲率半徑第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一法向加速度的證明0A,tvAB,t+tvBRvAvBvv是v的方向的變化所引起的。t0,BA,0v方向垂直于vA，指向圓心由二個相似等腰三角形，有t0,AB長趨向AB弧長。an=v2/R，法向加速度，指向圓心。第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一四、勻速率圓周運動和勻變速率圓周運動1、勻速率圓周運動角加速度角速度角位移角位置速率v與角速度ω為常量切向加速度at=0法向加速度an=rω2=v

2/r第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、勻變速率圓周運動角加速度角速度角位移角位置加速度的大小為常量切向加速度at=rα為常量法向加速度an=rω2=v

2/r，但不是常量第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一五、線量與角量的關系vθθRxΔS0ω,Δ第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一推廣：對于一般的曲線運動利用自然坐標，一切運動都可用切向、法向加速度表示：an=0a=0勻速直線運動an=0a

0變速直線運動an

0a=

0勻速曲線運動an

0a

0變速曲線運動第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例1．一球以30m·s-1的速度水平拋出，試求5s鐘后加速度的切向分量和法向分量。

解：由題意可知，小球作平拋運動，它的運動方程為

將上式對時間求導，可得速度在坐標軸上的分量為

因而小球在時刻速度的大小為第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一故小球在t時刻切向加速度的大小為

因為小球在任意時刻，它的切向加速度與法向加速度滿足

且互相垂直。由三角形的關系，可求得法向加速度為：代入數據，得

第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一極坐標系?速度與加速度

一、極坐標系（planepolarcoordinates）1．極坐標系的建立：在參考系上取點O，引有刻度的射線OX稱為極軸（有方向的），建成極坐標系。矢徑：由參考點O引向質點位置A的線段長度

由r表示矢徑。如圖示：r=

幅角：質點的位置矢量與極軸所夾的角θ（也稱:極角）規(guī)定：自極軸逆時針轉至位置矢量的幅角為正，反之為負。第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一（r，θ）確定平面上質點的位置，稱為極坐標。質點的運動學方程：

、

質點的軌跡：

2．極坐標系中矢量的正交分解如圖示：質點在A點，沿位置矢量方向稱為徑向

徑向單位矢量：沿質點所在處位置矢量的方向。橫向單位矢量：與徑向方向垂直且指向

增加的方向。

任何矢量均可在

和

方向上作正交分解。注意：徑向和橫向隨地點而異。第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一二、徑向速度與橫向速度

討論質點平面運動速度在極坐標系中的正交分解式，如圖示：設：t

t+

時間內，圖中質點自A（r、t）

，經歷一微小的位移

，到達

由速度的定義：第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一即：徑向速度等于矢徑對時間的變化率；橫向速度等于矢徑與角速度的乘積。三、加速度矢量第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2-6伽利略變換

一、伽利略變換

1、伽利略坐標變換考慮兩個相對平動的參照系若S'系相對于S系沿x軸的正方向以速率u運動：yz0xutP0'y'z'x'第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一伽利略時空坐標變換1）.空間絕對性:2）.時間絕對性:注意：以上結論是在絕對時空觀下得出的：長度的測量不依賴于參考系。時間的測量不依賴于參考系。第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、伽利略速度變換一般可以表示為：3、加速度變換或表示為：表明：質點的加速度對于相對作勻速運動的各個參考系是一個絕對量.若u=常量則：第66頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2.不可將運動的合成與分解和伽利略速度變換關系相混：3.

只適用于相對運動為平動的情形。說明：1.以上結論是在絕對時空觀（u<<c）下得出的。二、伽利略變換蘊含的時空觀1關于同時性設在系中觀察者測得甲、乙二事件均于時刻發(fā)生，該二事件可以在同地點也可于不同地點。在系觀察者測得甲于時刻發(fā)生，而乙于時刻發(fā)生，根據伽利略變換，有：即：，說明在系中觀察者測得甲、乙二事件也是同時刻發(fā)生的。同時性與觀察者作勻速運動的運動狀態(tài)無關，同時性是絕對的。第67頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2關于時間間隔設在系中觀察者測得甲、乙二事件于時刻和相繼發(fā)生，該二事件在系中觀察者測得時刻是和。根據伽利略變換有：，于是有：，即兩參考系觀察二事件的時間間隔相同。在伽利略變換中時間間隔也是是絕對的。第68頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3關于桿的長度設在系放置一根桿，其軸向與軸平行且相對系靜止。我們用一經同一參考系中校準過的尺分別在系和系中測量桿的長度。由于桿相對系靜止，我們可以按通常方法測量。以和表示桿兩端的坐標，桿長為。第69頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一例:一個人騎車以18km/h自東向西行進,他看見雨點垂直下落.當他的速率增至36km/h時,看見雨點與他前進的方向成120°角下落,求雨點對地的速度.解:V雨地=V雨人1+V人地1V雨地=V雨人2+V人地2V人地1V雨人1V雨地V人地2V雨人2120°60°V雨地