第六講連續(xù)型隨機變量的分布

第六講連續(xù)型隨機變量的分布1第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一所以飛機被擊落的概率為三解（1）A,B互不相容，則第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一（2）A,B相互獨立，則也相互獨立，從而第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一四解：電路系統(tǒng)如圖設M為事件“電路發(fā)生斷電”，A,B,C分別為事件“電池A,B,C正?！?，則第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一

第六講連續(xù)型隨機變量的分布5第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一設

X

是一隨機變量，若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機變量的概念1、定義第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與概率密度f(x)的幾何意義第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一2、概率密度f(x)的性質(zhì)1)

2)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的概率密度，或求其中的未知參數(shù)第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一

故X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則：3.對f(x)的進一步理解:3)在f(x)

的連續(xù)點處，X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.,f(x)描述了

第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為需要指出的是:第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一1)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一2)對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a（等于以曲線y=f(x)為曲邊，底為(a,b]的曲邊梯形的面積)第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一xf(x)a第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一例1有一批晶體管，已知每只的使用壽命X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為(c

為常數(shù))求常數(shù)c(3)已知一只收音機上裝有3只這樣的晶體管，每只晶體管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)求X的分布函數(shù)F(x)第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一解(1)c=1000(3)設事件A

表示一只晶體管的壽命小1500小時設在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y(2)第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一例2在高為h

的ABC中任取一點M,點M到AB

的距離為X,求X的概率密度函數(shù)

f(x).

EFABCh.MXx解作

當時使EF

與AB間的距離為x第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一于是第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一求（1）F(x).（2）例3

設X的概率密度為第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一=01解（1）(2)第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一1、均勻分布(a,b)上的均勻分布記作二、常見的連續(xù)型隨機變量的分布若X

的概率密度為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一xf(x)abxF(x)ba第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一即X

的取值在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一2、指數(shù)分布若X

的概率密度為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一1xF(x)0xf(x)0第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一對于任意的0<a<b,應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一若X~Ｅ(),則所以，又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一例4假定一大型設備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的Poisson分布,求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布(2)求設備已經(jīng)無故障運行８小時的情況下，再無故障運行10小時的概率.解(1)第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一3、正態(tài)分布若X的概率密度為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一N(-3,1.2)第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應的點處有拐點(±,f(±

)).曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應的拐點前者取第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一Show[fn1,fn3]大小第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標準正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專門的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一-xx第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換即若X~N(,2),則～N(0,1)第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一3原理設

X~N(,2),求解在一次試驗中,X

落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間的可能性很小由3原理知，當?shù)?2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用的幾個數(shù)據(jù)第43頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一

例5

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解:設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個應用正態(tài)分布的例子:第44頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.第45頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一例6

設X~N(1,4),求P{0X1.6},

P{|X|4}解第46頁，共49頁，2023年，2月20日，星期一例7

已知且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}.