第十二講平穩(wěn)時(shí)間序列

第十二講平穩(wěn)時(shí)間序列第1頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)時(shí)間序列非平穩(wěn)時(shí)間序列第2頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)由于遺漏變量的存在，回歸系數(shù)不具有因果解釋，但這個(gè)回歸有助于父母預(yù)測(cè)沒有公布的學(xué)區(qū)測(cè)試成績。更一般地，即使沒有一個(gè)系數(shù)具有因果關(guān)系的回歸模型也能用于預(yù)測(cè)。從預(yù)測(cè)的角度看，模型能否提供盡可能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)才是最重要的。雖然不存在完美預(yù)測(cè)，但回歸模型能提供準(zhǔn)確和可靠的預(yù)測(cè)。時(shí)間序列模型主要用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，因此，因果關(guān)系不是我們關(guān)心的重點(diǎn)。第3頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二時(shí)間序列時(shí)間序列指的是同一個(gè)體在不同時(shí)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。對(duì)于離散時(shí)間{1,2,,T}，記隨機(jī)變量y的相應(yīng)觀測(cè)值為{y1,y2,…,yT}，時(shí)間序列可以分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。第4頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二幾個(gè)時(shí)間序列的例子第5頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第6頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第7頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二從第4個(gè)圖可以看出：股指日收益率在某一段時(shí)間內(nèi)劇烈波動(dòng)，而在另一段時(shí)間內(nèi)又風(fēng)平浪靜。從理論上，這可以抽象為，當(dāng)本期或過去若干期的波動(dòng)（方差）較大時(shí)，未來幾期的波動(dòng)（方差）很可能也較大；反之亦然。換言之，方差大的觀測(cè)值似乎集聚在一起，而方差小的觀測(cè)值似乎也集聚在一起。這被稱為“波動(dòng)集群”（volatilityclustering）或“扎堆”。第8頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二時(shí)間序列數(shù)據(jù)的這種特殊的異方差現(xiàn)象，被稱為“自回歸條件異方差”(ARCH)。Bollerslev(1986)對(duì)ARCH進(jìn)行了推廣，創(chuàng)建了GARCH模型。金融時(shí)間序列的特點(diǎn)是“波動(dòng)性集聚”。大幅的波動(dòng)跟隨大幅的波動(dòng)，小幅的波動(dòng)跟隨小幅的波動(dòng)。由于ARCH模型存在方差的波動(dòng)性，因此給投資者提供了套利空間。第9頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二滯后、一階差分、對(duì)數(shù)和增長率時(shí)間序列變量Y在時(shí)間t上的觀測(cè)值為Yt

，總觀測(cè)次數(shù)記為T。即觀測(cè)t和觀測(cè)t+1之間的時(shí)間段為時(shí)間的單位，如周、月、季度、年。滯后：

Yt的前一期值稱為一階滯后值，記為Yt-1。其j階滯后值為j期前的取值，為Yt-j。類似的，Yt+1表示未來一期的Y值。一階差分：

t-1期和t期間Y值的變化為：

Yt-Yt-1；這個(gè)變化稱為變量Yt的一階差分。第10頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第11頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二通常我們先計(jì)算經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的對(duì)數(shù)或?qū)?shù)變化后再來分析它們。這么做的一個(gè)理由是許多經(jīng)濟(jì)序列，如國內(nèi)生產(chǎn)總值，具有近似指數(shù)的增長速度，即序列長期而言趨向于平均每年以一定的百分率增長。因此，序列的對(duì)數(shù)具有近似于線性的增長速度。第12頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二類似的，我們有：因此，Yt的百分率變化近似等于第13頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第14頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二年通貨膨脹率的兩種計(jì)算方法第15頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二自相關(guān)第16頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二最簡單的一階自相關(guān)的公式為：第18頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二表中的這些數(shù)據(jù)表明通貨膨脹是強(qiáng)正自相關(guān)的：一階自相關(guān)系數(shù)為0.84。樣本自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而下降，但是即使在四個(gè)季度的滯后，樣本自相關(guān)系數(shù)仍然很大。通貨膨脹率的變化是負(fù)自相關(guān)的；如果某一季度的通貨膨脹率上升，那么其下一季度往往下降。平均來看，某個(gè)季度通貨膨脹的上升往往與下一季度通貨膨脹的下降相聯(lián)系。第19頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二自回歸自回歸模型用于考察某一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量隨時(shí)間變化的趨趨勢(shì)，如通貨膨脹率、GDP的增長趨勢(shì)等。它的特點(diǎn)是僅有一個(gè)變量，一般將該變量的t期的值作為被解釋變量，解釋變量為該變量的滯后項(xiàng)。一個(gè)典型的自回歸模型：第20頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二一階自回歸模型AR(1)AR(1)為平穩(wěn)時(shí)間序列的條件是：|β1|<1第21頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二式中的系數(shù)為負(fù)，因此一個(gè)季度的通貨膨脹率上升伴隨著下一季度通貨膨脹率的下降?；蛘哒f，上一季度對(duì)本季度的影響為負(fù)。第22頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二自回歸模型經(jīng)常用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)第23頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二時(shí)間序列預(yù)測(cè)和OLS預(yù)期值的區(qū)別時(shí)間序列預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差屬于“樣本外”的觀測(cè)，OLS而預(yù)期值和殘差屬于“樣本內(nèi)”的觀測(cè)。換句話說，OLS的Y的實(shí)際值可知，殘差等于擬合值與實(shí)際值之差，而時(shí)間序列的預(yù)測(cè)是針對(duì)用于估計(jì)回歸的數(shù)據(jù)以外的某個(gè)日期所作的。第24頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二均方預(yù)測(cè)誤差第25頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二在通貨膨脹中的應(yīng)用假設(shè)預(yù)測(cè)是在2005年第一季度之前做的，過了2005年第一季度做一下驗(yàn)證。第26頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第27頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第28頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二p階自回歸模型AR(1)模型利用Yt-1預(yù)測(cè)Yt，但這么做忽略了較遠(yuǎn)的過去值中的潛在有用信息。因此我們引入AR(p)。第29頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第30頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二AR(p)模型的預(yù)測(cè)和誤差項(xiàng)性質(zhì)第31頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第32頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第33頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二自回歸分布滯后模型(ADL)“自回歸”：因變量的滯后值當(dāng)作解釋變量?！胺植紲蟆保夯貧w中也包含了其他預(yù)測(cè)變量的多個(gè)滯后值(“分布滯后”)。如果解釋變量包含因變量Yt的p階滯后和其他預(yù)測(cè)變量Xt的q階滯后，該自回歸分布滯后模型稱為ADL(p,q)。第34頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第35頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二利用歷史失業(yè)率預(yù)測(cè)通貨膨脹變化短期Phillips曲線：較高的失業(yè)率通常伴隨著未來通貨膨脹率的下降。例如，1982年的平均失業(yè)率為9.7%，下一年通貨膨脹率下降了2.9%，二者的相關(guān)系數(shù)為-0.36。第36頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第37頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二我們可以建立一個(gè)ADL(4,1)模型：第38頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二考慮到多階滯后失業(yè)率可能會(huì)對(duì)模型更有幫助，因此我們?cè)偌尤胧I(yè)率的其他三個(gè)滯后項(xiàng)后，建立一個(gè)ADL(4,4)模型：第39頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第40頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)性時(shí)間序列第41頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二平穩(wěn)性時(shí)間序列的條件平穩(wěn)時(shí)間序列的期望、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征均不隨時(shí)間推移而改變。第42頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二包含多個(gè)預(yù)測(cè)變量的時(shí)間序列回歸第43頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第44頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二時(shí)間序列回歸模型的假設(shè)假定1：意味著擾動(dòng)項(xiàng)ut與所有解釋變量的整個(gè)歷史全部無關(guān)。這保證了模型對(duì)滯后期數(shù)(p，q1，…qk)的設(shè)定是正確的。如果滯后期數(shù)的設(shè)定不正確，比如，真實(shí)模型還應(yīng)該包括yt-(p+1)

，但該項(xiàng)βp+1yt-(p+1)

卻被納入擾動(dòng)項(xiàng)ut中，則擾動(dòng)項(xiàng)ut便與解釋變量相關(guān)，導(dǎo)致OLS不一致。這個(gè)假設(shè)推廣了AR和ADL模型中的假設(shè)。第45頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二假定2：①部分為數(shù)據(jù)是從平穩(wěn)分布中抽取的，所有t期數(shù)據(jù)分相同。即時(shí)間序列的每個(gè)時(shí)點(diǎn)都服從.i.i.d假設(shè)中的“同分布”部分，如果經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，則時(shí)間序列回歸中會(huì)出現(xiàn)一系列問題：如預(yù)測(cè)有偏、預(yù)測(cè)是無效的(基于相同數(shù)據(jù)的其他預(yù)測(cè)方差更小)，或基于OLS的常規(guī)統(tǒng)計(jì)推斷(例如，通過比較OLSt統(tǒng)計(jì)量與1.96進(jìn)行檢驗(yàn))是有誤的。②部分要求當(dāng)間隔時(shí)間較長時(shí)隨機(jī)變量是獨(dú)立分布的。這個(gè)假設(shè)有時(shí)稱為弱相關(guān)。第46頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二Granger因果檢驗(yàn)第47頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二

經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常要確定因果關(guān)系究竟是從x到y(tǒng)，還是從y到x，還是雙向因果關(guān)系。

CliveGranger提出的檢驗(yàn)方法基于以下思想：如果x是y的因，但y不是x的因，則x的過去值可以幫助預(yù)測(cè)y的未來值，但y的過去值卻不能幫助預(yù)測(cè)x的未來值。第48頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二預(yù)測(cè)的不確定性和預(yù)測(cè)區(qū)間預(yù)測(cè)誤差由兩部分組成，即回歸系數(shù)估計(jì)產(chǎn)生的不確定性和ut未來值未知產(chǎn)生的不確定性。當(dāng)回歸系數(shù)很少而觀測(cè)值很多時(shí)，由未來ut引起的不確定性要比系數(shù)估計(jì)引起的不確定性大得多。但一般來說這兩個(gè)不確定性來源都很重要，因此下面我們將推導(dǎo)包含這兩部分不確定性的RMSFPE表達(dá)式。第49頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第50頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二預(yù)測(cè)區(qū)間第51頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二第52頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二基于信息準(zhǔn)則的滯后長度選取確定自回歸的階數(shù)

實(shí)踐中自回歸階數(shù)p的選取需要平衡多加入一個(gè)滯后項(xiàng)的邊際收益和附加的估計(jì)不確定性的邊際成本。一方面，如果自回歸估計(jì)的階數(shù)太低，那么你可能遺漏了包含在較遠(yuǎn)滯后值中的寶貴信息。另一方面，如果階數(shù)太高，那么你將要估計(jì)不必要的系數(shù)，這會(huì)在你的預(yù)測(cè)中引入額外的估計(jì)誤差。第53頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二F統(tǒng)計(jì)量方法p的一種選擇方法是從包含很多項(xiàng)滯后的模型開始，然后進(jìn)行有關(guān)最后一項(xiàng)滯后的假設(shè)檢驗(yàn)。例如，可以從估計(jì)AR(6)開始，接著在5%水平下檢驗(yàn)六階滯后系數(shù)是否顯著；如果不顯著就去掉它；然后估計(jì)AR(5)，檢驗(yàn)五階滯后的系數(shù)，以此類推。第54頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二這個(gè)方法的缺點(diǎn)是至少某些時(shí)候得到的模型太大：如即使真正的AR階數(shù)為五，故六階的系數(shù)應(yīng)該為零，但基于t統(tǒng)計(jì)量的5%檢驗(yàn)將會(huì)有5%的時(shí)間只是因?yàn)榕既恍远e(cuò)誤地拒絕了這個(gè)原假設(shè)。因此，當(dāng)p的真值為5時(shí)，這種方法會(huì)有5%的時(shí)間估計(jì)出p為6。第55頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二貝葉斯準(zhǔn)則(BIC)第56頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二赤遲準(zhǔn)則(AIC)第57頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二BIC更傾向于篩選出“精簡的”模型第58頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二BIC準(zhǔn)則與AIC準(zhǔn)則只有第二項(xiàng)有差別。一般來說，lnT>2(除非樣本容量很小)，故BIC準(zhǔn)則對(duì)于解釋變量過多的懲罰比AIC準(zhǔn)則更為嚴(yán)厲。也就是說，BIC準(zhǔn)則更強(qiáng)調(diào)模型的簡潔性。第59頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二包含多個(gè)預(yù)測(cè)變量的時(shí)間序列回歸的滯后長度選取1.F統(tǒng)計(jì)且方法同一元自回歸的情形，一種確定滯后階數(shù)的方法是采用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)系數(shù)等于零的聯(lián)合原假設(shè)。如，在(14.17)式的討論中，我們檢驗(yàn)了失業(yè)率的二階到四階滯后項(xiàng)系數(shù)等于零的假設(shè)對(duì)它們不全為零的備擇假設(shè)；結(jié)果在1%顯著水平下拒絕這個(gè)假設(shè)，表示支持包含長滯后項(xiàng)的設(shè)定形式。若比較的模型個(gè)數(shù)較少，則F統(tǒng)計(jì)量的方法易于使用。但一般情況下由F統(tǒng)計(jì)量方法得到的模型太大，即高估了真正的滯后階數(shù)。第60頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二2。信息準(zhǔn)則第61頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二Stata應(yīng)用第62頁，共67頁，2023年，2月20日，星期二時(shí)間序列基礎(chǔ)1.定義時(shí)間變量tsset表示時(shí)間的變量2.滯后項(xiàng)和差分項(xiàng)的表示滯后項(xiàng)：L.變量名L2.變量名差分項(xiàng)：D.變量名L3.變量名打開本書數(shù)據(jù)集macro_2e，并定義時(shí)間變量：usemacro_2etsse