理工類專業(yè)課復(fù)習(xí)資料-專題一(二階常微分方程解法)

二階微分方程：x二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：ypyqy中p,q為常數(shù)；兩個不相等實(shí)根(p2-4q>0)x兩個相等實(shí)根(p2-4q=0)y=(c1+c2x)er1x一對共軛復(fù)根(p2-4q<0)r1=a+ib，r2=a-ib二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y￠+py￠+qy=f(x)，p,q為常數(shù)微分方程的一般形式是y￠￠+py￠+qy=f(x)(1)其中p,q是常數(shù)。方程(1)的通解為對應(yīng)的齊次方程y￠+py￠+qy=0()2的通解Y和方程(1)的一個特解y*之和。即y=Y+y*.我們已解決了求二階常系數(shù)齊下面我們只介紹當(dāng)方程(1)中的f(x)為如下兩種常見形式時(shí)求其特解y*的方法。一、f(x)=e入×xPm(x)型由于方程(1)右端函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)e入.x與m次多項(xiàng)式Pm(x)的乘積，而指數(shù)方程(1)的特解應(yīng)為y*=e入.xQ(x)(Q(x)是某個次數(shù)待定的多項(xiàng)式)y*￠=入e入.xQ(x)+e入.xQ￠(x)y*2=e入.x.[入2Q(x)+2入Q￠(x)+Q￠￠(x)]代入方程(1)，得消去e，得(3)Q￠￠(x)+(2入+p)Q￠(x)+(入2+入p+q)Q(x)oPm(x)(3)Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bmx冪的系數(shù)，就得到以b0,b1,…,bm-1,bm為y*=e入.xQm(x)20、如果入是特征方程r2+pr+q=0的單根。欲使(3)式的兩端恒等，那么Q￠(x)必是一個m次多項(xiàng)式。因此，可令Q(x)=x×Qm(x)并且用同樣的方法來確定Q(x)的系數(shù)b0,b1,…,bm-1,bm。30、如果入是特征方程r2+pr+q=0的二重根。欲使(3)式的兩端恒等，那么Q￠￠(x)必是一個m次多項(xiàng)式因此，可令Q(x)=x2×Qm(x)并且用同樣的方法來確定Q(x)的系數(shù)b0,b1,…,bm-1,bm。論如果f(x)=e入×xPm(x)，則方程(1)的特解形式為y*=xkQm(x)e入.x其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式，k的取值應(yīng)滿足條件00例1求y￠￠-5y￠+6y=xe2x的通解。解特征方程為為r2-5r+6=0Y=C1e2x+C2e3xy*=x(b0x+b1)e2x則y*￠=[2b0x2+(2b0+2b1)x+b1]e2xy*￠=[4b0x2+(8b0+4b1)x+2b0+4b1]e2x代入原方程，得(-2b0x+2b0-b1)e2xoxe2x，1y*=-x(1x+1)e2x因此2所以方程的通解為y=c1e2x+c2e3x-x(x+1)e2x二、f(x)=e入x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型由于方程(1)右端函數(shù)為e入x[pl(x)coswx+pn(x)sinwx]，這種形式得到非齊次方程的特解y*的過程稍微復(fù)雜些，所以我們這里就只給出結(jié)論y*=xke入x[R(1m)(x)coswx+R(2m)(x)sinwx]且k=í根y￠￠+y=xcos2x解特征方程r2+1=0r1,2=±iY=C1cosx+C2sinxy*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x得(-3ax-3b+4C)cos2x-(3Cx+3d+4a)sin2x=xcos2xì-3a=1í?-3b+4C=0íC0a,b=0,C=0,d=y*=