第二講隨機(jī)變量基礎(chǔ)

第二講隨機(jī)變量基礎(chǔ)第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)1.1概率的基本術(shù)語(yǔ)隨機(jī)試驗(yàn)RandomExperiment隨機(jī)事件RandomEvent基本事件Elementary(Simple)Event樣本空間SampleSpace頻率Frequency概率Probability第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一投擲骰子出現(xiàn)1點(diǎn){1，2，3，4，5，6}投擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)樣本空間隨機(jī)事件基本事件第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一關(guān)于樣本空間的注釋：DiscreteSampleSpace:Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間:由多次子試驗(yàn)構(gòu)成的樣本空間:－－看下例Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由多次子試驗(yàn)構(gòu)成的樣本空間可數(shù)無(wú)窮的樣本空間S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用頻率估計(jì)概率n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為nA，比值稱為事件A發(fā)生的頻率。頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度，若事件A發(fā)生的可能性大，那么相應(yīng)的頻率也大，反之則較小。概率第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算機(jī)模擬：投擲一枚均勻硬幣，模擬計(jì)算出現(xiàn)正面的概率。number=0;fori=1:N%setupsimulationfor4cointosesifrand(1,1)<0.5%tosscoinwithp=0.5x(i,1)=1;%headelsex(i,1)=0;%tailendnumber=number+x(i,1);%countnumberofheadsendP=number/N;第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2隨機(jī)變量的定義(Definitionofarandomvariable)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e}，如果對(duì)于每一個(gè)eS，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。隨機(jī)變量是定義在樣本空間S上的單值函數(shù)1.定義第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同可以分為：連續(xù)型隨機(jī)變量(Continuousrandomvariable)離散型隨機(jī)變量(Discreterandomvariable)第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(0,1)分布指示型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的可能取值為0和1兩個(gè)值，PMF為PMF:01第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(0,1)分布的隨機(jī)變量；指示型隨機(jī)變量；貝努里隨機(jī)變量；第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：信息傳輸問(wèn)題（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Example:Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofx.Findtheprobabilityofoneorfewererrors01011-1-第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Xtakesonvaluesintheset{0,1,…,n}Ifthereisnoerror,eachtransmissionresultsina‘0’Ifthereisanerror,eachtransmissionresultsina‘1’TheprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenasfollowsWecallXthebinomialrandomvariable第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一貝努里試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種結(jié)果。產(chǎn)品合格或不合格元件沒(méi)有失效或失效信息發(fā)送成功或失敗打靶命中或脫靶目標(biāo)檢測(cè)或漏檢第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一貝努里序列（BernoulliSequence）N次連續(xù)的獨(dú)立的貝努里試驗(yàn)稱為貝努里序列ConsecutiveindependentBernoullitrialscompriseaBernoullisequence.貝努里試驗(yàn)----N重貝努里試驗(yàn)(0,1)分布------二項(xiàng)式分布信息傳輸?shù)?3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一泊松分布(Poissondistribution)第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.3分布函數(shù)和概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定義第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.分布函數(shù)的性質(zhì)（PropertiesoftheCDF）分布函數(shù)是右連續(xù)的不減函數(shù)，在負(fù)無(wú)窮處為零，正無(wú)窮處為1。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，取某一特定值的概率是為零的。即P{X=x}=0第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于離散型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為階梯函數(shù)?！鸬?7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一概率密度第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的概率密度函數(shù)是一串函數(shù)之和。第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.常見概率分布正態(tài)分布（Normal），也稱高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正態(tài)分布概率密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一指數(shù)（Exponential）分布指數(shù)分布概率密度0123456700.511.5第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一指數(shù)分布可以用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如，旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔，維基（wikipedia)新條目出現(xiàn)的時(shí)間間隔，電話呼叫的時(shí)間間隔等，是一個(gè)率（Rate)參數(shù)。第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)數(shù)正態(tài)分布（LogNormal）高分辨率雷達(dá)雜波分布01234567891000.10.20.30.40.5對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度為尺度參數(shù)為形狀參數(shù)第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.4多維隨機(jī)變量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定義S●●e第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一比如：同時(shí)投擲一個(gè)1元硬幣和一個(gè)1角硬幣，樣本空間為S={HH,TH,TT,HT}。HHTHTTHTxy第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.二維分布函數(shù)和概率密度BivariateCDFandPDF二維分布函數(shù)圖解定義：性質(zhì)：參看教材第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維概率密度：第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于二維離散隨機(jī)變量，定義聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)（JoinPMF)第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維概率密度：第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.條件分布(ConditionalDistribution)條件分布函數(shù)條件概率密度稱隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一條件概率質(zhì)量函數(shù)（ConditionalPMF):第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一以隨機(jī)事件為條件的概率密度:第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一幾個(gè)重要的貝葉斯公式:全概率公式:貝葉斯公式:第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一概率分布與概率密度的全概率公式:第48頁(yè)