區(qū)間估計(jì)和誤差計(jì)算

（二）區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)是指用樣本指標(biāo)、抽樣誤差和概率所構(gòu)造的區(qū)間以估計(jì)總體指標(biāo)存在的可能范圍。在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的時(shí)候，根據(jù)所給定的條件不同，總體平均數(shù)和總體成數(shù)的估計(jì)有兩條模式可供選擇：第一套：給定置信度要求，去推算抽樣誤差的可能范圍。第二套：根據(jù)已給定的抽樣誤差范圍，求出概率保證程度。1.總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)I￥按照第一套模式，根據(jù)置信度f⑷的要求，估計(jì)I￥F（t）x Ap極限抽樣誤差的可能范圍A（或Ax Ap（1）抽取樣本，并根據(jù)調(diào)查所得的樣本單位標(biāo)志值，計(jì)算樣本平均數(shù)_；計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差；在大樣本x下用以代替總體標(biāo)準(zhǔn)差推算抽樣平均誤差。（2）根據(jù)給定的置信度F⑴的要求，查《正態(tài)分布概率表》，求得概率度t值。（3）根據(jù)概率度t和抽樣平均誤差卩計(jì)算極限抽樣誤差的可能范圍At「并據(jù)以計(jì)算置信區(qū)間的上下限。 xx例14麥當(dāng)勞餐館在7周內(nèi)抽查49位顧客的消

152438263042183025263444203524263448182846193036422432453621472628314245362428273236473522243246顧客平費(fèi)額（元）如下，求在概率95%的保證下均消費(fèi)額的置信區(qū)間。:n26第一步：根據(jù)樣本計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差：=32元）S=：工(x=32元）S=：工(x-X)2In=9.45元），用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差<5=9.45元）樣本平均誤差 ° 9.45135(元)xn<49\n第二步:根據(jù)給定的置信度F⑴95%，査概率表得t196\n第三步：根據(jù)概率度t和抽樣平均誤差推算抽樣極t限誤差的可能范圍。（元）A_=t卩_=1.96x1.35=2.65將=的值代入?yún)^(qū)間估計(jì)公式X,卩Xx-A<x<x+AX X32-2.65<X<32+2.6529.35（元）<X<34.65（元）計(jì)算結(jié)果表明，以95%的概率保證，麥當(dāng)勞餐館顧客消費(fèi)額在29.35~34.65元之間。例15某高校有5000名學(xué)生，隨機(jī)抽取250名調(diào)查每周收看電視的時(shí)間，分組資料見表4—7。試按不重置抽樣方法，以95.45%的概率推斷該

校全部學(xué)生每周收看電視時(shí)間的可能范圍。表4—7每周收看電視時(shí)間（小時(shí)）組中值X學(xué)生人數(shù)f2以下1222~43564~65926~87608~10920

巳知:N=5000,巳知:N=5000,n=250,250由F(t)=9545%查表得t=2樣本平均數(shù)首先，計(jì)算樣本指標(biāo)樣本平均數(shù)工xf1X22+3X56+5x92+7x60+9x20 1250x= = = 250一“一 250 -250250=5(小時(shí))樣本方差(x-x)2S2=n(1-5)2x22+(3-5)2x56+(5-5)2x92+(7-5)2X60+(9-5)2X20250=翱=4.544250由于不知道總體方差，所以用樣本方差代替總體方差?！鯽2n■a2n=一N）第二步：計(jì)算極限抽樣誤差単(1-空)=013(小時(shí))250' 5000丿xA-=t?卩=2x013=026（小時(shí)）xx第三步：確定置信區(qū)間5-0.26匕X<5+0.26

4?7役x<526計(jì)算結(jié)果表明，全部學(xué)生每周平均看電視的時(shí)間在4.74—5.26小時(shí)之間。

例16某保險(xiǎn)公司從投保人中隨機(jī)抽取36人，計(jì)算出此36人的平均年齡_=395歲，巳知投保人年齡分布近似正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為7.2歲，試求解已知丘解已知丘=395歲一7.2根據(jù)n=36F(f)=99%查正態(tài)分布概率表得/=258抽樣誤差計(jì)算極限抽樣誤差■b2

I一[^2 1722 ■b2

I一A=t「一=2.58 =2.58"144=309” 36x~x~Ax-X-x+Ax39.5-309-X-39.5+30936.41-X-42.59計(jì)算結(jié)果表明：以99%的把握度保證，投保人年齡在36.41~42.59歲之間。例17某研究機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查來估計(jì)吸煙者一月花在抽煙上的平均支出，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，得到樣本平均數(shù)為110元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30元，試以95%的把握度估計(jì)全部吸煙者月均煙錢支出的置信區(qū)間。解巳知x=110解巳知x=110，概率分布表得t=206S=30n=200〉30查F(t)=0.96由于不知道總體方差，所以用樣本方差代替。計(jì)算極限抽樣誤差：A-=t?二=2.06x旦=4.37 （元）x vn v200置信區(qū)間：一△<X<-+△110—4.37-<X<110+4.37105.63<X<114.37結(jié)論，我們有95%的把握認(rèn)為吸煙者月均煙錢支出在105.63~114.37元之間。例18某年某地區(qū)抽查了400戶農(nóng)民家庭年人均穿衣的消費(fèi)支出，得到平均值為220元，標(biāo)準(zhǔn)差為86元，試以95%的置信水平估計(jì)該地區(qū)農(nóng)民家庭年人均穿衣的消費(fèi)支出。解因?yàn)閚=400是大樣本，則有，極t=196b 86 b 86 一A-=t- =1.96x-==8.42（兀）x、n v'400220—8.42<X<8.42+220置信區(qū)間： _211?58元<X<228.42兀結(jié)論，我們有95%的把握認(rèn)為該地區(qū)農(nóng)民家庭年人均穿衣的消費(fèi)支出，在3211.58元至228.42元之間。此例可以看出，樣本容量越大，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)。第二套是根據(jù)給定的極限抽樣誤差范圍概率保證程度F(t)。具體步驟是：F(t)(1)抽取樣本，根據(jù)樣本單位標(biāo)志值計(jì)算樣本算術(shù)平均數(shù)，作為總體平均數(shù)的估計(jì)值，并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差。x根據(jù)給定的極限抽樣誤差范圍估計(jì)總體平AyT均數(shù)的置信區(qū)間，即估計(jì)總體平均數(shù)的下限一A和總體平均數(shù)的上限一+△。 x根據(jù)給定的極限抽樣誤差A(yù)，除以抽樣平均誤差「求出概率度，即tA再根據(jù)t值査《正態(tài)卩 t t=―,卩-x分布概率表》求出相應(yīng)的置信度F⑴。例7某鄉(xiāng)水稻總面積20000畝，以不重置抽樣方法從中隨機(jī)抽取500畝實(shí)割實(shí)測求得樣本平均畝產(chǎn)一55。千克，標(biāo)準(zhǔn)差為65千克。要求極限抽樣誤差不超過5.74千克，試對該鄉(xiāng)水稻的畝產(chǎn)和總產(chǎn)量作估計(jì)。解第一步根據(jù)算出的樣本平均畝產(chǎn),=550千克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差65千克，計(jì)22n 652 500 (T，克)卩= (1— )=x(1— )=2.87x\nN\500v 20000丿第二步根據(jù)給定的丄=574千克，計(jì)算該鄉(xiāng)平均畝產(chǎn)x和總產(chǎn)量的上限和下限。畝產(chǎn)下限（千克）x一△—=550一574=544.26x總產(chǎn)量下限= 萬（千克）20000x54426=108852畝產(chǎn)上限=一 （千克）x+a=550+574=55574x總產(chǎn)量上限=20000x55574=111148萬（千克）第三步：根據(jù)’普=||4=2，查概率表得尸⑵=0.9545或95.45%.區(qū)間估計(jì)：以概率95.45%保證的保證程，估計(jì)該鄉(xiāng)水稻平均畝產(chǎn)在544.26~555.74千克之間；總產(chǎn)量在1088.52~1111.48萬千克之間。2.總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體成數(shù)估計(jì)和總體平均數(shù)估計(jì)相類似，也有兩套模式。第一套模式是根據(jù)給一的置信度f⑴要求,估計(jì)極限抽樣誤差范圍‘?，F(xiàn)舉例說明具體步驟：a例19在一項(xiàng)新廣告活動的跟蹤調(diào)查中,在被調(diào)查的400中有240人會記起廣告標(biāo)語。假定在95.45%概率保證程度下,能記起廣告標(biāo)語占總體比率的置信區(qū)間是多少？首先,根據(jù)樣本資料計(jì)算p=^nip=^ni=240=60%n400S2=p(1—p)=60%x(1—60%)=0.6x0.4=0.24抽樣平均誤差才嚴(yán)嚴(yán)盜=0.0245=2.45%其次，根據(jù)假定的置信度F(t)9545%，查概率表求得t=2。 。最后，求出被估計(jì)的總體比率的置信區(qū)間Ap=t?卩p=2X2-45%=4.9%PP—Ap<P<p+Ap60%—49%<P<60%+49%55.1%<P<64.9%計(jì)算結(jié)果說明，以概率95.45%的保證程度，估計(jì)會記起廣告標(biāo)語的人數(shù)占總體比率在55.1%~64.9%之間。第二套模式是根據(jù)已經(jīng)給定的極限抽樣誤差范圍，求概率保證程度。具體步驟是：抽取樣本,計(jì)算樣本成數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差,并據(jù)此推算抽樣平均誤差。 p根據(jù)給定的極限抽樣誤差范圍，估計(jì)總Ap體成數(shù)置信區(qū)間的下限p—和上限p+。將極限抽樣誤差?除以抽樣平均誤差，求Ap 卩出概率度t值，再根據(jù)t值查概率表，求出相應(yīng)的置信度。F(t)

例20某電視臺希望了解每日“晚間新聞”欄目的收視率，隨機(jī)抽取了800人進(jìn)行調(diào)查，其中有576人觀看此節(jié)目。要求極限抽樣誤差不超過3.2%,試對該欄目收視率的可靠性進(jìn)行估計(jì)。解樣本成數(shù) 576p—=72%800樣本抽樣標(biāo)準(zhǔn)差=詡（1一P）=詡（1一P）=1072x028=045平均誤差_；P（1-P）卩p= n~■'0.72x0.28\—800—=