積分思想和微元法在中學(xué)物理競賽中的應(yīng)用

積分思想和微元法在中學(xué)物理競賽中的應(yīng)用湖北省監(jiān)利縣朱河中學(xué)黃尚鵬摘要：縱觀近幾年的全國中學(xué)生物理競賽試題，筆者發(fā)現(xiàn)，對于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來進(jìn)行計(jì)算的一些問題卻在競賽中頻頻出現(xiàn)，由于中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識上的局限，使得這些問題一般很難解決，但是如果應(yīng)用積分思想和微元法，借助初等數(shù)學(xué)工具，也可以很好地解決這類問題。因此這類問題對學(xué)生的能力提出了較高的要求，許多學(xué)生對此感到十分困惑，甚至無從下手。對此，下面筆者就積分思想和微元法談?wù)勗谝恍┪锢砀傎愒囶}中的具體應(yīng)用和做法，以期能收到窺斑見豹之效。

關(guān)鍵詞：積分思想

微元法

等分分割

裂項(xiàng)相消

極限

一、積分思想的核心和微元法的本質(zhì)

積分思想的核心就是微元法，而微元法的本質(zhì)是什么呢？在處理變化的事物或變化的過程時(shí)，考慮到一切變化都必須在一定的時(shí)間和空間范圍內(nèi)才可能實(shí)現(xiàn)，微元法就抓住了“變化”的這一本質(zhì)特征，通過限制變化賴以發(fā)生的時(shí)間和空間來限制變化，從而將變化的事物或變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的事物或不變的過程，以實(shí)現(xiàn)“化變?yōu)楹恪?、“化曲為直”的作用?/p>

二、積分思想和微元法解決問題的基本步驟

1．根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量，并確定它的變化區(qū)間，要求所求未知量應(yīng)與變量的變化區(qū)間有關(guān)，且未知量在區(qū)間上具有可加性。

2．化整為零，即分割。在區(qū)間內(nèi)任意插進(jìn)個(gè)分點(diǎn)：，，，，為了書寫方便，令，，使，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，則第個(gè)區(qū)間的長度（）。

3．近似。在區(qū)間上選取有代表性的任一區(qū)間進(jìn)行分析處理，運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識及物理概念、公式和規(guī)律求出所求未知量的局部量的近似值，將表示成的形式（是第個(gè)區(qū)間上的任意一點(diǎn)，必要時(shí)可選取特殊點(diǎn)，如區(qū)間端點(diǎn)或）。在計(jì)算過程中應(yīng)充分利用“以恒代變”、“以直代曲”的思想，忽略比高階的無窮小量。常用的近似計(jì)算公式有，，，（），等，其中均為無窮小量。

4．積零為整，即求和。將所求局部量進(jìn)行累積求和，得到所求未知量的近似值，即。在計(jì)算和式時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，常用的數(shù)學(xué)方法有等分分割求和法和裂項(xiàng)相消求和法。

5．取極限。令各個(gè)小區(qū)間的最大長度，當(dāng)然也就要求區(qū)間數(shù)，求出和式的極限，得出所求未知量的準(zhǔn)確值。

三、競賽試題例析

例1．如圖1所示，半徑為的半球形水池裝滿密度為的水，要將池內(nèi)的水抽干，至少要做多少功？

圖1

圖2

分析與解答：按題目要求只要將水抽至水面的高度就可以了。如圖2所示，將水分割成層，且每層的厚度都為，即等分分割，將一層一層的水即“微元”抽至水面即可。

取水面下第層水考慮，第層水的厚度為，其距水面的高度可以認(rèn)為是，則第層水的半徑為，這層水的質(zhì)量為

將這層水抽至水面所做的功為

所以將全部水抽至水面所需要做的功為

令各層水的厚度，即，，。

本題計(jì)算和式時(shí)采用的是等分分割求和法，當(dāng)然也可以采用裂項(xiàng)相消求和法，具體做法與下面的例2完全類似，請看下例。

例2．如圖3所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過圓環(huán)的中心。一質(zhì)量為，電阻為的均勻?qū)w細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸上，另一端可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動，棒與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為。圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為、方向豎直向上的恒定磁場中，式中為大于零的常量，為場點(diǎn)到軸線的距離，金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線連接。不計(jì)棒與軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場，問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的端才能使棒以角速度勻速轉(zhuǎn)動。

圖3

分析與解答：將整個(gè)導(dǎo)體棒分割成個(gè)小線元，小線元端點(diǎn)到軸線的距離分別為

第個(gè)線元的長度為，當(dāng)很小時(shí)，可以認(rèn)為該線元上各點(diǎn)的速度都為，各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都為,該線元因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

（1）

整個(gè)棒上的感應(yīng)電動勢為

（2）

由

略去高階小量及，可得代入（2）式，得

（3）

由全電路歐姆定律，導(dǎo)體棒通過的電流為

（4）

導(dǎo)體棒受到的安培力方向與棒的運(yùn)動方向相反。

第個(gè)線元受到的安培力為

（5）

作用于該線元的安培力對軸線的力矩

作用于棒上各線元的安培力對軸線的總力矩為

，即

（6）

因棒端對導(dǎo)體圓環(huán)的正壓力為，所以摩擦力為，對軸的摩擦力矩為

（7）

其方向與安培力矩相同，均為阻力矩。為使棒在水平面內(nèi)作勻角速轉(zhuǎn)動，要求棒對于軸所受的合力矩為零，即外力矩與阻力矩相等，設(shè)在點(diǎn)施加垂直于棒的外力為，則有

（8）

由（6）、（7）、（8）式得

本題計(jì)算和式時(shí)采用的是裂項(xiàng)相消求和法，比等分分割求和法顯得更為簡便，但技巧性較強(qiáng)，筆者不妨再舉一例。

例3．如圖4所示，一個(gè)用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為、，厚度可以忽略。兩個(gè)表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環(huán)心距離變化的規(guī)律均為，為已知常量。薄圓環(huán)繞通過環(huán)心垂直環(huán)面的軸以大小不變的角加速度減速轉(zhuǎn)動，時(shí)刻的角速度為。將一半徑為（）、電阻為并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置。試求在薄圓環(huán)減速轉(zhuǎn)動過程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力與時(shí)間的關(guān)系。已知：半徑為、通有電流的圓線圈（環(huán)形電流）在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（為已知常量）

圖4

分析與解答：用半徑分別為

的個(gè)同心圓把塑料薄圓環(huán)分割成個(gè)細(xì)圓環(huán)．第個(gè)細(xì)圓環(huán)的寬度為，其環(huán)帶面積，式中已略去高階小量。該細(xì)圓環(huán)帶上、下表面所帶電荷量之和為

設(shè)時(shí)刻，細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為，則

單位時(shí)間內(nèi)，通過它的“橫截面”的電荷量，即為電流

由環(huán)形電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律，該細(xì)圓環(huán)的電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

（1）

式中是一個(gè)微小量，由，得

（2）

將各細(xì)圓環(huán)的電流產(chǎn)生的磁場疊加，由（1）、（2）式得出環(huán)心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度

（3）

由于，可以認(rèn)為在導(dǎo)線圓環(huán)所在小區(qū)域的磁場是勻強(qiáng)磁場，可由點(diǎn)的場表示。磁場對導(dǎo)線圓環(huán)的磁通量

（4）

由于是變化的，所以上述磁通量是隨時(shí)間變化的，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小為

（5）

由全電路歐姆定律可知，導(dǎo)線圓環(huán)內(nèi)感應(yīng)電流的大小為（6）

設(shè)題圖中薄圓環(huán)帶正電作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場方向垂直紙面向外，由于薄圓環(huán)作減角速轉(zhuǎn)動，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場逐漸減小，根據(jù)楞次定律，導(dǎo)線圓環(huán)中的感應(yīng)電流亦為逆時(shí)針方向，導(dǎo)線圓環(huán)各元段所受的安培力都沿環(huán)半徑向外．現(xiàn)取相對于軸兩對稱點(diǎn)、，對應(yīng)的二段電流元所受的安培力的大小為

（7）

圖5

方向如圖5所示，它沿及方向分量分別為

（8）

（9）

根據(jù)對稱性，作用于沿半個(gè)導(dǎo)線圓環(huán)上的各電流元的安培力的分量之和相互抵消，分量之和為

（10）

由于半個(gè)圓環(huán)處于平衡狀態(tài)，所以在導(dǎo)線截面、處所受的來自另外半個(gè)圓環(huán)的張力應(yīng)滿足．由（3）、（6）兩式得

“對稱”是本題的特點(diǎn)，“微元法”是具體的解法，“對稱法”也是解物理題的一種常用方法。

總之，積分思想和微元法是分析和解決高中物理競賽試題的常用方法，也是從局部到整體的科學(xué)思維方法。運(yùn)用這種思想和方