《誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)教學(xué)》第四講

第二章誤差理論與最小二乘原理ErrorTheoryandTheLeastSquaresPrinciple編輯ppt第三講精度估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（復(fù)習(xí)）思考題

1、什么是精度、準(zhǔn)確度、精確度？它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

2、什么是中誤差？為什么要定義中誤差？3、什么是平均誤差？它和中誤差的關(guān)系是什么？4、什么是或然誤差?它和中誤差有什么關(guān)系?5、何為相對(duì)誤差？為什么定義相對(duì)誤差?6、何為極限誤差？它是哪些量的限差?編輯ppt第三講精度估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（復(fù)習(xí)）1、在僅含有偶然誤差時(shí)，精度和精確度是統(tǒng)一的上節(jié)課內(nèi)容回顧：2、方差指的是隨即變量的離散程度，亦即反映了隨即變量精度的高低3、衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)包括：中誤差、平均誤差和或然誤差，統(tǒng)稱為絕對(duì)誤差4、相對(duì)誤差一般用于長(zhǎng)度測(cè)量5、極限誤差是真誤差的限值（界限）編輯ppt

第四講參數(shù)估計(jì)和最小二乘原理ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

2、PropertiesofTheEstimates

3、MaximumLikelihoodEstimate4、TheLeastSquaresEstimate編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

ⅰ.Collectivity（母體，總體）ⅱ.Individual（個(gè)體）隨機(jī)變量可能取值的全體1)SomeConcepts組成母體的每個(gè)單元編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

ⅲ.Sample（子樣，樣本）ⅳ.Amount（容量）1)SomeConcepts總體中隨機(jī)抽取的若干個(gè)體樣本中個(gè)體的數(shù)目編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

ⅴ.TheoreticalCharacteristicⅵ.StatisticalCharacteristic1)SomeConcepts母體所具有的特性（理論方差，理論分布）子樣具有的特性（統(tǒng)計(jì)分布，統(tǒng)計(jì)方差）編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

Example:某項(xiàng)觀測(cè)所有可能取得的觀測(cè)值為總體一觀測(cè)組的n個(gè)觀測(cè)值稱為子樣（樣本）n就是子樣的容量觀測(cè)本身就是抽樣編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

科學(xué)實(shí)踐中，常以子樣的某些特征估計(jì)推斷母體的相應(yīng)的特征2)ParametersEstimation此時(shí)，我們關(guān)心的不是母體的分布，而是母體的某些數(shù)字特征例如，為了推斷一批燈泡的質(zhì)量，就要求出這批燈泡的平均使用壽命，使用時(shí)數(shù)長(zhǎng)短的差異，即要推斷母體的期望和方差編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

2)ParametersEstimation

例如，已知偶然誤差服從正態(tài)分布，需要確定的只是期望和方差，因此確定分布問(wèn)題又歸結(jié)為確定其中參數(shù)的問(wèn)題。當(dāng)需要確定母體分布時(shí)，亦可以事先斷定母體服從某種分布，未知的還是母體的某些數(shù)字特征編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

2)ParametersEstimation通常，我們能得到母體的理論特征值嗎？因?yàn)樽訕泳哂须S機(jī)性；因?yàn)樽訕拥娜萘坎豢赡芎艽?；編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

2)ParametersEstimation參數(shù)估計(jì)定義：用有限個(gè)數(shù)的子樣觀測(cè)值，來(lái)估計(jì)母體中某些特征參數(shù)的問(wèn)題分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

3)PointandIntervalEstimationA、點(diǎn)估計(jì)的定義

母體X服從某種分布，概率密度函數(shù)f(x)，其中有參數(shù)，則PDF通常寫(xiě)作f(x;)，設(shè)參數(shù)個(gè)數(shù)為t個(gè)?，F(xiàn)從母體中抽取子樣(x1,x2,…,xn)，點(diǎn)估計(jì)就是遵循某種原則，由子樣構(gòu)成一些統(tǒng)計(jì)量(x1,x2,…,xn)將這些分別作為母體參數(shù)的估計(jì)量。由子樣觀測(cè)值計(jì)算出的數(shù)值稱為參數(shù)的估值。編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

3)PointandIntervalEstimationB、區(qū)間估計(jì)的定義

在一定置信概率下，估計(jì)參數(shù)所在區(qū)間的方法。

例如，或然誤差的求法。編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

4)ParametersEstimationinLS

依據(jù)作為子樣的觀測(cè)值，估計(jì)被觀測(cè)量母體的均值和母體的方差。編輯pptNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1、ConceptsofParametersEstimation

4)ParametersEstimationinLS

例：對(duì)某量x（如角度）進(jìn)行了n次等精度、獨(dú)立觀測(cè)，得子樣觀測(cè)值，在不含系統(tǒng)誤差時(shí)，母體服從正態(tài)分布，即x~（u，），其中u，是其數(shù)學(xué)期望和方差，求其估值。編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1)Unbiased若參數(shù)的估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于參數(shù)，即

稱為的無(wú)偏估值編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1)Unbiased例1：證明子樣的均值是母體均值的無(wú)偏估值。編輯ppt

例2：證明子樣的統(tǒng)計(jì)方差是母體方差的有偏估值。期望表達(dá)式：

因?yàn)?/p>

所以取子樣統(tǒng)計(jì)方差有偏編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS1)Unbiased例3：Bessel公式。當(dāng)未知參數(shù)個(gè)數(shù)為1，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n時(shí)，根據(jù)改正數(shù)計(jì)算中誤差公式編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS2)Validity設(shè)和都是的無(wú)偏估值，如果的方差小于的方差，即稱比更有效。編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS2)Validity例1：證明均值比任一觀測(cè)值更有效。當(dāng)n>1時(shí)，子樣平均值比觀測(cè)值更有效。編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS3)Identical如果參數(shù)的估計(jì)量，隨著子樣容量n的增大，依概率收斂于，則有稱為

的一致估計(jì)量。編輯ppt2、PropertiesofTheEstimates

No.4ParametersEstimationandPrincipleofLS證明:子樣均值是母體均值的嚴(yán)格一致估計(jì)量。3)Identical編輯ppt3、MaximumLikelihoodEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLSDescription：1）f(x)稱為PDF，f一定時(shí)，可以計(jì)算點(diǎn)密度和區(qū)間密度；2）當(dāng)分布參數(shù)已知時(shí)，任一向量都有確定的概率密度，但是，我們關(guān)心的是向量取值觀測(cè)向量時(shí)的概率密度；在觀測(cè)向量確定后，如何估計(jì)分布參數(shù)就是參數(shù)估計(jì)編輯ppt3、MaximumLikelihoodEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLSDescription：3）如果不附加任何條件，分布參數(shù)取值不唯一；4）極大似然估計(jì)：子樣出現(xiàn)概率為最大的前提下，來(lái)求取未知參數(shù)估計(jì)量的方法。編輯ppt3、MaximumLikelihoodEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLSExample：設(shè)觀測(cè)值母體服從正態(tài)分布N（a,σ2),由子樣（x1,x2,…xn)求參數(shù)a和σ2的最大或然估計(jì)量。解：或然函數(shù)取對(duì)數(shù)得到編輯ppt3、MaximumLikelihoodEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

最大或然估計(jì)就是：當(dāng)子樣（x1,x2,…xn)取值確定后，參數(shù)a和σ2取何值時(shí)，或然函數(shù)取值最大。分別對(duì)a和σ求導(dǎo)，令其等于零編輯ppt3、MaximumLikelihoodEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

解得

當(dāng)母體服從正態(tài)分布時(shí)，子樣算術(shù)平均值和子樣方差就是母體數(shù)學(xué)期望和方差的最大或然估計(jì)量。編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

1）設(shè)某一量n個(gè)非等精度觀測(cè)結(jié)果L1,L2,…,Ln，觀測(cè)值服從正態(tài)分布，以中誤差mi代替均方差σ

，以估值代替E(L),組成的或然函數(shù)為編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

或然估計(jì)就是使上式取得最大值，即

亦即編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

上式乘以常數(shù)2μ2，對(duì)求最小值無(wú)影響

vi表示觀測(cè)值Li和參數(shù)估值之差并令于是或者編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

其中此即為非等精度且觀測(cè)值獨(dú)立時(shí)的最小二乘原理。編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

2）設(shè)存在n個(gè)未知量，根據(jù)隨機(jī)向量的正態(tài)分布密度函數(shù)，觀測(cè)值向量L的分布密度函數(shù)為

其中編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

協(xié)方差矩陣編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

引入非零參數(shù)參數(shù)σ0

于是

可得到如下關(guān)系式

此即為權(quán)矩陣和協(xié)方差矩陣的關(guān)系式。編輯ppt4、TheLeastSquaresEstimateNo.4ParametersEstimationandPrincipleofLS

2）設(shè)存在n