同濟(jì)大學(xué) 線代 4 答案05

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第五章相像矩陣及二次型

1?試用施密特法把以下向量組正交化?

?111?(1)(a1,a2,a3)??124??

?139???

解根據(jù)施密特正交化方法?

?1?b1?a1??1??

?1???

??1?b2?a2?b1??0??

?1?[b1,b1]??[b1,a2]

?1?1?b3?a3?b1?b2??2??

[b1,b1][b2,b2]3?1???[b1,a3][b2,a3]

?11?1??0?11?(2)(a1,a2,a3)???

?101????110?

解根據(jù)施密特正交化方法?

?1??0?b1?a1????

?1???1?

?1?[b1,a2]1??3?b2?a2?b1????2[b1,b1]3???1?

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??1?[b1,a3][b2,a3]1?3?b3?a3?b1?b2????

[b1,b1][b2,b2]53???4?

2?以下矩陣是不是正交陣:

???(1)?????1?1213121??31?1?;2?1?1?2?

解此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣?

?1?8?4???999?814?(2)?????

999?447?????99??9

解該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量?且兩兩正交?故為正交陣?

3?設(shè)x為n維列向量?xTx?1?令H?E?2xxT?證明H是對(duì)稱的正交陣?證明由于

HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xT)TxT?E?2xxT?所以H是對(duì)稱矩陣?由于

HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT)

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?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT)?E?4xxT?4x(xTx)xT?E?4xxT?4xxT?E?所以H是正交矩陣?

4?設(shè)A與B都是n階正交陣?證明AB也是正交陣?證明由于A?B是n階正交陣?故A?1?AT?B?1?BT?

(AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E?

故AB也是正交陣?

5?求以下矩陣的特征值和特征向量:

?2?12?(1)?5?33?;??10?2???

解

2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?

?10?2??

故A的特征值為???1(三重)?對(duì)于特征值???1?由

?3?12?A?E??5?23?~??10?1????101??011???000???得方程(A?E)x?0的基礎(chǔ)解系p1?(1?1??1)T?向量p1就是對(duì)應(yīng)于特征值???1的特征值向量.

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?123?(2)?213?;?336???

解

1??23|A??E|?21??3???(??1)(??9)?

336??

故A的特征值為?1?0??2??1??3?9?對(duì)于特征值?1?0?由

?123?A??213?~?336????123??011???000???得方程Ax?0的基礎(chǔ)解系p1?(?1??1?1)T?向量p1是對(duì)應(yīng)于特征值?1?0的特征值向量.對(duì)于特征值?2??1,由

?223??223?A?E??223?~?001??

?337??000?????得方程(A?E)x?0的基礎(chǔ)解系p2?(?1?1?0)T?向量p2就是對(duì)應(yīng)于特征值?2??1的特征值向量?對(duì)于特征值?3?9?由

??823?A?9E??2?83?~?33?3????11?1??1??01???2??000??得方程(A?9E)x?0的基礎(chǔ)解系p3?(1/2?1/2?1)T?向量p3就是對(duì)應(yīng)于特征值?3?9的特征值向量?

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?0?0(3)?0??1001001001?0?.0??0?解

??0010??10|A??E|??(??1)2(??1)2?

01??0100??

故A的特征值為?1??2??1??3??4?1?對(duì)于特征值?1??2??1?由

?1?0A?E??0??1011001101?0?~0??1??1?0?0??0010001001?0??0??0?得方程(A?E)x?0的基礎(chǔ)解系p1?(1?0?0??1)T?p2?(0?1??1?0)T?向量p1和p2是對(duì)應(yīng)于特征值?1??2??1的線性無(wú)關(guān)特征值向量?對(duì)于特征值?3??4?1?由

??1?0A?E??0??10?11001?101?0?~0???1??1?0?0??001000?100?1?0??0??0?得方程(A?E)x?0的基礎(chǔ)解系p3?(1?0?0?1)T?p4?(0?1?1?0)T?向量p3和p4是對(duì)應(yīng)于特征值?3??4?1的線性無(wú)關(guān)特征值向量?

6?設(shè)A為n階矩陣?證明AT與A的特征值一致?證明由于

|AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|?

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令

?y?2(x?1x)12?12?1y?(x2?2x3)?22??y3?2x3??

111?x1?y1?y2?y3?222?即?x2?2y2?2y3?

2?1y3?x3?2?

二次型化為規(guī)范形

f?y12?y22?y32?

所用的變換矩陣為

?1?1?1?1?C?022??

2?001???31?設(shè)

f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3

為正定二次型?求a?解

?1a?1?二次型的矩陣為A??a12???125????其主子式為

a11?1?

1a?11a2?1?a?a12??a(5a?4)?a1?125

由于f為正主二次型?所以必有1?a2?0且?a(5a?4)?0?解之得?4?a?0?

5

32?判別以下二次型的正定性?(1)f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3?

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解

??211?二次型的矩陣為A??1?60??

?10?4???由于

a11??2?0?

?21?11?01?6?|A|??38?0?

所以f為負(fù)定?

(2)f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4?解

?1??1二次型的矩陣為A??2??1?121?30?3??

09?6???3?619?由于

a11?1?0?

1?121?1?4?0,?130?6?0?13209,A?24?0?

所以f為正定?

33?證明對(duì)稱陣A為正定的充分必要條件是?存在可逆矩陣U?使A?UTU?即A與單位陣E合同?

證明由于對(duì)稱陣A為正定的?所以存在正交矩陣