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歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔歡迎來主頁下載---精品文檔廈大附中高一數(shù)學(xué)培優(yōu)專題(一)2010-3-6/13)2010-3-6/13)本節(jié)公式中,s=竺聲,,r為內(nèi)切圓半徑,R為外接圓半徑,A為三角形面積.(一).三角形中的各種關(guān)系設(shè)△ABC的三邊為a、b、c,對應(yīng)的三個角A、B、C?1?角與角關(guān)系:A+B+C=n2?邊與邊關(guān)系:a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b<c,b-c<a,c-a<b.3.邊與角關(guān)系:正弦定理.===2R正弦疋理;Asiinsi(S余弦定理;c2=a2+b2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.它們的變形形式有:a它們的變形形式有:a=2RsinA,sinAasinBbb2+c2—a2cosA二2bC-3)射影定理:a=b?cosC+c?cosB,b=a?cosC+c?cosA,c=a?cosB+b?cosA?4)面積公式:4)面積公式:S=1ah=A2a-absinC=rs=、.s(s-a)(s-b)(s-c)

(二)、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:1.三角形內(nèi)角定理的變形由A^B^C=n,知A=n—CB^C)可得出:sinAsinA=sinCB+C),cosA=—cosCB+C).AB+CAB+Csin=cos,AB+CAB+Csin=cos,cos-=sin十C2222而A=1_B+C?有:2222.常用的恒等式:sinA+sinB+sinC=4cosAcoscos;BC1)2)222cosA+cosB+cosC=1+4sinsinbsinc;A23)4)sinA+sinB—sinC=4sin△sinBcosC;22cosA+cosB—cosC=—1+4cosacosBsinC22T3?余弦定理判定法:如果c是三角形的最大邊,則有:a2+b2>c2。三角形ABC是銳角三角形a2+b2Vc2―三角形ABC是鈍角三角形a2+b2=c2三角形ABC是直角三角形(三)三角形度量問題:求邊、角、面積、周長及有關(guān)圓半徑等。條件角角邊邊邊角邊邊邊邊角邊適用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔A<90°AM90°aMba<ba>baWba>bsinAa=bsinAavbsinA一解兩解一解無解一解無解其中“邊邊角”(abA)類型利用正弦定理求角時應(yīng)判定三角形的個數(shù):(四)積化和差公式sinacosP12[sin(a+P)+sin(a-P)];cosasinp1_[sin(a+P)一sin(a-P)];cosacospsinasinp1_[cos(a+P)+cos(a—P)];1[cos(a+P)—cos(a—P)](五)和差化積公式sina+sinB=_sina+Pcos"一P.;a+P.a—Psina—sinP=_cossina+Pa—Pcosa+cosp=_coscosa+Pa—Pcosa—cosp=—_sinsin^T~V歡迎來主頁下載---精品文檔(一)課前練習(xí)(1)AABC中,A、B的對邊分別是a、b,且A=60,a=/6,b=4,那么滿足條件的AABCoVA、有一個解B、有兩個解C、無解D、不能確定(2)在AABC中,A=60°,b=1,面積為小則sinA:蔦:sinC=-3)在AABC中,(1+tanA)(1+tanB)=2,則logsinC=2⑷在AABC中,a’b’c分別是角A、B、C所對的邊,若(a+b+c)(sinA+sinB一sinC)=3asinB,則上c=(5)在AABC中,若其面積S-則ZC=30O答案:⑴C;答案:⑴C;一1⑶—2⑷60⑸30:(6)在AABC中,A=60,b=1,這個三角形的面積為尸,則AABC外接圓的直徑是在AABC中,a、b、c是角A、B、C的對邊,a=J3,cosA=3,則cos2=,b2+c2的最大值為在△ABC中AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是設(shè)O是銳角三角形ABC的外心,若/C=75,且AAOB,ABOC,ACOA的面積滿足關(guān)o77系式S+S=\/3S,求/A?AAOBABOC*ACOA答案:1;答案:1;9;⑺3;2;(9)45;精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔歡迎來主頁下載---精品文檔例題精講:例1.在AABC中,已知a=、/3,b=j2,B=45。。求A、C及c解法一:由正弦定理得:sinA-asinB_J3sin45。解法一:由正弦定理得:b72~TVB=45OVB=45O<90°即b<a???A=60。或120°當(dāng)A=60。時,當(dāng)A=60。時,C=75°,當(dāng)A=120。時,C=15°,_bsinC_^/2sin75。_y/6+Q

sinBsin45。2_bsinC_Qsinl5。_“-J2sinBsin45。解法二:設(shè)c=x由余弦定理b2_a2+c2-2accosB將已知條件代入,整理:x2-J6x+1_0,解之:x_^^⑴當(dāng)c_b解之:x_^^⑴當(dāng)c_b2+c2-a2cosA-—2bc2+育二32,2舉J21+、:'3

2(誇+1)從而A=60°,C=75°⑵當(dāng)c_屈-邁時同理可求得:A=120°,C=15°2

歡迎來主頁下載---精品文檔例2.已知三角形的一個角為60°,面積為10、/Tcm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.解析:設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c,B=60°,則依題意得cos60°=a2cos60°=a2*C2一b22ac-acsin60°=10J3a+b+c=20a+b+c—20<b2—a2+c2一acac—40由①式得:b2=[20-(a+c)]2=400+a2+c2+2ac-40(a+c)④將②代入④得400+3ac—40(a+c)=0再將③代入得a+c=13由a*c—13ac—40由a*c—13ac—40解得a1c1a2

c2—8—5???b=7,b=712所以,此三角形三邊長分別為5cm,7cm,8cm。歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔例3.△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊.已知tanA+tanB+J丁=tanA?tanB?、亍,(1)求NC的大??;⑵若c=7,△ABC的面2積SAABC=型,求a+b的值.2tanA+tanB解析;(1)tanC=tan(A+B)=1-tanA?tanB3-(tanA?tanB一1)1tt=芒.???0°VCV180°,???C=60°?1一tanA-tanB'7⑵由c=2及余弦定理,得a2+b2—2abcos60°=(7)2.2又由Saab占2abs^J^t,整理得149a整理得149a2+b2一ab=,4??(a+b)2=ab=6.V11即a+b=2.精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔歡迎來主頁下載---精品文檔例4.在△A/C中,AB=5,AC=3,D為BC中點,且AD=4,求BC邊長。解析:設(shè)BC邊為x,則由D為BC中點,可得BD=DC=丄,2在AADB中,AD2在AADB中,AD2+BD2一AB2cosADB=2^AD^~BD42+G)2-52x2x4x_2xx2x4x_2x4x_22解得,x=2,所以,BC邊長為2。歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔精品文檔精品文檔8精品文檔8精品文檔例5.在AABC中,三邊長為連續(xù)的自然數(shù),且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三邊長。解析:設(shè)三角形的三邊長分別為X,x+1,x+2,?°?COSa,x+2-—①其中?°?COSa,x+2-—①x_x+2_x+2sinasin2a2sina-cosa又由余弦定理可得X2=(x+1)2+(x+2)2—2(x+1)(x+2)cosa②將①代入②整理得:X2—3x—4=0解之得x=4,x=—1(舍)所以此三角形三邊長為4,5,612例6?如圖,在AABC中,例6?如圖,在AABC中,AC=2,BC=1,cosC-'?4(1)求AB的值;(2)求sin(2A+C解析([)由余弦定理,AB—AC+B2(—.AC.BoCs—4+1—2x2x1x—2.哥B么,AB—x/2'4小3(/7(II)解:由cosC—4,且0<CS,得sinC-J1-cos2C—#由正弦定理,AB—BC,“sinA-BCsinCsinCsinA解得AB所以,cosA-E8sin2A=sin2A?cosA=16,由倍角公式16,且gA=1-2皿A=匸故sin(2A+C)-sin2AcosC+cos2AsinC—九,"

例7?在AABC中,ZB=45。,AC二嚴(yán)cosC=2",求⑴BC=?(2)若點D是AB的中點,求中線CD的長度。解析⑴由解析⑴由cosC=得sinC=£sinA=sinA=sin(180一45一C)='ooz討C+sinC)=3100由正弦定理知BC竺?sinA=sinB由正弦定理知BC竺?sinA=sinB<T0I23J1010-2)ACAB=-sinC=sinBBD-1AB-12由余弦定理知CD-CD-BD2+BC2-2BD-BCcosB-+18一2-1-3匹耳-713歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載---精品文檔12精品文檔12精品文檔精品文檔精品文檔例8?在銳角AABC中角AB,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA二斗,的值;的值;1)求tan2B+C.A+sin2r2(2)若a二2,[ABC,求b的值.解析(解析(1)因為銳角AABC中,A+B+C=兀,sinA=所以cosA=i,則;3

B+CB+C..Asin2tan2十sm2=B+CC0S2-2B+CC0S2-2=1^C0*+fiA)1十C0sA17=十_=_1—cosA33(2)因為Sabc=J2,又S□ABC2也心=2bc?竽,3c=b代入余弦定理:3c=b代入余弦定理:A2)求y=S_+S_的最大值與最小值1則be=3。將a=2,cosA=3,a2=b2+c2—2bccosA中得b4—6b2+9=0解得b=斗3。附加題(06江西卷)如圖,已知AABC是邊

長為1的正三角形,M、N分別是邊AB、AC

上的點,線段MN經(jīng)過△ABC的中心G,設(shè)ZMGA兀2兀、=a(—<a<—)33⑴將^AGM>AAGN的面積(分別記為S與S)12表示為a的函數(shù)常見錯誤:不會利用正弦定理順利地將S,S表示為a的函12數(shù),導(dǎo)致思路受阻。正解(1)因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心,所以AG所以AG

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