自適應(yīng)有限元在水利工程中的應(yīng)用

自適應(yīng)有限元在水利工程中的應(yīng)用摘要：本文將自適應(yīng)有限元用于水利工程，提出了大壩有限元計(jì)算的應(yīng)力取值標(biāo)準(zhǔn)：給定全局誤差限作為自適應(yīng)有限元網(wǎng)格剖分的準(zhǔn)則，在此誤差限控制下所得網(wǎng)格計(jì)算的應(yīng)力為有限元應(yīng)力取值。本文應(yīng)用ZZ后驗(yàn)誤差估計(jì)方法以及h-型自適應(yīng)策略，對一個(gè)典型的重力壩剖面進(jìn)行了線彈性自適應(yīng)有限元計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明：給定一個(gè)全局誤差限，網(wǎng)格剖分調(diào)整若干次后即可滿足誤差要求，不會(huì)出現(xiàn)因角緣應(yīng)力集中出現(xiàn)剖分不收斂的情況；對于不同的初始網(wǎng)格，給定一個(gè)全局誤差限，可以得到應(yīng)力水平相當(dāng)?shù)挠邢拊獞?yīng)力取值；存在一個(gè)全局誤差限，使得當(dāng)繼續(xù)降低誤差限時(shí)，壩踵和壩趾的角緣應(yīng)力趨于穩(wěn)定值。關(guān)鍵字：后驗(yàn)誤差估計(jì)自適應(yīng)有限元容許誤差限重力壩Abstract:Theadoptionofstressbasedonadaptivefiniteelementisdiscussed,anditisreceivedfromaoptimizedmeshwhichisdividedundercontrolofagivenglobalerrorlimit.TheZienkiewicz-Zhuposteriorierrorestimateandcorrespondingadaptivestrategyarefirstlypresent.Andthelinearelasticadaptivefiniteelementcalculationisappliedtoatypicalgravitydam.Resultsindicatethatthereexistsaglobalerrorlimit,whichmakethestressesatdamheelandtoeasymptoticallykeepstabilizationratherthanincreasewithoutlimit.Fordifferentmesh,equivalentstressvaluearegainedandaoptimizedmeshareunderthecontrolofthisglobalerrorlimit,.5%percentasaglobalerrorlimitissuggested.Keywords:hydraulicstructure;stressadoption;adaptivefiniteelementmethod;aposteriorierrorestimate;errorlimit由于有限元法的應(yīng)力成果往往與所采用的單元型式和單元?jiǎng)澐钟休^大的關(guān)系，因此目前還難以提出相應(yīng)的應(yīng)力控制指標(biāo)。另外，有限元法應(yīng)力分析中存在著壩踵、壩趾的應(yīng)力集中效應(yīng)，這對應(yīng)力評價(jià)及確定控制應(yīng)力帶來困難，因此，有限元分析中應(yīng)力取值一直是壩工界長期關(guān)注且尚未得到很好解決的關(guān)鍵技術(shù)問題之一。壩踵、壩趾等角緣應(yīng)力集中部位往往是最受關(guān)注的應(yīng)力控制部位。結(jié)構(gòu)應(yīng)力控制標(biāo)準(zhǔn)是建立在一定的應(yīng)力取值方法基礎(chǔ)上的，兩者必須配套，這也是建立有限元應(yīng)力控制標(biāo)準(zhǔn)的難點(diǎn)所在。李啟雄等通過工程實(shí)例的分析[1]，提出以壩基上游部分垂直拉應(yīng)力分布的相對寬度作為控制標(biāo)準(zhǔn)。一些學(xué)者[4,5]以有限元計(jì)算所得應(yīng)力成果推求大壩建基面內(nèi)力，并用材料力學(xué)公式反求等效應(yīng)力。雖然最大等效應(yīng)力比最大有限元應(yīng)力減小了，但從拉應(yīng)力范圍來看，等效應(yīng)力的拉應(yīng)力范圍比有限元應(yīng)力的范圍增加了。從這一點(diǎn)來說，有限元等效應(yīng)力法建議的方法和拉應(yīng)力分布的相對寬度作為控制標(biāo)準(zhǔn)的方法產(chǎn)生了矛盾，因此它們不能相互統(tǒng)一。另外，李勝福[2]和趙代深[3]還從網(wǎng)格剖分的優(yōu)化方面研究了有限元應(yīng)力控制標(biāo)準(zhǔn)的問題。本文提出了基于自適應(yīng)網(wǎng)格誤差控制的有限元應(yīng)力取值標(biāo)準(zhǔn)：即給定一個(gè)全局誤差作為自適應(yīng)有限元網(wǎng)格剖分的準(zhǔn)則，以此網(wǎng)格計(jì)算所得應(yīng)力即為有限元應(yīng)力取值。以全局誤差作為應(yīng)力取值標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)點(diǎn)是明顯的：自適應(yīng)網(wǎng)格誤差綜合反映了結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料特性和分區(qū)，荷載等結(jié)構(gòu)要素的影響，且直接和應(yīng)力精度相關(guān)聯(lián)；其本身又是一個(gè)客觀的無量綱數(shù)，特別適合作為不同結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一控制標(biāo)準(zhǔn)。本文應(yīng)用ZZ后驗(yàn)誤差估計(jì)方法及h-型自適應(yīng)策略，分析了一個(gè)重力壩實(shí)例，重點(diǎn)考察三個(gè)問題：（1）給定一個(gè)全局誤差限，網(wǎng)格剖分是否總能滿足誤差要求且收斂？（2）對于不同的初始網(wǎng)格，給定一個(gè)全局誤差限控制值，有限元應(yīng)力計(jì)算是否給出大致相同的應(yīng)力取值？（3）是否存在一個(gè)全局誤差限控制值，使得當(dāng)繼續(xù)降低誤差限時(shí)，壩踵和壩趾的角緣應(yīng)力大體趨于穩(wěn)定值？不至于因全局誤差限改變，應(yīng)力計(jì)算值即急劇變化。1后驗(yàn)誤差估計(jì)與自適應(yīng)策略后驗(yàn)誤差估計(jì)的關(guān)鍵在于選擇合適的范數(shù)度量誤差。在大多數(shù)文獻(xiàn)中，是以能量范數(shù)度量誤差，即對每個(gè)單元估計(jì)其誤差的能量。如果計(jì)算結(jié)果的全局誤差不滿足要求，則需要重新設(shè)計(jì)網(wǎng)格，即對局部誤差較大的單元進(jìn)行加密。1.1誤差估計(jì)及其漸進(jìn)精確性[8,9]對于線彈性力學(xué)問題，令為有界域，為其邊界，基本方程如下：（1）在區(qū)域內(nèi)（2）（3）眼其中，維—耍位移，獄—膜應(yīng)力，壓—枝應(yīng)變微分矩陣執(zhí)，犁—滔彈性常數(shù)矩陣砍，襯—希體積力矢量，度—京線性微分算子舞，艙。笑為討論方蹄便，假設(shè)訊被剖分為矩形頓單元青。以位移為基乒本變量的有限你元系統(tǒng)方程一慈般根據(jù)最小勢巴能原理建立。醋設(shè)干分別為位移精渣確解和有限元廣解，應(yīng)力精確嚼解和有限元解武分別為俯，定義位移和降應(yīng)力的局部誤掌差（4）幫能量范數(shù)色誤差定義為（5）判通常，除割了簡單問題之破外，應(yīng)力精確虧解塘很難求得，因比此需要使用一姑個(gè)從有限元解障修勻得到的改轟進(jìn)應(yīng)力身來代替應(yīng)力精眠確解并。使用應(yīng)力改姓進(jìn)值錫來近似計(jì)算能瞇量范數(shù)誤差為（6）境系統(tǒng)相對翁誤差頭和誤差估計(jì)有申效性指數(shù)勵(lì)定義為（7）式中匪忠責(zé)1.2亭駱應(yīng)力修勻過程笛對于玻階的位移有限魔元逼近，應(yīng)力摔在區(qū)域內(nèi)不連于續(xù)也不準(zhǔn)確。拌可以通過應(yīng)力憂修勻，使應(yīng)力塑在區(qū)域內(nèi)具有瞎與位移相同的無連續(xù)性，而且粒修勻后的（改短進(jìn)）應(yīng)力值比怠應(yīng)力有限元解病的精度高。糧令買為改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)需應(yīng)力值，采用都和位移相同的鼻插值形函數(shù)被，則應(yīng)力改進(jìn)廊值可以寫作（8）舊本文介沫紹后Zienki恨ewicz啄&Zh箭u借所使用的應(yīng)力世修勻方法，也珠就忙是暗Z身Z辮應(yīng)力修勻過督程犬[8明]牙，從本質(zhì)上說揀它是一種投影展法。徹在銅上，引入加權(quán)黎的余量條件（9）由此解出（10）縣如果方褲程企(10騎)芒中的不取為整個(gè)求解禍域，那么它所循導(dǎo)出的方程規(guī)鮮模較大，計(jì)算斬求解開銷太大篩，在實(shí)際計(jì)算茶中，應(yīng)力修勻支往往局限于局碧部的需要進(jìn)行叼網(wǎng)格自適應(yīng)劃瓣分的區(qū)域（單受元分片）。設(shè)葬表示單元分片來中的單元個(gè)數(shù)糊，陵表示形成偉的積分點(diǎn)個(gè)數(shù)廟。在單元分片凳中，高我們至少需要呀個(gè)積分點(diǎn)數(shù)據(jù)意來計(jì)算未知量脅。引入的加權(quán)瓶余量條件可以連轉(zhuǎn)化為線性侍方程慨，其中（11）鷹將求得的泳代椒入綢(8皆)顫式即可得到修撕勻后的應(yīng)力值聚，然后將其回企代曠入殲(6飛)乎式即可得到用罵修勻應(yīng)力值表乳示的誤差，接母下來就可以使宵用雖、法來控制自適應(yīng)羊過程。元木答1.3接烏自適應(yīng)策略秤自適應(yīng)分役析的最終目的矛就是要實(shí)現(xiàn)有績限元的自動(dòng)離絡(luò)散，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)拜網(wǎng)格布局，以聚提高求解精度姨，其依據(jù)就是握以上求得的誤照差估計(jì)值，它式要求所估計(jì)的碌各單元誤差指衰標(biāo)相等，且應(yīng)猴小于容許極限縱。鋒脊南Mar原c修程序引入了網(wǎng)論格的局部自適騙應(yīng)，并且提供績了基磨于販Z驕Z績應(yīng)力修勻后得路到的后驗(yàn)誤差已的自適應(yīng)網(wǎng)格齊細(xì)栽化拒[9千]箏。實(shí)際計(jì)算中峰，（12）滔其中花是需要局部加隔密的單元片中絨的單元個(gè)數(shù)。是如果販，并且（13）粉那么單元略就需要進(jìn)行細(xì)駝化，網(wǎng)格細(xì)化藥的內(nèi)容將在下三一節(jié)中進(jìn)行介筍紹。跑需要說明度的是：醫(yī)的典型值為：脅蚊通常情況下，繼煤如果每個(gè)網(wǎng)格謊對于全局誤差勁的貢獻(xiàn)都相等跳，則稱為數(shù)學(xué)蕉上的最優(yōu)化網(wǎng)評格屢。查必因子栗可以用來增強(qiáng)婚全局誤差六在自適應(yīng)網(wǎng)格柿細(xì)化中所起的品作用，全局誤妖差通過燕來影響網(wǎng)格細(xì)鐮化過程。一般假情況下，系數(shù)懸滿足關(guān)系式義肅己耗1.4匆緞網(wǎng)格細(xì)化懲如果條影件威(13箭)咸成立，單元偷可以按照三種填方式進(jìn)行自適幸應(yīng)改進(jìn)：背方式：改變網(wǎng)蟲格節(jié)點(diǎn)的位置需，如薪圖造1(a怨)賞所示嚼；驟液方式：改變單巴元形函數(shù)階次后，如炒圖砍1(b厚)應(yīng)所示摧；查逆方式：改變單庫元尺寸，如辛圖詠1(c密)趕所示燒。膠職純辯Mar旬c趁軟件中采用的呆是六方式的網(wǎng)格細(xì)珍化，而且在細(xì)岡化過程中產(chǎn)生藥了非協(xié)調(diào)的網(wǎng)既格。蝦為了從有令限元近似解中罰獲得相對平滑快的應(yīng)力解，需急要對生成的細(xì)祥分網(wǎng)格有所控沫制，使得相鄰比單元之間的級尼差不超過一級耐，如隸圖田2李所示。從獄圖脊2勵(lì)中可以看出來吩，新生成的單努元之間可能存曾在非協(xié)調(diào)節(jié)點(diǎn)貢，如單圖姥3巷所示，在實(shí)際榆的有限元計(jì)算鎮(zhèn)中需要引入多商點(diǎn)約束附加條海件。對離于所2僻維談和確3挺維情形，分別播有：版鉆糖裙陸(奶14)國欣冤(扭a)螺方束式輪(填method約)釣呼銀(沖b)弱方清式賺(要method怕)愧少咱(與c)探方載式穿(脂method得)旁坡圖贏1聚連續(xù)單元網(wǎng)格快細(xì)化的三種不軋同方法屆渠垂六細(xì)化此單元，財(cái)創(chuàng)建平滑的級盞差過渡籍胸欄2盜維蝕萄辭3榴維感紗滾圖坦2競細(xì)化單元之間骨保證級差連續(xù)扎謎欺圖貴3騾引入多點(diǎn)約束育方程改遣這有2孤穩(wěn)大壩應(yīng)力取值混研沾究遞四選取某典弊型重力壩剖面闊，使部用釘Mar護(hù)c剩程序進(jìn)行平面妹應(yīng)變條件下的秩有限元計(jì)算。例計(jì)算使旱用參Z窩Z微后驗(yàn)誤差估計(jì)險(xiǎn)，進(jìn)行線彈性狠計(jì)算燕。腹Mar揉c瘦程序根據(jù)給定衰的初始誤差限局，決定是否需創(chuàng)要細(xì)分網(wǎng)格，痕最終結(jié)束計(jì)算冤時(shí)得到一套優(yōu)肯化的計(jì)算網(wǎng)格扭，通過它求得液的應(yīng)力場的全腦局誤差以及各隙個(gè)單元上的誤井差將會(huì)滿足所證給定的誤差限彈。句計(jì)算條件干：壩熄高纖100極m燭，底邊六長披70見m飾，壩頂寬惡度慕5影m攜；計(jì)算范圍是皺上游一倍壩高敏，下游兩倍壩娛高，向下為兩鴨倍壩高深度，吸如璃圖儲(chǔ)4娘所示。用戶參灑數(shù)友代表給定的容隔許誤差限，可匆以調(diào)節(jié)，往，最大級差千為被3碰。孤初始網(wǎng)格偏如第圖鑒5岡所示，本文分引別對規(guī)則網(wǎng)格吵（左圖）和非叮規(guī)則網(wǎng)格（右賣圖）進(jìn)行計(jì)算碗，以期證明：薦采用不同網(wǎng)格嫌時(shí)，給定同樣肺的全局誤差限漠得到的有限元才解應(yīng)力水平相敞當(dāng)。恥圖潔6乎從左到右、從部上到下分別是概誤差限設(shè)定貓為踢10枕%尊、檢7喪%暮、職6育%唇、瓜3窯%亡、塊1范%秤和行0.5明%閣時(shí)的最終網(wǎng)格袖。根據(jù)計(jì)算結(jié)盟果整理出狠表越1希的數(shù)據(jù)，并將堤數(shù)據(jù)歸一化后址繪制成如嗚圖障7支所示圖表。如從峰表烈1鳥我們可以得到備兩個(gè)結(jié)論：對慈于給定的全局冶誤差限，網(wǎng)格進(jìn)剖分調(diào)整若干胸次后即可滿足把誤差要求；對可于不同的初始繪網(wǎng)格，存在一計(jì)個(gè)全局誤差限帝控制值，使得潮壩踵處應(yīng)力值碰趨于穩(wěn)定穗【夕1故】錘。另外，從式圖嗚6軍可以看出，同旅樣使用四邊形附網(wǎng)格，對于結(jié)求構(gòu)化的網(wǎng)格以息及非結(jié)構(gòu)化的稻網(wǎng)格而言，利家用后驗(yàn)誤差估棄計(jì)指導(dǎo)產(chǎn)生的袍網(wǎng)格加密區(qū)域錢反映了壩踵以尺及壩址應(yīng)力集斜中區(qū)域應(yīng)力梯畜度較大的特征絮。在壩踵和壩翁趾存在角緣應(yīng)幸力的區(qū)域，網(wǎng)其格密度也較大御，這樣得到的栗網(wǎng)格更加接近痛于工程優(yōu)化網(wǎng)參格。由元表勺1椅以及稀圖膊7演我們還可以得疫到本文所提出誓的最后一個(gè)結(jié)蹦論：存在一個(gè)述全局誤差限，副使得當(dāng)繼續(xù)降潑低誤差限時(shí)，謝壩踵和壩趾的繭角緣應(yīng)力趨于墳穩(wěn)定值。罩采維用喪5拔％的容許誤差釣限，所需網(wǎng)格略規(guī)模中等，而蛇特征應(yīng)力值已齊經(jīng)處于穩(wěn)定狀渣態(tài)，因此由本知例的計(jì)算可以虹推薦，設(shè)恐定妖5辨％的容許誤差蒙限，求得的有膠限元應(yīng)力解可拌以看作工程實(shí)毫際可接受的應(yīng)離力解，用于指基導(dǎo)工程設(shè)計(jì)。染表順1課網(wǎng)格細(xì)化過程托中的一些結(jié)果游規(guī)則網(wǎng)勿格駁(訪Struct鬼uredM餅esh)跟非規(guī)則網(wǎng)恰格斗(值Unstru旺ctured上Mesh)烈誤芬差憂(豬%)且細(xì)化次數(shù)態(tài)單元數(shù)熟節(jié)點(diǎn)數(shù)織(腳MPa)虜(種MPa)轟最大彈(擦MPa)艱誤挖差裂(照%)灘細(xì)化次數(shù)小單元數(shù)勺節(jié)點(diǎn)數(shù)倡(慕MPa)羽(況MPa)楊最大鼓(頑MPa)嬸18刻1而394徒448欣3.81麗3.99產(chǎn)7.23資16次1靜318泳360尺3.29及3.08隊(duì)8.58籃15開2嶼460扶534姥6.12匙6.47箱10.49折15疊2池318年360洞3.29碗3.08箏8.58展13橫3忽580急677適9.30館9.85潛14.77瓦13固2豬363賄418姿5.44舟5.27求8.59氧10惱4鄉(xiāng)814屢945爆13.70櫻14.57演18.24監(jiān)10樸3鐮471廣555豈8.37條8.23憲11.11香7撤5削1189疏1358和13.75圖14.59劈20.54蘇7度5煌924素1063這12.48他12.37騾15.84請6建6罷1669止1875洲13.77臉14.62鈴20.58乖6舟6純1221津1405榨12.50遣12.40布15.87舒5刻13俘2431刺2689柏13.78陜14.63宣20.60澤5體15緒1899回2116喘12.51近12.40爬15.88井4鞏15庫2467籠2734藍(lán)13.78瓣14.63端20.60蛇4肥13糖1899筆2116誤12.51竭12.40掃15.88葵3華13紗2473榮2731卸13.78塑14.63泳20.60絲3郊17把1950臘2171祥12.51炒12.40吼15.88華2屢13辭2479盜2730研13.78蘆14.63轟20.60斤2友14禽1968巴2189鍵12.51劃12.40奴15.88夕1姿15脖2521截2783適13.78宜14.63狼20.60句1茶15副1953驢2176稈12.51劈12.40塞15.88腳0.5為17醬2563軍2822逐13.78堆14.63祝20.60冠0.5匆16錯(cuò)1998叼2223懸12.51董12.40族15.88鉆η店=1鈔0有％蛾η寫=詞7彈％螺η爭=境6促％汗η飽=1巧0倍％拾η作=斥7屆％雷η疑=鏡6拔％戰(zhàn)η頑=查3憂％硬η蠻=絮1屈％熟η德=0.意5效％弱η秩=啦3忌％澡η盈=編1喊％咽η書=0.錢5已％盯練勻(a)根丹規(guī)則網(wǎng)格馳謝脖繡荒(b)海赴非規(guī)則網(wǎng)格攻糠圖口6明設(shè)置不同誤差接限時(shí)的最終網(wǎng)得格舊領(lǐng)圖焰7緒歸一化坐標(biāo)與龍誤差的關(guān)系潔逝俘巷圖飾8懸壩踵至壩趾一田線雖應(yīng)力分布半由于容許醉誤差限是一個(gè)歡無量綱常數(shù)，氏因此適用于各道種不同體形、怪高度的結(jié)構(gòu)物忙。要作為指導(dǎo)嫌工程實(shí)踐的合腹理的取值標(biāo)準(zhǔn)逮，還需要針對避不同的建筑物逢類型和級別，瓶規(guī)定相應(yīng)的允輕許誤差。當(dāng)然況，芝5呀％的數(shù)值由本表次計(jì)算得出，猶還需要做大量廊的校準(zhǔn)分析和蓮應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)積累改等工作。另外泊，本次計(jì)算是膨線彈性的，因簽此容許誤差限陽對塑性的影響尖還需要作專門王研究?？嗜珉s圖游8卡所示，繪制了葡壩踵到壩趾一挺線節(jié)點(diǎn)的舅應(yīng)力值與容許訓(xùn)誤差限的關(guān)系護(hù)，從中可以看擁出，當(dāng)容許誤團(tuán)差達(dá)脅到程3淡％時(shí)，癥已經(jīng)漸進(jìn)收斂掘于確定的應(yīng)力眠值，而且，在徑壩踵和壩趾附喉近的確存在應(yīng)美力集中現(xiàn)象。冬在壩體內(nèi)部，瀉使用不同誤差蹄限算出的應(yīng)力禁值非常接近，拋因此，此處的掙網(wǎng)格尺寸可以博取得較大一些孫。受防柄3期溉結(jié)垂論猜告通過本文缸的分析，說明尖了以下三個(gè)問圓題：顏（乓1委）給定一個(gè)全熱局誤差限，網(wǎng)幅格剖分調(diào)整若五干次后即可滿光足誤差要求，誰不會(huì)出現(xiàn)因角幸緣應(yīng)力集中出縱現(xiàn)剖分不收斂瓣的情況；貓（鑼2慎）對于不同的赴初始網(wǎng)格，給唉定一個(gè)全局誤擋差限控制值，鄰從有限元應(yīng)力買計(jì)算中能夠得偉到大致相同的恩應(yīng)力取值；道（寺3物）存在一個(gè)全霧局誤差限，使丟得當(dāng)繼續(xù)降低膚誤差限時(shí)，壩句踵和壩趾的角痛緣應(yīng)力趨于穩(wěn)摩定值。意這三點(diǎn)認(rèn)竭識奠定了以全籮局誤差限作為掃應(yīng)力取值標(biāo)準(zhǔn)忽的基礎(chǔ)，使壩譽(yù)踵和壩趾的角留緣應(yīng)力趨于穩(wěn)裳定值的最大全爭局誤差限即可積作為全局誤差搭限控制標(biāo)準(zhǔn)，粒通過本文的計(jì)具算，該全局誤合差限范圍可以維取究為擦5葵％。紅參考文獻(xiàn)脖；亡１．李啟嚷雄，苗琴生，感用有限元法計(jì)德算重力壩應(yīng)力嚷時(shí)的控制標(biāo)究準(zhǔn)腎[J忠]瞞，西北水伐電離.1996厲.4京２．李勝扭福，混凝土重秒力壩自適應(yīng)有犁限元應(yīng)力分析襖及改善壩踵應(yīng)我力分布狀態(tài)方貨法探鏟討至[D帆]倍，大連理工大容學(xué)碩士論文尸，笨2002.6喪３．趙代猾深，重力壩有此限元計(jì)算網(wǎng)格妄剖分與應(yīng)力控弟制標(biāo)準(zhǔn)問房題崇[J互]材，水利學(xué)噸報(bào)州.1996濾.5很４．傅作獵新，錢向東，微有限單元法在酷拱壩設(shè)計(jì)中的疊應(yīng)亦用情[J帽]淹，河海大學(xué)學(xué)雙報(bào)傅.1991炒.3讓５．李同胡春，溫召旺，摩拱壩應(yīng)力分析