奇偶性第課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

1第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.進一步理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函數(shù)的圖象特征；2.能夠根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式；(難點）3.會根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性.（重點）2生活中有很多美好的東西，上面的這兩個圖片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函數(shù)圖象都很美，它們又有哪些性質(zhì)呢？3探究點1根據(jù)函數(shù)奇偶性畫函數(shù)圖象

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，如果能夠畫出偶函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象，則根據(jù)對稱性就可補全該函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象.

奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，如果能夠畫出函數(shù)在坐標(biāo)原點一側(cè)的圖象，則根據(jù)對稱性可以補全該函數(shù)在原點另一側(cè)的圖象.4例1.畫出下列函數(shù)的圖象（1）（2）分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，不難知道函數(shù)是偶函數(shù)，這樣只要畫出了在x≥0時的函數(shù)圖象就可以根據(jù)對稱性畫出函數(shù)在x<0時的圖象.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，同樣根據(jù)對稱性解決.5解：（1）當(dāng)時，其圖象是以點(1,-1)為頂點，開口向上的拋物線，與x軸的交點坐標(biāo)是(0,0)(2,0).此時函數(shù)圖象在y軸右半部分如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性得到整個函數(shù)的圖象，如圖.6（2）函數(shù)是奇函數(shù)，可以證明這個函數(shù)在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，且在（0，+∞）上函數(shù)值都是正值，函數(shù)在（0，+∞）上的最小值為2.（這些都可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明）根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，如圖第一象限內(nèi)部分.根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱畫出這整個函數(shù)的圖象，如圖。7例289探究點2根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)10探究點2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例311例4123、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式例5.已知函數(shù)f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根據(jù)下列條件求函數(shù)在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)是奇函數(shù).13分析：求函數(shù)f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求當(dāng)時，如何用含x的表達式表示f(x).能夠利用的已知條件是函數(shù)在（0，+∞）上的函數(shù)解析式，這樣就要把（-∞，0）上的自變量轉(zhuǎn)化到（0，+∞）上的自變量.根據(jù)偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，具備奇偶性的函數(shù)在定義域的對稱區(qū)間上的函數(shù)值是符合奇偶性定義的，對偶函數(shù)就是f(x)=f(-x)，這樣當(dāng)時，，而在（0，+∞）上的函數(shù)解析式是已知的.對奇函數(shù)同樣處理.14解：（1）當(dāng)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)時，滿足f(x)=f(-x)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，(2)當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)時，滿足f(x)=-f(-x).當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，【拓展提升】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式的一般步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi).(2)轉(zhuǎn)化代入已知區(qū)間的解析式.(3)利用函數(shù)f(x)的奇偶性把f(-x)寫成-f(x)或f(x)，從而解出f(x).16探究點3利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性從第（1）個函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性恰好相反，這也是偶函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.從第（2）個函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，這也是奇函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.17例6.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，證明函數(shù)在（-∞，0）上也是減函數(shù).分析：根據(jù)證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通過函數(shù)是奇函數(shù)把函數(shù)在(-∞0)上的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到（0，+∞）上的函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，確定所作的差的符號，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到證明的結(jié)論.18所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.證明：在（-∞，0）上任取x1<x2，則-x1>-x2>0因為函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以根據(jù)減函數(shù)的定義，函數(shù)f(x)在（-∞，0）上是減函數(shù).19函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系(1)若f(x)是奇函數(shù),則f(x)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致;若f(x)是偶函數(shù),則f(x)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.(2)奇函數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值相反,且互為相反數(shù);偶函數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值相等.【提升總結(jié)】20練習(xí)：若f(x)是R上的偶函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，則下列各式成立的是()A.f(-2)＞f(0)＞f(1)B.f(-2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(-2)D.f(0)＞f(-2)＞f(1)答案：選B.f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(-2)=f(2).又f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(-2)＞f(1)＞f(0).變式：若f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+∞)上是增函數(shù)，f(1)=0，則f(x)>0的解集為______.[解題流程]求實數(shù)m的取值范圍，需建立關(guān)于m的不等式(1)定義為[－2，2]，所以不等式中m，m－1均應(yīng)屬于區(qū)間[－2，2]；,(2)要由不等式f(m)＋f(m－1)>0求得m，應(yīng)利用單調(diào)性及奇偶性去掉“f”，建立關(guān)于m的的不等式f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)<f(m)→列不等式組→結(jié)果探究點4函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用[名師批注]由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，將不等式等價變形，這是解決此題的關(guān)鍵一步.很多同學(xué)常因不能實施此變形，造成無法解題.由于定義域為[－2，2]，故應(yīng)有此兩個不等式，此處極易忽視，造成解題錯誤.由函數(shù)的單調(diào)性建立此不等式

[變式]

設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，若f(1-m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍.【拓展提升】利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解.(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可,同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.26練習(xí)1：若f(x)是偶函數(shù)，其定義域為(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是______.【分析】要比較各函數(shù)值的大小，需將要比較的自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后再根據(jù)單調(diào)性比較大小.27【解】∵又∵f(x)在［0,+∞)上是減函數(shù),∴又∵f(x)是偶函數(shù)，∴∴【答案】解析：由f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上遞增，可知f(x)在(0，＋∞)上遞減.∵2a2+a+1=2(a+)2+＞0，2a2-2a+3=2(a-)2+＞0，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＞2a2-2a+3，即3a-2＞0，解得a＞練習(xí)2：設(shè)函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上遞增，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范圍.【互動探究】若題2中“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，則結(jié)果如何？【解析】若f(x)為R上的奇函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上遞增，則f(x)在(0，+∞)上遞增，又∵f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＜2a2-2a+3，即3a-2＜0，解得a＜【規(guī)范解答】(1)令x1=x2=1①得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.………3分(2)令x1=x2=－1①,則f(-1)=0，………4分令x1=－1,x2=x①，∴f(－x)=f(x)，又f(x)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，∴f(x)為偶函數(shù).………7分(3)∵f(4)=1,又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16),∴f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64),∴f(64)=f(4)+f(4)+f(4),∴f(64)=3②

……………8分∴f(3x+1)+f(－6)≤3等價于f(-6(3x+1))≤3,∴f(|-6(3x+1)|)≤f(64),∴………10分解得……12分【失分警示】【防范措施】1.賦值法的應(yīng)用抽象函數(shù)的求值與性質(zhì)討論，往往需要恰當(dāng)?shù)刭x值，此時要明確利用哪些式子說明問題，如本題中判斷函數(shù)奇偶性，看f(-x)與f(x)的關(guān)系，關(guān)鍵是出現(xiàn)f(-x)與f(x)之后，不要出現(xiàn)多余變量.2.偶函數(shù)的一個重要性質(zhì)根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得f(x)=f(|x|)，從而把自變量都集中在區(qū)間(0，+∞)上，應(yīng)用單調(diào)性時，就可以避免分自變量在不同區(qū)間內(nèi)的繁瑣討論，把f(-6(3x+1))寫成f(|-6(3x+1)|)，避免對-6(3x+1)的符號討論.351.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3-8(x≥0)，則｛x|f(x-2)>0｝=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】因為函數(shù)f(x)在（0,+∞）上為增函數(shù)，且f(2)=0,由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，若f(x-2)>0,需滿足|x-2|>2,得x>4或x<0,故選B.B362.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［-5