無窮級數(shù)修改版

無窮級數(shù)修改版2

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結(jié)論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.,問題究竟出在哪兒呢？—阿基里斯與烏龜3

無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具.

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)41.級數(shù)的定義:—(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和（前n項和）5注：一般項和前n項和的關(guān)系62.級數(shù)的收斂與發(fā)散:即常數(shù)項級數(shù)收斂（發(fā)散）存在（不存在）7余項8解收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.9

發(fā)散發(fā)散

綜上所述,10

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結(jié)論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？齊諾悖論—阿基里斯與烏龜11

如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就會不攻自破.

1213解已知級數(shù)為等比級數(shù)，14解例討論無窮級數(shù)的收斂性.151617解例所以級數(shù)發(fā)散.18級數(shù)收斂的必要條件證明注意:1.19202.必要條件不充分:再舉一例：

21討論于是矛盾，22二、級數(shù)的基本性質(zhì)證略.也收斂,且有思考：若k=0？性質(zhì)1如果且當收斂時和則具有相同的斂散性，?+￥=1nnu23解收斂24收斂解25注:證：矛盾.假設(shè)26去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響它的斂散性(但收斂級數(shù)的和可能要改變).性質(zhì)3性質(zhì)4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.證注收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.

例如27例4判斷下列級數(shù)的斂散性：2829例：試把無限循環(huán)小數(shù)表示成一個等比級數(shù)，并求出級數(shù)和。解：是公比首項為0.3的等比級數(shù)，收斂。其和為30小結(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念和性質(zhì)二、基本審斂法三、等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)的收斂性31練習題3233練習題答案34第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法

1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理一、正項級數(shù)及其審斂法這是因為

所以

即單調(diào)增加,因此它有極限當且僅當它有上界.35證明第一比較判別法(2)是(1)的等價命題.

則36解例12.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).所以由第一比較判別法原級數(shù)收斂.37解例238綜上，39重要參考級數(shù):幾何級數(shù),p-級數(shù),調(diào)和級數(shù).例如：40例：判別解：例：判別解：41解例42證明43,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù)如果,當時;則(1)兩級數(shù)有相同的斂散性(3)當時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當時，若收斂,則收斂;第二比較判別法:44證明由比較審斂法的推論,得證.45例5例6解：解：所以由第二比較判別法知原級數(shù)發(fā)散.46例7例8故原級數(shù)發(fā)散.47例9解48例9解49比值判別法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：

證略.50注：1.此方法優(yōu)點：不用找參考級數(shù)。2.缺點：當時此方法失效。51例11例12收斂.解收斂.解52例13解所以用比值法無法判斷.用比較法,故原級數(shù)收斂.53例14解54練習：判定下列級數(shù)的收斂性.收斂收斂收斂發(fā)散5556575859

本節(jié)討論一般的常數(shù)項級數(shù),即各項符號不盡相同的變號級數(shù)(任意項級數(shù)).如級數(shù)

下面討論任意項級數(shù)的斂散性的判別法.首先討論其中的一種各項正負相間的特殊情形——交錯級數(shù),它是一種常見而有實用價值的特殊級數(shù).二、任意項級數(shù)及其審斂法60定義:正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).萊布尼茨定理

如果交錯級數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級數(shù)

1.交錯級數(shù)6162例15解這是交錯級數(shù),例1663解原級數(shù)收斂.例1764由于任意常數(shù)項級數(shù)各項的符號不一定同號,因而正項級數(shù)的斂散性的判別法對它來說是不適用的.但當我們定義:若級數(shù)每項取絕對值構(gòu)成的級數(shù)收斂,便可借助于正項級數(shù)的斂散性的判別法來研究它了.例如級數(shù)是條件收斂的.是絕對收斂的;它的每一項取絕對值后組成的級數(shù)——正項級數(shù),考察收斂,則稱級數(shù)絕對收斂;則稱級數(shù)若級數(shù)發(fā)散,而級數(shù)條件收斂.2、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義:正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).65證明即絕對收斂的級數(shù)必收斂.

66說明1

所有正項級數(shù)的收斂都是絕對收斂.2

一切判別正項級數(shù)的斂散性的判別法都可用來判定任意常數(shù)項級數(shù)是否絕對收斂,從而收斂.即絕對收斂的級數(shù)必收斂.

而不能斷定它必為發(fā)散,

注意:此時需進一步用其他方法來判的斂散性.定(1)當發(fā)散時,就只能斷定非絕對收斂,67(3)

若用比值法和根值法判別級數(shù),得出級數(shù)

定理8.8

若任意項級數(shù)滿足條件發(fā)散,則可斷言級數(shù)一定發(fā)散.即絕對收斂的級數(shù)必收斂.

68如級數(shù)收斂的定義,級數(shù)的一些基本性質(zhì)等進行判別.注（3）

對于任意項級數(shù)①首先判斷它是否絕對收斂②再看它是否為交錯級數(shù);

是否收斂);(即用正項級數(shù)的判別法,判別若是交錯級數(shù)，就用萊布尼茲判別法判別是否收斂;③若前面方法失效,就考慮用其它方法;69例18例1970

判定下列級數(shù)的斂散性，如果收斂判定是絕對收斂還是條件收斂.由比較判別法的極限形式知故原級數(shù)絕對收斂.收斂，例2071發(fā)散，從而原級數(shù)不絕對收斂；

但它卻是滿足萊布尼茲條件的交錯級數(shù),即滿足：故原級數(shù)條件收斂.72例21解73例22解74小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);1.2.75思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.76作業(yè)：P137習題8.2 2單號

3單號

4. 5.77第四節(jié)冪級數(shù)（1）

1.定義:一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念78

則稱點x0為函數(shù)項級數(shù)①的一個收斂點.①

在函數(shù)項級數(shù)①中，若令x

取定義域中某一確定值x0

，則得到一個數(shù)項級數(shù)若上述數(shù)項級數(shù)收斂，

反之，若上述數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則稱點x0

為函數(shù)項級數(shù)①的發(fā)散點.2.收斂點與收斂域:79

上述級數(shù)的和

S也隨之變動，

稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域,發(fā)散點的全體構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散域.收斂點的全體構(gòu)成的集合，

若x0

是收斂域內(nèi)的一個值，因此必有一個和S(x0)與之對應(yīng)，即當x0

在收斂域內(nèi)變動時，就得到一個定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，即3.和函數(shù):80

如果我們仿照數(shù)項級數(shù)的情形，將函數(shù)項級數(shù)①的前n項和記為

Sn(x)，且稱為部分和函數(shù)，這個函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).即Sn(x)那么在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)有則在收斂域內(nèi)同樣有若收斂域記為I81注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.例：討論級數(shù)有和函數(shù)

的收斂域、和函數(shù)及發(fā)散域.解易知此級數(shù)是等比級數(shù)，即收斂域是即發(fā)散域是82解由達朗貝爾判別法，原級數(shù)絕對收斂.例83原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;例84二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:85二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱

86

則稱冪級數(shù)為不缺項的，否則稱為缺項的冪級數(shù).例如冪級數(shù)缺

x

的奇次冪，叫缺項的冪級數(shù)，又如是不缺項的冪級數(shù).87發(fā)散發(fā)散收斂發(fā)散定理.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使絕對收斂88證畢由正項級數(shù)的比較審斂法知,

由(1)結(jié)論,89幾何說明收斂區(qū)間發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域冪級數(shù)絕對收斂，該冪級數(shù)發(fā)散，定義:則稱正數(shù)R為冪級數(shù)由Abel定理可以看出,

中心的區(qū)間.的收斂域是以原點為(－R,R)

稱為收斂區(qū)間.可能收斂也可能發(fā)散

.注：(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.90規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?冪級數(shù)絕對收斂，該冪級數(shù)發(fā)散，定義:則稱正數(shù)R為冪級數(shù)91定理.

若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,當原級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當≠0時,2)當＝0時,3)當＝∞時,即時,則

因此級數(shù)的收斂半徑922)若絕對收斂,對任意

x原級數(shù)因此3)若即對除x=0以外的一切x原級數(shù)發(fā)散,證畢說明:據(jù)此定理的收斂半徑為93求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解94例2.解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=195缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,例3解96級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂域為級數(shù)收斂,97例.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,是亞標準型冪級數(shù)，98例4.的收斂域.解:

令

級數(shù)變?yōu)楫攖=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即99練習.的收斂域.解:

令

級數(shù)變?yōu)楫攖=1時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當t=–1時,級數(shù)為此級數(shù)也發(fā)散;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即100作業(yè)：P154習題8.4 1. （2） （4） （6） （8）101第四節(jié)冪級數(shù)（2）

1024.冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.

103且收斂半徑仍為R.

104解冪級數(shù)例

1討論收斂半徑R=1，逐項求積分后得收斂域：(-1,1)105易求得它的收斂半徑仍為R=1.當x=1時，發(fā)散.當x=-1時，冪級數(shù)為故冪級數(shù)收斂域為[1,1).思考：兩個冪級數(shù)的和函數(shù)如何求？106107思考：逐項求導(dǎo)所得的冪級數(shù)的收斂域？和函數(shù)？逐項求導(dǎo)后得：108例2解易求得冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂域 為(1,1)

，設(shè)所以則109例2解易求得冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂域 為(1,1)

，而在收斂區(qū)間(1,1)內(nèi)，所以110解發(fā)散收斂。111解兩邊積分得112例4.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,113例5解114115例6解116117例7.解:設(shè)則118例7.解:而119例7.解:120作業(yè)：P154習題8.4 2. （2） （4）

121第四節(jié)冪級數(shù)（3）

122兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)

第四節(jié)冪級數(shù)（3）

123一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),

此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:124此式稱為f(x)的n

階麥克勞林公式,其中稱為麥克勞林余項，125為f(x)的泰勒級數(shù).則稱當x0=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).定義：若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),126待解決的問題:1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)

？127定理.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是

f

(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f