湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研數學試題

武漢市2023屆高中畢業(yè)生四月調研考試數學試卷武漢市教育科學研究院命制2023.4.11本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數是純虛數，則實數（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）A. B. C. D.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關于同余的問題.現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（）A.55 B.49 C.43 D.376.設拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（）A.3 B.6 C.9 D.127.閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數.”依據這段文字可以證明的結論是（）A.是有理數 B.是無理數C.存在無理數a，b，使得為有理數 D.對任意無理數a，b，都有為無理數8.已知直線與函數的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某市2022年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到如下扇形圖：則下列結論中正確的是（）A.招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的D.招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍10.橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（）A. B. C. D.11.函數的圖象可能是（）A. B. C. D.12.三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積的最小值為B.三棱錐體積的最大值為C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中含項的系數為______.14.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______.15.直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______.（寫對一個得3分，寫對兩個得5分）16.在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數m的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）記數列的前n項和為，對任意，有.（1）證明：是等差數列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍.18.（12分）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有.（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求.19.（12分）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F分別為邊AB，AC的中點.將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值.20.（12分）中學階段，數學中的“對稱性”不僅體現在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數圖象中，還體現在概率問題中.例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數不低于3場的概率為.現甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，每人拋擲一枚質地均勻的硬幣.（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結果中甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結果中甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率.21.（12分）過點的動直線l與雙曲線E：交于M，N兩點，當l與x軸平行時，，當l與y軸平行時，.（1）求雙曲線E的標準方程；（2）點P是直線上一定點，設直線PM，PN的斜率分別為，，若為定值，求點P的坐標.22.（12分）已知函數，其中.（1）證明：恒有唯一零點；（2）記（1）中的零點為，當時，證明：圖象上存在關于點對稱的兩點.武漢市2023屆高中畢業(yè)生四月調研考試數學參考答案一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】，，則，選：C.2.【答案】A【解析】，則，有，選：A.3.【答案】D【解析】，選：D.4.【答案】B【解析】設邊長為2，有，，則，選：B.5.【答案】A【解析】，有，選：A.6.【答案】B【解析】依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，選：B.7.【答案】C8.【答案】B【解析】考慮的情況，設對應切點為（，，，設對應切點為，，，只考慮，的情況，則，，其中，所以，其中有，，易得，則，則，選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.【答案】AD10.【答案】BCD【解析】，上頂點，焦點或，則或，焦點，右頂點，則，選：BCD.11.【答案】ABC【解析】，有，，選：ABC.12.【答案】ACD【解析】作平面ABC，則.設，，，.又有，，圓心，半徑，所以，則，，A正確，B錯誤.由，當最小時，有H在外部，如圖，此時，二面角為銳角，為鈍角，D正確.選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】－48【解析】，系數為－48.14.【答案】【解析】設棱長為2，則，所以.15.【答案】－2；【解析】，，所以.16.【答案】【解析】，則.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）因為①，則②①－②可得，故為等差數列.（2）若當且僅當時，取得最大值，則有，故的取值范圍為.18.【解析】（1）由，則，有，即，所以.（2）由，則，所以，有，則，又，則.19.【解析】（1）連接的中點Q，則有，且，同理，且，故，且，則四邊形PQEF為平行四邊形，則，又平面，故平面.（2）以EF中點O為原點，EF為y軸，EF和BC的垂直平分線為x軸，AO為z軸，建立空間直角坐標系，則可得，，，，，則由P為中點，故，則，，，設平面BFP的法向量，則，即，則，故取，則，故直線與平面BFP所成的角的正弦值為.20.【解析】（1）設甲正面朝上次數等于乙正面朝上次數的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率和甲正面朝上次數小于乙正面朝上次數的概率相等，故.（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現甲正面朝上次數等于乙正面朝上次數，將該情形概率設為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數；②如果出現甲正面朝上次數小于乙正面朝上次數，則第次無論結果如何，甲正面朝上次數仍然不大于乙正面朝上次數，將該情形概率設為；③如果出現甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數，則第次無論結果如何，甲正面朝上次數仍然大于乙正面朝上次數，將該情形概率設為，由對稱性可知故，而由，可得.21.【解析】解析一：（1）（2）∵，M，N三點共線，∴，∴，∴，∴，∴.∴，∴，根據約分：且，∴當時，.∴，時，成立.解析二：（1）由題可知雙曲線E：過點，，將其代入方程可得，計算可得，則雙曲線E的標準方程為.（2）設，，，直線MN：，與雙曲線聯(lián)立可得，注意到，為方程的兩根，故有恒等式，則，同理由，可得，與雙曲線聯(lián)立可得，注意到，為方程的兩根，故有恒等式，則，則，若為定值，則必有，計算可