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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1202.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個(gè)等級.某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生,其另外一科等級為,則該班()A.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人3.設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.設(shè)集合,則()A. B.C. D.5.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.6.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高,計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.7.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.8.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知拋物線:,點(diǎn)為上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.512.若集合,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.15.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.16.設(shè)向量,,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.18.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若不等式對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計(jì)數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】
根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時(shí),或化學(xué)和,物理都是時(shí),物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.3、B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】
設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達(dá),即,解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.7、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個(gè),解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí),,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時(shí),作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.8、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡,求得對應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問題.10、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.11、C【解析】
由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.12、A【解析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.15、【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算,以及向量的平方,簡單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算,主要考查計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)16.【解析】
(
I
)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(
II
)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意:曲線的直角坐標(biāo)方程為:,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為:,又因曲線的左焦點(diǎn)為,將其代入中,得到,所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為,,,,所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為:,所以當(dāng)時(shí),即時(shí),橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,極徑的應(yīng)用,考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),根據(jù),利用線面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長度,可得,以及平面的一個(gè)法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令,所以則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用,還考查線面角,學(xué)會使用建系的方法來解決立體幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡,屬中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周長為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,也考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以,結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)計(jì)算出直線截圓所得弦長,并計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1)由得,故直線的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲線的直角坐標(biāo)方程是;(2)因?yàn)榍€的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長.又到直線的距離為,所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于
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