山西省呂梁市臨縣第一中學(xué)2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或2．已知，則（）A． B． C． D．3．雙曲線(xiàn)：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與圓：均相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知數(shù)列an滿(mǎn)足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．196．大衍數(shù)列，米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．7．若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．9．在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線(xiàn)x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P，使得|PA|=2|PB|，則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．10．曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．111．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知，是兩條不重合的直線(xiàn)，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則______，______.14．函數(shù)的極大值為_(kāi)_______.15．若，則的最小值為_(kāi)_______.16．命題“對(duì)任意，”的否定是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.18．（12分）中的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.19．（12分）已知，其中．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．20．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，為等腰直角三角形，，平面底面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面與平面的交線(xiàn)為，求二面角的正弦值.22．（10分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）如果對(duì)所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列中，，且，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先通過(guò)得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開(kāi)口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.2、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.3、A【解析】

根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故，故漸近線(xiàn)為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.4、B【解析】

求出復(fù)數(shù)，得出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定所在象限．【詳解】由題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時(shí)，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí)，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.6、B【解析】

直接代入檢驗(yàn)，排除其中三個(gè)即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時(shí)B也滿(mǎn)足，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式，解題時(shí)可代入檢驗(yàn)，利用排除法求解．7、C【解析】

求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可得圓心到漸近線(xiàn)的距離，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，即，由題意知，直線(xiàn)與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線(xiàn)的離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線(xiàn)的距離不小于半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.9、D【解析】

設(shè)點(diǎn)，由，得關(guān)于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍，即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn).，即，整理得，則，解得或..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與方程，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線(xiàn)斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線(xiàn)斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的最小值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.11、B【解析】

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性及平移變換，對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以周?對(duì)于①，因?yàn)椋?，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，解得，故對(duì)任意整數(shù)，，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，可得，則，因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，且，所以第7個(gè)零點(diǎn)，若存在第8個(gè)零點(diǎn)，則，所以，即，解得，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，且，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于中檔題.12、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項(xiàng)A中直線(xiàn)，還可能相交或異面，選項(xiàng)B中，還可能異面，選項(xiàng)C，由條件可得或．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．14、【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號(hào)取得的條件?！驹斀狻坑深}意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號(hào)取得的條件。16、存在，使得【解析】試題分析：根據(jù)命題否定的概念，可知命題“對(duì)任意，”的否定是“存在，使得”．考點(diǎn)：命題的否定．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào)，證得，通過(guò)證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）證明：函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調(diào)，所以存在，使得在上有一個(gè)零點(diǎn)，即，所以，且，即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調(diào)遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計(jì)算出與，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，則，化簡(jiǎn)得，，解得或（負(fù)值舍去），，，，，，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）極大值，無(wú)極小值；（2）．（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；（2）先求導(dǎo)，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無(wú)極小值；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調(diào)遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點(diǎn)睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問(wèn)題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用線(xiàn)面平行的定義證明即可（2）取的中點(diǎn)，并分別連接，，然后，證明相應(yīng)的線(xiàn)面垂直關(guān)系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點(diǎn)，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在圖2中，取的中點(diǎn)，并分別連接，.分析知，，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，，.分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則，，所以.又，所以.分析知，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明以及利用空間向量求解線(xiàn)面角問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，易得，進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形，即，從而可證明平面；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，易證平面，平面，從而可知兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面的法向量，及平面的法向量為，由，可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接.，，，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）如圖2，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.因?yàn)椋?，，所以，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.22、（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的