【高考講壇】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2節(jié) 不等式的證明與利用不等式求最大（?。┲嫡n后限時自測 理 蘇教版選修4-5

PAGEPAGE1【高考講壇】2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2節(jié)不等式的證明與利用不等式求最大（?。┲嫡n后限時自測理蘇教版選修4-5[A級根底達(dá)標(biāo)練]一、填空題1．設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，那么a、b、c間的大小關(guān)系是________．[解析]由eq\f(4,\r(2)＋\r(2))>eq\f(4,\r(6)＋\r(2))>eq\f(4,\r(7)＋\r(3))，得a>c>b.[答案]a>c>b2．設(shè)x＋y＝2eq\r(3)，那么m＝x2＋2y2的最小值為________．[解析]由柯西不等式得(x2＋2y2)(1＋eq\f(1,2))≥(x＋y)2＝12，那么x2＋2y2≥8.[答案]83．假設(shè)a，b，c都大于0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，那么a＋b＋c的最小值是________．[解析](a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋(b－c)2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，即a＋b＋c≥2eq\r(3).[答案]2eq\r(3)4．設(shè)x，y∈R且2x＋3y＝13，那么x2＋y2的最小值為________．[解析](2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.[答案]135．(2023·蘇北三市測試)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝2，那么2x2＋3y2＋z2的最小值為________．[解析]由柯西不等式知(x＋y＋z)2≤[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2＋z2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2＋12))，因為x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥eq\f(24,11)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(2)x,\f(1,\r(2)))＝eq\f(\r(3)y,\f(1,\r(3)))＝eq\f(z,1)，即x＝eq\f(6,11)，y＝eq\f(4,11)，z＝eq\f(12,11)時，等號成立，所以2x2＋3y2＋z2的最小值為eq\f(24,11).[答案]eq\f(24,11)6．(2023·陜西高考)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2.那么(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．[解析](am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2mnab＋mn(a2＋b2)＝mn(a＋b)2＝mn＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\r(2)時等號成立．[答案]27．已知0<a<eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，那么M，N的大小關(guān)系是________．[解析]M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(21－ab,1＋a1＋b)，又因0<a<eq\f(1,b)，得ab<1，那么M－N>0，即M>N.[答案]M>N8．假設(shè)x＋y＋z＝1，且x，y，z∈R，那么x2＋y2＋z2與eq\f(1,3)的大小關(guān)系為________．[解析]∵(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝1，又2(xy＋yz＋zx)≤2(x2＋y2＋z2)，∴3(x2＋y2＋z2)≥1，那么x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3).[答案]x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3)二、解答題9．(蘇州市2023屆調(diào)研調(diào)研測試)已知x，y，z均為正數(shù)，求證：eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z).[證明]∵x，y，z都是正數(shù)，∴eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＝eq\f(1,z)(eq\f(x,y)＋eq\f(y,x))≥eq\f(2,z)同理可得eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(2,x)，eq\f(z,xy)＋eq\f(x,yz)≥eq\f(2,y)將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z).10．(2023·江蘇南通三模)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax＋by,x＋y)))2≤eq\f(a2x＋b2y,x＋y).[解]因為x>0，y>0，所以xy>0，所以要證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax＋by,x＋y)))2≤eq\f(a2x＋b2y,x＋y)，即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立．故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax＋by,x＋y)))2≤eq\f(a2x＋b2y,x＋y).[B級能力提升練]一、填空題1．(2023·陜西高考)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，那么eq\r(m2＋n2)的最小值為________．[解析]由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)即m2＋n2≥5，∴eq\r(m2＋n2)≥eq\r(5)，∴所求最小值為eq\r(5).[答案]eq\r(5)2．(2023·南京三模)已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，那么a＋b＋c的最大值為________．[解析]由柯西不等式，得[a2＋(eq\r(2)b)2＋(eq\r(3)c)2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2))≥(a＋b＋c)2，因為a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－eq\r(11)≤a＋b＋c≤eq\r(11)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝eq\f(6\r(11),11)時，a＋b＋c取得最大值eq\r(11).[答案]eq\r(11)二、解答題3．(2023·江蘇徐州三檢)已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求證：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.[證明]因為[(x－1)2＋