疑難規(guī)律方法第二章

題5例1 52 2

解析由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由橢圓定義知P點的軌跡是以M為原點，A、B為焦點的橢圓，且a＝3，c＝2，∴b＝ a2－c2＝5.于是PM的長度的最小值是b＝5.答案 例 橢圓9＋25＝1上到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之積最大的點的坐標 解析P所以|PF|·|PF

2

2由

解得P恰好是橢圓短軸的兩端點，答案點評由橢圓的定義可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即兩個正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合基本不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點P的坐標. 例 如圖所示，已知橢圓的方程為4＋3＝1，若點P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，△PF1F2的面積解a＝2，b＝所以 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°， 即

1

3 3

|PF|·|FF|·sin ×× 1 × 5即△PF1F2的面積是35點評在△PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可 例1 解析∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin60°＝∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(cc

2 ＝3－1.答 點評 例 F1到直線 b，則橢圓的離心率e＝ 7解析AB的方程為x

b b

77 ，∴77∴ aa2e＝cae＝1e＝5舍去 答案2

例 解析PA、PB則四邊形OAPB是正方形，OP＝ 2c＝2a，∴e＝a＝2答案2 例 設(shè)M為橢圓a2＋b2＝1上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，如果

解由正弦定理得sin90°＝sin15°＝sin sin15°＋sin sin15°＋sin ＝ sin15°＋cos

2sin 3

2點評此題可推廣為若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β

例 C的軌跡方程解C(x，y)r，因為動圓C與兩定圓相外切，即2244

C的軌跡方程為991點評依據(jù)動圓與兩定圓外切建立關(guān)系式，易得到|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|C的a，b即可寫出軌跡方程，這里一定要注意所求的軌跡是雙 例 過雙曲線16－9＝1左焦點F1的直線與左支交于A、B兩點，且弦AB長為6， 解析由雙曲線的定義知所以△ABF2的周長為答案點評與焦點有關(guān)的三角形周長問題，常借助雙曲線的定決注意解決問題時的拼湊技

例 解由雙曲線的定義知：|PF′|－|PF|＝2a＝23，所以|PF|＝|PF′|－23，所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|P、F′、M三點共線時，|PM|＋|PF′|最小，此時|MF′|＝210，故|PM|＋|PF|210－2點評本題利用雙曲線的定義對F的位置進行轉(zhuǎn)換，然后再根據(jù)共線易求得最小值.另外同學(xué)們不妨思考一下：(1)MM(1，1)，其他條件不變，如何求解呢？(2)P是 例 解因為|PF1|＝4|PF2|P在雙曲線的右支上，所以m即4m＋m≥2c，

2，即

2，所以

點評本題利用雙曲線的定義及三角形的兩邊之和與第三邊之間的關(guān)系建立了關(guān)于雙曲線基本量a，c的不等關(guān)系，使問題得以巧妙地轉(zhuǎn)化、獲解. 1如圖所示，ABy2＝2px(p>0)F的一條弦.A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB

A、Bx1x2＝4，y1y2＝－p1 1 ＋ 證明AB的斜率不存在，x∴1＋1 ABABy＝kx－p

2即2

kx－p(2＋k

4 則

即1＋1 點評該結(jié)論是拋物線過焦點的弦所具有的一個重要性質(zhì)，解題時，不可忽視AB⊥x軸的例 設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若→＋→＋→＝0，

解析A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)由→

FA＋FB＋FC＝0知(x－1)＋(x－1)＋(x 答案 1.例1 如圖，點A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點，動點M在圓周上，將紙片折起，使點M與點A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標系xOy中，設(shè)圓C：(x＋1)2＋y2＝4a2(a>1)，A(1，0)，記點N的軌跡為曲線E.(2)lCEBAlQE，心率 ， 2解(1)mAM∴NC、A2a2的橢圓.當a＝2時，長軸長為2a＝4，焦距為2c＝2， ∴橢圓的標準方程為43 又∴l(xiāng)的方程為x＋y＝1 Q(x，y)，∵QA(1，0)ly

消去x得y＝ 22

b∵離心率e∈1， 即 1

2

∴4≤4≤a2≤4，∴3≤a 3∴3≤b＋1≤4，即3≤b≤b∵y＝4b＝4≤2b＝1時取等號b

3b＝3時，y＝3b＝3時，y＝3.∴3∴Q的縱坐標的取值范圍是[3，2].2l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.M(圓心和半徑都在變動)與解M(x，y)r，Ml1，l2 2121 即

2＝25M的軌跡方程是 點評轉(zhuǎn)化成含有動點坐標x，y的方程即可.例 已知橢圓的對稱軸為坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，若橢6，且

3解3所以 b2＋c2＝a＝3，c＝2，所以

故橢圓的方程為95＝1或59PPQ的坐標之間可以建立某種關(guān)系，借PQ的運動軌跡.例4 如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點Q引直線l：x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程.分析P(x，y)PQNPQ點的坐標，然后代入解P點坐標為(x，y)Q的坐標為∵PQN∴N點的坐標為又點N在直線x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，即x0＋y0＝2x＋2y－2. 又 即由①②

又∵Q 4(3x＋y－2)－4(x＋3y－2) ∴QNP的軌跡方程為 點評PQQP、Q兩點坐標間的關(guān)系，用相關(guān)點法求解.5Px＝2lOPA(1，0)mlQQ的軌跡方程解OPP(2，2k).k≠0直線l的方程：y＝－1 直線m的方程 聯(lián)立①②k2x2＋y2－2x＝0k＝0Q的坐標(0，0)Q 例 A，Ba＝(3，－1)共線.M＝＋證明∵MMA則 的中點為1＋ 1＋ 2＋ ①－②

＝－2又

a

→ ∴ON的方向向量為 ∵a2＝3b2，∴x2＋3y2＝3b2，又直線方程為y＝x－c.

M(x，y)＝＋

112211λ2(x2＋3y2)＋μ2(x2＋3y2)＋2λμ(xx＋3yy1122111122又1122x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32－9 ，故 例 差數(shù)列.lxyQ、PM、N合且滿足 解(1)又

a＝b＋c，∴a＝3.∴橢圓的方程為3＋y(2)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，由 由

1 PM＝λMQ知(x，y－m)＝λ(x－x，－yyy1同理由＝2 λ

得∴由題意知

且有 ③代入①t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由題意mt<0，∴mt＝－1，滿足②，lx＝ty＋1，過定點(1，0)Q為定點. 例 已知F是雙曲線4－12＝1的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則 解析F′F′坐標為(4，0) 答案點評“化曲為直”例4 已知平面內(nèi)一動點P到點F(1，0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于D，E，求→→的最小值解P的坐標為(x，y)，由題意有x－12＋y2－|x|＝1.化簡得y2＝2x＋2|x|.x≥0時，y2＝4xx<0PCy2＝4x(x≥0)y＝0l10kl1x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1＋x2＝24，x1x2＝l1⊥l2l2

→＝＝→ → k 21k k＝±1→→ By＝2x對稱？請說明理由.分析解aA，Bl：y＝2xA(x1，y1)，B(x2，y2)AB ， ， 依題設(shè) ，即 A，By＝ax＋1 由①②即

得∴x1＋x2＝2a 2a＝22解得222 a.例 在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限，半徑為22的圓與直線y＝x相切 (1)C(2)試探究圓C上是否存在異點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.Q的坐標；若不存在，請說明理由.分析Q存在，根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì)，求出QQQQ就不存在.解(1)由題意知圓心在y＝－x上，∴C的方程為 (2)橢圓a29＝1C10∴

C55

5

例 試問是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓3＋y＝1交于兩個不同的點分析l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識求解解設(shè)直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MNAP⊥MN即可3

得則 x1＋x2＝－

，y＝kx

＝－k(k≠0)，故 由，且 例 長為a的線段AB，兩端點分別在兩坐標軸上移動，求線段AB中點P的軌跡方程錯解如圖所示，設(shè)A(0，y)，B(x，0).由中點坐 可得P點坐標為x，y，連接

故 錯因分析錯因分析正解 x2＋y2＝14a例 A.橢圓B.圓C.直線D.錯解M錯因分析錯因分析在橢圓的定義中，點M到兩定點F1，F(xiàn)2|MF1|＋|MF2|>|F1F2|2a>2c.而本題中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|M的軌跡不是橢圓，F(xiàn)1F2.正解MF1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|M答案例 4錯解y＝mx2m≠0)4y＝13y＝－2故－m＝－2或－m＝4.∴m＝8 錯因分析錯因分析x2＝1y的形式，再求解mm正解y＝mx2(m≠0)x2＝1my＝－1.由題意知－1＝－2或－1＝4m＝1m＝－1 x2＝8y例 方形的邊長錯解∵ABy＝x－4平行，∴AB

2∵AB與直線y＝x－4間的距離為2 b＝2b＝6，∴|AB|＝32或|AB|＝5錯因分析錯因分析ABx2－x－b＝0Δ>0b的取舍正解∵ABy＝x－4平行，∴AB

2∵AB與直線y＝x－4間的距離為2 b＝2∴b＝2b＝6Δ>0，∴b＝2∴|AB|＝32或|AB|＝5例5 拋物線的焦點F在x軸上，點A(m，－3)在拋物線上，且|AF|＝5，求拋物線的標準方錯解一FxA(m，－3)2Ad2 或 y2＝2x錯解二FxA(m，－3)在拋物線上，所以當m>0時，點A在第四象限，拋物線方程可設(shè)為y2＝2px(p>0).2Ad2

解得

或

y2＝2xm<0A2Ad25－2p＝5＋345－2

p＝5－34，5＋25＋2

(舍去y2＝－2(5＋y2＝－2(5＋34)xy2＝2x錯因分析錯因分析當拋物線的焦點位置無法確定時，需分類討論正解FxA(m，－3)m>0Ay2＝2px(p>0)A到準線的距離為d，則2

或 y2＝2x2m<0Ay2＝－2px(p>0)，設(shè)A到準線的距離為d，則d＝|AF|＝p－m，2

解得 或 y2＝－2xy2＝－2xy2＝－18xy2＝2x 例 y＝－1解由

yx 4∵|AB|＝2 x1＋x22－4x1x2＝24即 2 16－48－2b＝2解得

b＝4a＝4b＝16.∴所求橢圓的方程為164 例 若點(x，y)在4＋b2＝1(b>0)上運動，求x＋2y的最大值

解4

4

當

4≤b0<b≤4時，若y＝4，則x＋2y44；當4>bb>4y＝bx2＋2y 綜上所述，

4＋4 x＋2y的最大值為 例 解·∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，∴|OR|2＝|OQ||OP|·cos cosαcosR由題意知 R

①②

x 2∵R(xR，yR)在橢圓2

＋

2x＝1上，Rx

2y y 由①③④∴Q2(x－1)2＋3y2＝2(x>0). 例 求與雙曲線4－y＝1有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程 分析由題意可設(shè)所求雙曲線