.中考射影定理及其運(yùn)用之歐陽道創(chuàng)編

歐陽道創(chuàng)編 歐陽道創(chuàng)編 2021.03.06歐陽道創(chuàng)編 歐陽道創(chuàng)編 2021.03.06相似三角形 射影定理的推廣及應(yīng)用□時間：2021.03.06創(chuàng)作：歐陽道射影定理是平面幾何中一個很重要的性質(zhì)定理，盡管義務(wù)教材中沒有列入，但在幾何證明及計算中應(yīng)用很廣泛，若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若將定理中的直角三角形條件非直角化，亦可得到類似的結(jié)論，而此結(jié)論又可作為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用，定會在幾何證明及計算“山窮水盡疑無路”時，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖（7）：^1△48c中，若，。為高，口則有CD2=8。?AD、口8C2=8D?48或1人C2二人。?48。1二、變式推廣口7、逆用 如圖。）：若△48c中,。。為高，且有。。2二8。?人?；蛉恕?二人。?48或8。2=8。?48,則有/。。8二/人或Z4Cfi=Z8,均可等到4人8。為直角三角形。口2、一般化，若△48。不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)。滿足一定條件時，類似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡

稱：射影定理變式（2））一點(diǎn)，若/CDB二NAC8,或/DCB二NA,則有4。。884A。8,可得8c2=8。?AB；反之，若△48。中，D為A8上一點(diǎn),且有BC2=BD?A8,則有4。。884A。8,可得到/CD8二/4。8,或/。。8二NA。口三、應(yīng)用如圖（2）：△48。中，D如圖（2）：△48。中，D為48上A圖C2)例7如圖（3）,已知：等腰三角形48C中，AB=AC.高｛/）、BE交于&H,求證：&DH?Z）人二8C2口分析：易證N84Z）=/C4Z）=9Oo-NC=/HBD,照想到射影定理變式（2）,可得8Z）2二Z）H?/）人，又BC=2BD,故有結(jié)論成立?？冢ㄗC明略）□例2如圖（4）：已知。。中，/）為弧AC中點(diǎn),過點(diǎn)。的弦8。被弦人。分為4和72兩部分，口求00。1分析：易得到NZ）8c=/48/）二NDCE,滿足射影定理變式（2）的條件，故有CD2=DE?DB,易求得Z）C=8口（解略）口例ABA于點(diǎn)H3已知：如圖（5）,△48C中，4Z）平分C,4D的垂直平分線交人8于皮E,夫人。例ABA于點(diǎn)H,交人。于點(diǎn)6,交8。的延長線于點(diǎn)「，口Afflf4J求證：Afflf4J證明：平分4Z）,口DF2=CF?8F。口連人F,ZFAb=AC,DF2=CF?8F?？谶B人F,ZFAb=AC,???/C4???人。平分/8BAb,???/F4D—/C人。=NFD人一284。，口???/B二NFbA—NBAb,口「.」FAC=NB,又NAFC公共，口AF CF:.XAFCsMBFA,：.bF二AF，口???AF2=CF?BF,；.DF2=CF?BF。射影定理練習(xí)【選擇題】1、已知直角三角形ABC中，斜邊AB=5cm,BC=2cm,D為AC上的一點(diǎn),DE1AB交△AB于￡,且AD=3.2cm,則DE=( )口A、1.24cm B、1.26cmC、1.28cm D、1.3cm2、如圖1-1,在RtABC中，CD是斜別AB上的高，在圖中六條線段中，你認(rèn)為只要知道()線段A的長，就可以求其他線段的長A、1 B、2 C、3D、43、在RtABC中，/BAC=90,AD1BC于點(diǎn)D,若AC_3BD_AB-4，貝則CD~( )口

3A、43A、44B、316C、了D、916]【填空題】5、5、ABC中，ZA=90,AD1BC于點(diǎn)D,AD=6BD=12,則寸CD=,AC=]△，AB2:AC2=。6、如圖2-1,在RtABC中，ZACB=90,CD1ABAC=6，AC=6，AD=3.6，則BC=]△【解答題】7、已知CD是ABC7、已知CD是ABC的高，DE1CA,DF1CB,如圖3-1，求證：CEFsCBA△已知ZCAB=△已知ZCAB=90,AD1CB,△△ACE,ABF是正三角形，求證：DE1DF[]10、如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DH1BM且與AC的延長線交于點(diǎn)E,求證：E,求證：（1）△AEDs△CBM；（2）AE?CMCM=AC?CD..11、已知：如圖，等腰△ABC中，AB=AC,AD1BC于口，過點(diǎn)B做射線BG,交AD、AC于E、F兩皮，與過皮C平行于AB的直線交于點(diǎn)G?？谇?/p>