2.狀態(tài)方程的解

現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 第二章狀態(tài)方程的解現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 第二章狀態(tài)方程的解ii現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 第二章狀態(tài)方程的解現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 第二章狀態(tài)方程的解#這種方法很適合計算機求（級數(shù)）數(shù)值解，由于-的存在，可以取到任意k!精度，但不易求解析解，只有在A是“冪零矩陣”的情況下才可求得解析解。冪零矩陣：存在某一正整數(shù)k，使得4=0稱為k次“冪零矩陣”。A為冪零矩陣的“充要條件”是A的所有特征值為零：AX=XA，特例：A為數(shù)字矩陣，P例2-1：A=31X)0003次“冪零矩陣”eAt=I+At+—A212=2!12/2(2)Laplace法求e^tCAt=L-1[(sI-A)-1]但當階數(shù)較高時，求解（sI-A）-1較困難。下面介紹法捷耶夫算法，給出遞推公式。(si-A)-1=(sI-A)b Bsn-1+Bsn-2+A+Bs+B計算順序是:nB=AB+a3 2nAB=0n+1sn+asn-1+A+a1-1tr(AB)k=1，2，AnkkB=AB+aIk=2,3,Ank-1 k-1na=-trA1I=A2+aA+aIna2 1 2 3 n~1 ns+an-1 n此時必有B =0n+1-1tr(AB)=-1tr(A2+aA)

2 2 2 -3tr(AB)=-3tr(A3+a1A2+a2A)注意：tr為矩陣之跡，即矩陣對角線元素之和；當BW0時，計算必有誤。n+1例2-2(P)已知A=32[0[0，求eAt=L-1[(sI-A)-1]。解：用法捷耶夫法計算（sI-A）-1=Bsn-1+Bsn-2+A+Bs+Bsn+asn-1+A+a1 n-1 ns+an-1 n=-tr(AB)=-tr(A)=01B=B=AB2 1——Jtr(AB)=-B=ABB=AB+aI=3 2 2=-3tr(AB)=0;B=AB+aI=0(sI-(sI-A)-1——<S3S21S21eat=L-i[(sI—A)-i]=L-iS211—1eat=L-i[(sI—A)-i]=L-iS211—122t1結(jié)果相同。(3)Cayley—Hamilton(凱萊―哈密爾頓)法求eAt將eAt展開成矩陣A的多項式，然后根據(jù)A的特征值情況求出展開系數(shù)。eAt=EB(t)Ak=B(t)I+B(t)A+A+B (t)An-1kk=0n-1i=0,1，A，n-1是待定系數(shù)，問題的關(guān)鍵是求出待定系數(shù)B(t)。(3a)先求出A的特征值，當A有n個不同特征值九，1k入，A，入情況下，可以用如下方法求展開系數(shù)B(t)keu=EB(t)Xkkik=0i=1，2，A，n寫成分列式：4e%te入2t=P(t)+XP(t)+A+入n-1B(t)1 n-1=P(t)+XB(t)+A+入n-1B (t)2 n-1M=B(t)+入B(t)+A+入n-1B(t)n n-1這里共有n個方程，可以唯一確定n個待定系數(shù)B(t)。k(3b)先求出A的特征值，當A有p個單特征值九，...，九，r個重特征值1 p入，…,p+1九，重數(shù)分別為m

p+r 1m，…,

2m情況下，可用如下方法求系數(shù)B(t)

r kp+m+m+...m=n

1 2 r不能求出待定系數(shù)P(t)。

k先固定一個m重特征值X,X滿足的方程p+m+m+...m=n

1 2 r不能求出待定系數(shù)P(t)。

k先固定一個m重特征值X,X滿足的方程eX/j求m-1次導(dǎo)數(shù)得到j(luò)-萬P(t)Xk有一個，再對Xkj jk=0m-1個方程，這樣一共得到m個獨立的方程，(必須先求jj對九求導(dǎo)，再代入人的值)這樣又可以唯一的求出待定系數(shù)p(t)。j例2-3(P7)A=j心12、1 2，求eAt解：先求A的特征值及I-A=九-11入+2+2九+1=(入+1)2=0，九=-11，20

de%t_d

d九 d九nP(t)-P(t)=e一-11 0 1[p(t)+Xp(t)]np(t)=te入/nP(t)—(1+1)e-10nP(t)—te-1111eAt-p(t)I+P(t)A-(0e-t+e-t==(1+1l-tI-t647P48 6 44%1448 6 4470 48X...X ,X...X ，…，X... X ,1 p p+1 p+1 p+r p+r對單根情況，按(3a)方法求解待定系數(shù)P(t)。k但在重根情況下，我們不能得到相應(yīng)個數(shù)的獨立方程(4)特征值與特征向量法求eAt(略，自己看書)t>t的解為02.1.4線性、定常、連續(xù)、非齊次(u(tt>t的解為0前面已經(jīng)求出齊次方程或t)=A-x(t)，x(t)=x0 0kxX0,、 ^Ak(t-1kxX0x(t)=eA(t-10)x-乙 0 J0k!k-0 對非齊次狀態(tài)方程：陽)=Ax(t)+Bu(t)，x(t)=x將上述狀態(tài)方程左乘e-將上述狀態(tài)方程左乘e-Ate-At漢t)=e-AtAx(t)+e-AtBu(t)移項得 e-AtBu(t)=e-At^(t)-e-AtAx(t)=e-At?°x(t)+&"'.x(t)=—[e-Atx(t)] dtdt dt積分、移項并左乘eAt，得非齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=eA(t-10)x+JteA(t-t)Bu(T)de 0 -0 物理意義：自由系統(tǒng)(只有初條件作用)的解+強迫項u(t)作用的解。PP(2-17)勘正為x(t)=4637x,倒數(shù)第3行勘正為e-Atx(t)-0e-Atx-...0P例382-5I-1)2)x1x2求輸入u=2，初態(tài)x(0)

1x(0)2時的y(t)。書上的解錯了解：根據(jù)P例2-4知A二37(01 12I1 2(1+1，eAt=I-te-1這是給定系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)t=0初條件情況下，求解系統(tǒng)的輸出問題。B=(1-1)>C=(12)0x(t)=eAtx+JeA(t-t)Bu(t)dt00I-t1—t](21tt1-t(--T)[-I-t1—t](21tt1-t(--T)[-:e-(t-t)?2dte-t+2(y(t)=(12)二—(2—e-t)作業(yè)2-1.驗證x1x211](2—e-1)滿足狀態(tài)方程—1—2I1NI-1Ju=2，并且滿足初條件x(0)

1x(0)

2線性、時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解在線性定常(齊次)連續(xù)系統(tǒng)中，其解可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eA(t-t。)求出:x(t)=eA(t-10)x。同理，在線性時變(齊次)連續(xù)系統(tǒng)中，其解可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩0陣①(t,t)(參見圖2-2)求出：x(t)=①。,t)xx的解為0定理2-3(P)n階線性時變連續(xù)齊次方程或t)=A(t)x(t),x的解為038x(t)=@(t,t)x，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣①(t,t)滿足嫉;t,t)=A(t)?①(t,t)，①(t,t)=I。00這實際上并沒有解決，因為求解“矩陣微分方程”與求解“原狀態(tài)方程”同樣困難。特例：在定常連續(xù)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移矩陣0(t,t)二e!AdT=eA(t-t0)，但對于時變系統(tǒng),0狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣①(t,t)不一定能寫成0(t,t)=eJ；04T)dT形式。補充定理：只有當A(t)與JtA(T)dT可交換時，①(t,t)才可以如下求得ftA(t)dtt0=￡—[ftA(t)dt]k=I+[ftA(t)dtt0=￡—[ftA(t)dt]k=I+[k一k=0t0t01A(t)dT+[「A(t)dt]2+A

2T0圖2-3狀態(tài)的傳遞性P39圖2-2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的作用P39狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0(t,t)的性質(zhì)：0*傳遞性:①(t,t)?①(t,t)=0(t,t)；(參見圖2-3)21 1020*可逆性：①-I(t,t)=0(t,t)，時間反演!*設(shè)xt)=A(t)x(t)的n個線性無關(guān)解為x1(t)，x2(t)，A，xn(t)，其中每一個都是n維列向量(nx1)。用他們組成的矩陣稱為狀態(tài)方程的基本矩陣即基本矩陣為：X(t)=[X1(t)AXn(t)]=(x1(t)Ax1n(t)'

MOMx1(t)Axn(t)則有0(t,t)=X(t)X-1(t),即“轉(zhuǎn)移矩陣”可以用“基本矩陣”表示出來。所以，問題轉(zhuǎn)化為如何求出n個線性無關(guān)向量解x1(t)，x2(t)，A，xn(t)。然而，求出方程x(t)=A(t)x(t)的n個線性無關(guān)解x1(t)，x2(t)，A，xn(t)并非易事。定理2-4(P)n階線性、時變連續(xù)、非齊次方程或t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，40 x(t)=x(t>t)解的形式為x(t)=0(t,t)x+Jt0(t,t)B(t)u(t)dt，一般時變00 00 0 t0系統(tǒng)的狀態(tài)方程沒有解析解。P例2-6P例2-6狀態(tài)方程為40(1J(u(t)，初始條件為x(t)

10X(t)

20X(t)

1X(t)2解：JtA(t)dt=JJr0010 1X(t)

1X(t)2解：JtA(t)dt=JJr0010 101T0Jr0滿足交換條件：A(t).JtA(t)dt=JtA(t)dt.A(t)，[JJA(t)dt]2=0t0即JJA(t)dt為2次冪零矩陣。t0①(t,t)=I+JtA(t)dt=

0 t0r1011+-1r2it2-t02x(t)=①(t,t)x+Jt①(t,t)B(t)u(t)dt=①(t,1)X+Jt①(t,t)B(t)u(t)dt0丫1)21t2-12Ji2J21t2t22J11J3113+3t+2JX(t)1X(t)

—1 作業(yè)2-2驗證解X(t)

1X(t)23113+3t+2J確實是輸入u(t)=1時的狀態(tài)方程u(t)，同時滿足初條件X(t)

10

X(t)

20作業(yè)2-3狀態(tài)方程為JiX2Ju(t)，初始條件為X(t)

10

X(t)

20求u(t)=1，t>1時的X(t)

1X(t)2離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解對線性定常離散系統(tǒng)x[k+1]=Fx[k]+Gu[k]x[0]=x，物理意義是：系統(tǒng)0第k+1個采樣時刻的狀態(tài)X[k+1]由系統(tǒng)第k個采樣時刻的狀態(tài)X[k]和第k個采樣時刻的輸入u[k]決定，而與系統(tǒng)的“當前”輸入u[k+1]無關(guān)。其求解可采用遞推法和Z變換法。2.3.1遞推法x[0]=x0

x[1]=取[0]+Gu[0]只與u[1]以前的輸入有關(guān)；x[2]=Fx[1]+Gu[1]=F2x[0]+FGu[0]+Gu[1]只與u[2]以前的輸入有關(guān)；x[3]=Fx[2]+Gu[2]=F3x[0]+F2Gu[0]+FGu[1]+Gu[2]只與u[3]以前的有關(guān);...x[k]=Fkx[0]+Fk-1Gu[0]+A+Gu[k-1]=Fkx[0]+ZF-Gu[i]i=0=Fkx[0]+2FjGu[k-j-1]三Fkx[0]+(Fk-1GA G)(u[0]Au[k-1]) Tfu[0]]fu[0]]u[1]MLu[k-1]J=-[Fk-1G...FGG]-1Fkx[0]j=0求解對系統(tǒng)施加第k步使其達到x[k]=0的輸入：例如：u[0]=-G-1Fx[0]；(u[0])=-[FGG]-1F2x[0(u[0])=-[FGG]-1F2x[0][u[1]J2.3.2z變換法(頻域解法)對n階線性定常離散系統(tǒng)x[k+1]=Fx[k]+Gu[k]，x[0]=x作Z變換(Z，0Z-1滿足線性迭加) ZX[z]-療[0]=FX[z]+GU[z]移項：(Z-F)X[z]=zx[0]+GU[z]nX[z]=(Z-F)-1zx[0]+(zI-F)-1GU[z]x[k]=Z-1[(zI-F)-1z]x[0]+Z-1[(zI-F)-1GU[z]]=Z-1[zI-F)-1[療+GU[z]]}0定理2-4(P)n階線性定常離散系統(tǒng)x[k+1]=Fx[k]+Gu[k]，x[0]=x的解為42 0x[k]=Fkx[0]+(Fk-1G...G)(u[0]…u[k-1])=Z-1{(zI-F)-1[zx+GU[z]]}T 0討論：(1)與連續(xù)系統(tǒng)比較有①(k)=Fk=Z-1[(zI-F)-1z]為離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)移矩陣，且滿足①(k+1)=F①(k)，①(0)=I(2)從遞推法所得表達式知，k時刻的狀態(tài)x[k]只與k時刻前的輸入u[0]、u[1]、…、u[k-1]有關(guān)，而與k時刻的輸入u[k]無關(guān)。用遞推法所得表達式求解一般是很困難的，故沒有實際意義，但有理論研究意義。P例2-742(xP例2-742(x[k+1]]1[x[k+1]J2x[k]1x[k]2V1Jx(0)=fx1[0]]Ix2[0]J=F求u[k]=1,k=0,1…時的(x[k]x[k])解：可以Z變換法(頻域解法)求解TZ變換公式：Z[ak]——z-Z[(-a)k]=—(a豐0)az—(a中0)zZ-1[]—ak(a中0)Z-i[az——]—(-a)kU(z)—Z[u[k]]—Z[1]—Z[1k]— (a―1)z-1-i0.16z+1Jdet(zI-F) z2+z+0.16 (z+0.2)(z+0.8