聚焦中考第二章6節(jié)

人教數(shù)學(xué)第二章方程與不等式第6講一次方程與方程組要點(diǎn)梳理

1．定義(1)含有未知數(shù)的

叫做方程；(2)只含有

未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是

，這樣的整式方程叫做一元一次方程；(3)含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做二元一次方程．(4)將兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程聯(lián)立在一起，就構(gòu)成了一個(gè)方程組．如果方程組中含有

，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是

，這樣的方程組叫做二元一次方程組．等式一個(gè)一次兩個(gè)未知數(shù)一次要點(diǎn)梳理

2．方程的解(1)能夠使方程左右兩邊

未知數(shù)的值，叫做方程的解．求方程解的過(guò)程叫做解方程．(2)二元一次方程的解：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值．(3)二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解．相等的要點(diǎn)梳理

3．解法(1)解一元一次方程主要有以下步驟：；；；_

；未知數(shù)的系數(shù)化為1.(2)解二元一次方程組的基本思想是

，有

與

．即把多元方程通過(guò)、、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來(lái)解．去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)消元代入消元法加減消元法加減代入一個(gè)防范在解一元一次方程時(shí)，經(jīng)常用到兩個(gè)相乘：一是去分母時(shí)，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)；二是將分母化為整數(shù)時(shí)，把分母、分子同乘以10n.這兩個(gè)“同乘以”有著本質(zhì)的區(qū)別，一個(gè)用的是等式的性質(zhì)，一個(gè)用的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，兩者不可混淆．一個(gè)思想化歸思想，解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即化“二元”為“一元”，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的化歸思想，具體地說(shuō)，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題”，本部分的二元一次方程組問(wèn)題一般通過(guò)“消元”轉(zhuǎn)化為一元一次方程問(wèn)題解決．兩個(gè)方法(1)代入消元法；(2)加減消元法．1．(2014·咸寧)若代數(shù)式x＋4的值是2，則x等于()A．2

B．－2

C．6

D．－6B2．(2014·無(wú)錫)某文具店一支鉛筆的售價(jià)為1.2元，一支圓珠筆的售價(jià)為2元．該店在六一兒童節(jié)舉行文具優(yōu)惠售賣(mài)活動(dòng)，鉛筆按原價(jià)打8折出售，圓珠筆按原價(jià)打9折出售，結(jié)果兩種筆共賣(mài)出60支，賣(mài)得金額87元．若設(shè)鉛筆賣(mài)出x支，則依題意可列得的一元一次方程為()A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87B3．(2014·撫州)已知a，b滿足方程組?íì2a－b＝2，a＋2b＝6，則3a＋b的值為(

)

A．8

B．4

C．－4

D．－8

4．(2014·襄陽(yáng))若方程mx＋ny＝6的兩個(gè)解是?íìx＝1，y＝1，?íìx＝2，y＝－1，則m，n的值為(

)

A．4，2

B．2，4

C．－4，－2

D．－2，－4

AA5．(2014·紹興)如圖①，天平呈平衡狀態(tài)，其中左側(cè)秤盤(pán)中有一袋玻璃球，右側(cè)秤盤(pán)中也有一袋玻璃球，還有2個(gè)各20克的砝碼．現(xiàn)將左側(cè)袋中一顆玻璃球移至右側(cè)秤盤(pán)，并拿走右側(cè)秤盤(pán)的1個(gè)砝碼后，天平仍呈平衡狀態(tài)，如圖②，則被移動(dòng)的玻璃球的質(zhì)量為()A．10克B．15克C．20克D．25克A一元一次方程的解法

【例1】

解下列方程：

(1)12x－45＝710；

(2)x－x－12＝2－x＋23；

解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3(2)6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4，5x＝5，∴x＝1(3)7x－12[x－12(x－1)]＝23(x－1)；

(4)3[2x－1－3(2x－1)]＝5.

【點(diǎn)評(píng)】

(1)去括號(hào)可用分配律，注意符號(hào)，勿漏乘；含有多重括號(hào)的，按去括號(hào)法則逐層去括號(hào)；(2)去分母，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)(特別是常數(shù)項(xiàng))，若分子是多項(xiàng)式，則要把它看成一個(gè)整體加上括號(hào)；(3)解方程后要代回去檢驗(yàn)解是否正確；(4)當(dāng)遇到方程中反復(fù)出現(xiàn)相同的部分時(shí)，可以將這個(gè)相同部分看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)便．1．解方程：

(1)3－57x＝135；

(2)2x－16＝5x＋18；

(3)x＋24＝2x－36＋1.

(2)4(2x－1)＝3(5x＋1)，8x－4＝15x＋3，－7x＝7，∴x＝－1(3)3(x＋2)＝2(2x－3)＋12，3x－4x＝－6＋12－6，－x＝0，∴x＝0二元一次方程(組)的解法【例2】(1)方程x＋2y＝5的正整數(shù)解有(

B

)

A．一組

B．二組

C．三組

D．四組

(2)(2014·威海)解方程組：??í?ì3x－5y＝3，x2－y3＝1.

【點(diǎn)評(píng)】

(1)解二元一次方程組的方法要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇，當(dāng)方程組中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值是1或一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，用代入法較方便；當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成整數(shù)倍時(shí)，用加減法較方便；當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值不相等，且不成整數(shù)倍時(shí)，把一個(gè)(或兩個(gè))方程的兩邊同乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，仍然選用加減法比較簡(jiǎn)便；(2)用加減消元法時(shí)，選擇方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元，這樣會(huì)使運(yùn)算量較小，提高準(zhǔn)確率．2．解方程組：

(1)(2012·廣東)?íìx－y＝4，①3x＋y＝16；②

(2)???í??ì718（x＋y）＝1，①34x＋79（x＋y）＝5；②

(3)1－6x＝3y－x2＝x＋2y3.

已知方程(組)解的特征，求待定系數(shù)【例3】

(1)若關(guān)于x，y的二元一次方程組?íìx＋y＝5k，x－y＝9k的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值是(

)

A．－34

B.34

C.43

D．－43

B(2)已知方程組?íì2x－3y＝3，ax＋by＝－1與?íì3x＋2y＝11，2ax＋3by＝3的解相同，求a，b的值．

【點(diǎn)評(píng)】

(1)先將待定系數(shù)看成已知數(shù)，解這個(gè)方程組，再將求得的含待定系數(shù)的解代入方程中，便轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程；(2)幾個(gè)方程(組)同解，可選擇兩個(gè)含已知系數(shù)的組成二元一次方程組求得未知數(shù)的解，然后將方程組的解代入含待定系數(shù)的另外的方程(或方程組)，解方程即可．3．(1)已知方程組?íì2x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2的解x，y的和為12，求n的值；

(2)當(dāng)m取什么值時(shí)，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解；

(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解．

解：(1)解方程組??í?ì2x＋3y＝n，①3x＋5y＝n＋2，②得??í?ìx＝2n－6，y＝－n＋4.又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14

(2)∵??í?ìx＋2y＝2，2x＋y＝7，∴??í?ìx＝4，y＝－1.代入mx－y＝0，得4m＋1＝0，

m＝－14

(3)解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，∴??í?ìx＝3y＝－1

解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，∴??í?ìx＋y－2＝0，x－2y－5＝0，解得??í?ìx＝3y＝－1

試題

已知方程組??í?ì4x－y＋3z＝0，2x＋y＋6z＝0，且xyz≠0，求x∶y∶z的值．

審題視角

在一個(gè)方程組中，當(dāng)方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，一般情況下是不能確定求出未知數(shù)的具體數(shù)值的．方程組??í?ì4x－y＋3z＝0，2x＋y＋6z＝0中有兩個(gè)三元一次方程一般不能得到確定解．要求三個(gè)元的比值可分別從求三個(gè)元中兩兩之間的關(guān)系入手，或抓住方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)少1這個(gè)難點(diǎn)，設(shè)法轉(zhuǎn)化為二元一次方程組．

規(guī)范答題

解法一：將z視為字母系數(shù)，原方程組化為?íì4x－y＝－3z，2x＋y＝－6z.解這個(gè)“二元”一次方程組，得??í?ìx＝－32z，y＝－3z.因z不為零，所以x∶y∶z＝(－32z)∶(－3z)∶z＝(－32)∶(－3)∶1＝3∶6∶(－2)．

解法二：?íì4x－y＋3z＝0，①2x＋y＋6z＝0，②

①×2－②，得6x－3y＝0.

因x，y不為零，可得x∶y＝1∶2，

仿此消去x，得y∶z＝3∶(－1)．

利用比例性質(zhì)：x∶y＝1∶2＝3∶6，

y∶z＝3∶(－1)＝6∶(－2)，

所以x∶y∶z＝3∶6∶(－2)．

答題思路第一步：通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，把其中某一個(gè)字母視為字母系數(shù)，把問(wèn)題歸結(jié)為能解決的問(wèn)題——二元一次方程組；第二步：用代入法或加減法解這個(gè)“二元”一次方程組，也就是用其中同一個(gè)字母來(lái)表示另外兩個(gè)字母；第三步：求這些字母的比值；第四步：反思回顧