奧數(shù)長方體和正方體

長方體和正方體習(xí)題六年級奧數(shù)上冊：第五講長方體和正方體習(xí)題解答

28.正方體的展開圖把一個(gè)正方體的各面展開放在桌面上，下圖就是正方體的一個(gè)展開圖形，試問，一個(gè)正方體有幾種展開圖。28.正方體的展開圖共有11種：把四個(gè)面排成一排的有6種29.長方體的體積阿強(qiáng)做一道求長方體體積的數(shù)學(xué)題。當(dāng)他算完長乘以寬以后，發(fā)現(xiàn)寬厚30.長方體和正方體一個(gè)棱長5厘米的立方體是由棱長1厘米的小立方體若干個(gè)堆砌而成的。①如果小立方體增加3個(gè)，可以堆砌出多少種長、寬、高都不相同的長方體？②如果小立方體減少5個(gè)，可以堆砌出多少種長、寬、高都不相同的長方體？30.長方體和正方體解：5×5×5=125125＋3＝128＝27×1125-5＝120＝23×31×51×1根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，128有（7＋1）＝8個(gè)約數(shù)它們是1，2，4，8，16，2，64，128。120有（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）=16個(gè)約數(shù)，它們是：1，，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個(gè)水池的水面分別升高了4厘米和11厘米．如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積．沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：3×3×＝立方米，2×2×＝立方米．它們的和是：＋＝立方米．把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應(yīng)當(dāng)是立方米，而大池的底面面積是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：六年級奧數(shù)上冊：第五講長方體和正方體習(xí)題六年級奧數(shù)上冊：第五講長方體和正方體習(xí)題解答

第五講長方體和正方體長方體和正方體在立體圖形中是較為簡單的，也是我們較為熟悉的立體圖形．如下圖，長方體共有六個(gè)面（每個(gè)面都是長方形），八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱。在六個(gè)面中，兩個(gè)對面是全等的，即三組對面兩兩全等（疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形．兩個(gè)全等圖形的面積相等，對應(yīng)邊也相等）．長方體的表面積和體積的計(jì)算公式是：長方體的表面積：S長方體＝2（ab＋bc＋ac）；長方體的體積：V長方體＝abc．正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形．如果它的棱長為a，那么：=6，=例1有一個(gè)長方體，它的底面是一個(gè)正方形，它的表面積是190平方厘米，如果用一個(gè)平行于底面的平面將它截成兩個(gè)長方體，則兩個(gè)長方體表面積的和為240平方厘米，求原來長方體的體積．解：設(shè)原來長方體的底面邊長為a厘米，高為h厘米，則它被截成兩個(gè)長方體后，兩個(gè)截面的面積和為2平方厘米，而這也就是原長方體被截成兩個(gè)長方體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數(shù)值，因此，根據(jù)題意有：190＋2＝240，可知，＝25，故a＝5（厘米）．又因?yàn)?＋4ah＝190，解得=7（厘米）所以，原來長方體的體積為：V＝h＝25×7＝175（立方厘米）．例2如下圖，一個(gè)邊長為3a厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)截口是邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）．如果這個(gè)鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口的邊長。解：原來正方體的表面積為：6×3a×3a＝6×9（平方厘米）．六個(gè)邊長為a的小正方形的面積為：6×a×a＝6（平方厘米）；挖成的每個(gè)長方體空洞的側(cè)面積為：3a×a×4＝12（平方厘米）；三個(gè)長方體空洞重疊部分的校長為a的小正方體空洞的表面積為：a×a×4＝4（平方厘米）．根據(jù)題意：6×9－6＋3（12－4）＝2592，化簡得：54－6＋24＝2592，解得＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的邊長為6厘米．例3有一些相同尺寸的正方體積木，準(zhǔn)備在積木的各面上粘貼游戲所需的字母和數(shù)目字．但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請你想辦法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和增加一倍。解：把每一塊積木鋸三次，鋸成8塊小立方體（如上圖）．這樣，每鋸一次便得到兩個(gè)大截面，使表面積增加（倍），鋸三次使截面增加3×=1（倍），因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍。例4有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個(gè)水池的水面分別升高了4厘米和11厘米．如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積。沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：3×3×＝立方米，2×2×＝立方米．它們的和是：＋＝立方米．把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應(yīng)當(dāng)是立方米，而大池的底面面積是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：÷16=5（厘米）例5下圖是正方體的展開圖之一，當(dāng)用它組成立方體時(shí)，圖中的哪一邊與帶★記號的邊相接觸呢？解：對于這個(gè)問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊的連接會更簡潔：首先☆和G連接，其次H和I連接，且X、Y、Z三點(diǎn)重合為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，因此與★連接的是K邊．例6下圖是正方體的11種展開圖和2種偽裝圖（即它們不是正方體的展開圖）．請你指出偽裝圖是哪兩個(gè)？解：無論哪一個(gè)圖中都有六個(gè)小正方形，都好像有道理，但當(dāng)我們把相鄰兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是（10）和（12），這兩個(gè)圖形，都是有五面在拼合時(shí)不成問題，但是最后一面總是擠在外面而成不了正方體．例7如下面的各圖中均有若干個(gè)六面體，每小題圖中的幾個(gè)六面體上A、B、C、D、E、F六個(gè)字母的排列順序完全相同（即每個(gè)小題中六面體上刻字母的方式是完全一樣的）試判斷各小題的圖中A、B、C三個(gè)字母的對面依次是哪幾個(gè)字母？解：（1）由圖中可知，A與B、C、E、F都相鄰，故A的對面是D。E、F的位置可按右手關(guān)系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指方向從A轉(zhuǎn)動(dòng)而指向F，此時(shí)大拇指正好指向E（向上）。如果，判斷為F在C對面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從A向F，此時(shí)大拇指指向B，與（1）中右圖矛盾，故F在B的對面，E在C的對面。（2）～（6）按A、B、C順序給出對面的字母：（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；（5）E、D、F；（6）F、E、D．例8有一塊正方體的蛋糕．用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六邊形，應(yīng)該怎樣切呢？解：一般地，按照平常習(xí)慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方形或者像（2）、（3）那樣的長方形．如果斜切下去時(shí)樣子就不一樣了，比如像（4）那樣，以打算切的頂點(diǎn)作一方，將不相鄰的某一邊的中點(diǎn)作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形．如果再進(jìn)一步，連接相鄰邊的中點(diǎn)，沿著它的連線來切，如上圖中（5）所示，因?yàn)榍锌诘母鬟叾际沁B接邊和邊的中點(diǎn)的直線，所以長度都相等，相鄰邊夾角也相等，邊數(shù)是六，故是正六邊形。

習(xí)題五一、填空題：1．一塊矩形紙板，長8厘米，寬6厘米，把它折成底面為正方形的長方體的側(cè)面，則這個(gè)長方體的底面面積為______平方厘米．2．有一個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長是2厘米的正方體若干塊，表面積增加了______平方厘米．3．把一根2米長的方木鋸成兩段，表面積增加288平方厘米，原來這根方木的體積是______立方厘米．4．把棱長為a厘米的兩個(gè)正方體拼成一個(gè)長方體，長方體的表面積是5．把棱長1厘米的正方體2100個(gè)，堆成一個(gè)實(shí)心的長方體，它的高是10厘米，長和寬都大于高，這個(gè)長方體的長與寬的和是______厘米．二、選擇題：1．一個(gè)正方體的體積是343立方厘米，它的全面積是__平方厘米．（A）42（B）196（C）294（D）3922．把棱長為3分米的正方體鋸成兩個(gè)長方體，這兩個(gè)長方體表面積的和是______平方分米．（A）54（B）72（C）108（D）以上都不對3．如下圖，一個(gè)木制的正方體的棱長為2分米，每個(gè)面的正中有一個(gè)正方形的孔通到對邊，邊長為1分米，孔的各棱平行于正方體相對的棱，那么這個(gè)鏤空幾何體的總表面積的平方分米數(shù)是____．（A）24（B）30（C）36（D）424．如下頁圖立方體的每個(gè)角都被切下去（圖中僅畫了兩個(gè)）．問所得到的幾何體有__條棱？（A）24（B）30（C）36（D）425．立方體各面上的數(shù)字是連續(xù)的整數(shù)（如圖）．如果每對對面上的兩個(gè)數(shù)的和相等，那么，這三對數(shù)的和是______。（A）75（B）76（C）78（D）81三、解答題：1．一個(gè)木盒從外面量長10厘米，寬8厘米，高5厘米，木板厚1厘米．問①做這個(gè)木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？②這個(gè)木盒的容積是多少立方厘米？2．將一個(gè)長9厘米，寬8厘米，高3厘米的長方體木塊鋸成若干個(gè)小正方體（鋸痕寬度忽略不計(jì)），然后再拼成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的表面積．3．一個(gè)邊長為6厘米的正方體鐵盒裝滿了水，將水倒入一個(gè)長9厘米，寬8厘米的長方形水槽內(nèi)，若鐵皮厚度不計(jì)，求水深．4．把19個(gè)邊長為2厘米的正方體重疊起來，作成如下圖那樣的組合形體，求這個(gè)組合形體的表面積．5．將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗）．求這個(gè)大正方體的體積和表面積．6．用字母標(biāo)出一個(gè)正方體的各面，下圖中是三個(gè)不同方位的這一個(gè)正方體，問字母A、B、C的對面是什么字母？7．下圖是一個(gè)正方體及其兩個(gè)展開圖．這個(gè)正方體還有九種不同的展開圖（下圖），請把這九個(gè)展開圖填上相應(yīng)的數(shù)字（注意數(shù)字的方向）．8．下左圖中的立方體，被兩個(gè)平面所截，你能在這個(gè)正方體的展開圖中畫出相應(yīng)的截線嗎？（下右圖）9．在下頁圖所示的12個(gè)展開圖中，哪些可以做成沒有頂蓋的五個(gè)面的小方盒？10．下頁圖是一張3×5的方格紙，在保持每個(gè)方格完整的條件下，將它剪成三部分，使每部分都可以折成一個(gè)棱長為1的沒有頂蓋的小方盒，怎樣剪？1、一個(gè)長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個(gè)正方體，表面積減少了120平方厘米，原來長方體的體積是（）立方厘米．

2、（1）有一個(gè)正方體，如果高增加4cm，就成為一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積正好比原正方體的表面積增加80平方cm，求原正方體的體積。（2）一個(gè)長方體的高如果增加2cm，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)表面積就比原來增加了48平方cm。原來長方體的體積是多少？

3、一個(gè)長方體的各條棱長的和是48厘米，并且它的長是寬的2倍，高與寬相等，那么這個(gè)長方體的體積是______立方厘米．

4、一個(gè)長方體的表面積是平方分米，其中一個(gè)面的長是分米，寬是分米，它的體積是_____立方分米.（結(jié)果以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)）

5、在棱長為3cm的正方體木塊的每個(gè)面的中心上打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1cm的正方形，求挖洞后木塊的體積。

6、如果從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器．這個(gè)容器的體積是多少立方厘米?

7、一個(gè)長方體的棱長總和是48cm，己知長是寬的倍，寬是高的2倍，求它的體積。

8、一個(gè)正方體木塊的表面積是96平方cm，把它鋸成體積相等的8個(gè)正方體小木塊，每個(gè)小木塊的表面積是多少？六年級奧數(shù)題及答案

1、解答：所成立方體的棱長為：120÷(3+2)÷4=6(厘米)，所以原長方體的體積為：6×6×(6+3+2)=396(立方厘米)。

2、（1）解答：設(shè)原正方體的邊長為A，根據(jù)題意得：4x4*A=80，解得：A=5，所以原體積為A*A*A=125立方厘米。（2）解：設(shè)成了正方體后的棱長為A；則原來的長方體的高為A-2，長為A，寬為A。根據(jù)題意6*A*A－[4*（A-2）*A+2*A*A]=48解得：A=6（或者這樣理解：增加的表面積為四個(gè)側(cè)面的，所以四個(gè)增加的側(cè)面積為：4x2xA=48，所以A=6）所以原長方體的長為6，寬為6，高為6-2=4，所以體積為6x6x4=144立方厘米。

3、解答：依題意，這個(gè)長方體的長、寬、高之和是48÷4=12(厘米)，于是它的寬與高都等于12÷(2+1+1)=3(厘米)，它的長是3×2=6厘米．所以這個(gè)長方體的體積是6×3×3=54(立方厘米)．

4、解答：長方體的高是：30/11(分米)，長方體的體積是××=(立方分米)．

5、解答：33-12×3×3+2×13=20cm3。

6、解答：容器的底面積是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高為2厘米，所以容器的體積是：45×2=90(立方厘米)。

7、解答：設(shè)高為A，所以寬為2A，長是*2A=3A根據(jù)題意可得：4x（A+2A+3A）=48，得：A=2，所以，高=A=2，寬=2A=4，長=3A=6所以原體積為：2*4*6=48立方厘米。

8、解答：設(shè)原正方體的棱長為A，所以得：6xAxA=96

，解得A=4厘米，所以棱長為4厘米。則體積為4x4x4=64立方厘米。鋸成了8個(gè)相等的體積后，每個(gè)為64/8=8立方厘米。設(shè)小正方體的棱長為B，所以BxBxB=8，解得：B=2厘米。所以每個(gè)小方體的表面積為：6xAxA=6x2x2=24平方厘米。此類題目的關(guān)鍵抓住底面積不變，變的只是四個(gè)側(cè)面）1.在平行四邊形ABCD中，三角形AOD的面積為12平方厘米，三角形BOC的面積是平行四邊形面積的1/5，求平行四邊形的面積．

考點(diǎn)：平行四邊形的面積．分析：根據(jù)題意可知，三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四邊形ABCD的高，三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形的面積的一半，所以可用1/2平行四邊形的面積減去1/5平行四邊形的面積等于三角形AOD的面積，列式解答即可得到答案．

解答：解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積為x平方厘米，

答：平行四邊的面積是40平方厘米．

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四邊形ABCD的高確定三角形BOC和三角形AOD的面積等于平行四邊形ABCD的面積的一半，然后再列式計(jì)算即可．長方形ABCD的邊上有兩點(diǎn)E．F，線段AF、BF、CE、BE把長方形分成若干塊，其中三個(gè)小木塊的面積標(biāo)注在圖上，陰影部分的面積是多少平方米？

考點(diǎn)：組合圖形的面積．

分析：所求的影陰部分，恰好是三角形ABF與三角形CBE的公共部分，而S1，S2，S3這三塊是長方形中沒有被三角形ABF與三角形CBE蓋住的部分．因此，△ABF面積+△CBE面積+（S1+S2+S3）=長方形面積+陰影部分面積．而△ABF的底是長方形的長，高是長方形的寬；△CBE的底是長方形的寬，高是長方形的長．因此，三角形ABF面積與三角形CBE面積，都是長方形面積的一半．

解答：解：設(shè)長方形的面積為S，則S△CBE=S△ABF=(1/2)S，

由圖形可知，S+S陰影=S△CBE+S△ABF+15+46+36，

S陰影=(1/2)S+(1/