全國通用版講義第二章 點直線平面之間的位置關(guān)系滾動訓(xùn)練三

滾動訓(xùn)練三(§2.2～§2.3)一、選擇題1．下列命題正確的是()A．兩兩相交的三條直線可確定一個平面B．兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行C．過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行D．和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線考點異面直線的判定題點異面直線的判定答案C解析對于A，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故A錯誤；對于B，兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故B錯誤；對于C，過平面外一點的直線一定在平面外，且直線與這個平面相交或平行，故C正確；對于D，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或共面直線，故D錯誤．故選C.2．設(shè)X，Y，Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是()①X，Y，Z是直線；②X，Y是直線，Z是平面；③Z是直線，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．A．①②B．①③C．③④D．②③考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的判定答案D解析對于①X，Y，Z是直線，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命題，如正方體共頂點的三條棱：對于②X，Y是直線，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命題，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；③Z是直線，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命題，根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，故正確；④X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命題，如正方體共頂點的三個面．故選D.3．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m?α，α⊥β，則m⊥βB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m⊥β，則m∥αD．若m⊥α，m∥β，則α⊥β考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的判定答案D解析由m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，知在A中，若m?α，α⊥β，則m與β相交、平行或m?β，故A錯誤；在B中，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α與β相交或平行，故B錯；在C中，若α⊥β，m⊥β，則m∥α或m?α，故C錯誤；在D中，若m⊥α，m∥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．4．正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，E為側(cè)棱PC的中點，則PA與BE所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°考點異面直線所成的角題點求異面直線所成的角答案B解析過頂點作垂線，交底面于正方形對角線交點O，連接OE，∵正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，∴PO＝eq\f(\r(2),2)，AB＝eq\r(3)，AC＝eq\r(6)，PA＝eq\r(2)，OB＝eq\f(\r(6),2)，∵OE與PA在同一平面，是△PAC的中位線，∴OE∥PA且OE＝eq\f(1,2)PA，∴∠OEB即為PA與BE所成的角，OE＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△OEB中，tan∠OEB＝eq\f(OB,OE)＝eq\r(3)，∴∠OEB＝60°.故選B.5．如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直線B1D1與BC所成的角為45°.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的判定答案A解析在①中，由正方體的性質(zhì)得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正確；在②中，由正方體的性質(zhì)得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正確；在③中，由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1內(nèi)的兩條相交直線，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正確；在④中，異面直線B1D1與BC所成的角就是直線BC與BD所成的角，故∠CBD為異面直線B1D1與BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直線B1D1與BC所成的角為45°，故④正確．故選A.6．三棱錐P－ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，平面PAB⊥平面ABC，且三棱錐P－ABC的體積的最大值為()A．4B．3C．4eq\r(3)D．3eq\r(2)考點柱體、錐體、臺體的體積題點錐體的體積答案B解析根據(jù)題意半徑為2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，△ABC是截面為大圓上的三角形，設(shè)圓心為O，AB的中點為N，ON＝eq\r(22－3)＝1，∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱錐P－ABC的體積最大時，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABC的體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×eq\r(3)＝3，故選B.7．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝2BC，E是CD上一點，若AE⊥平面PBD，則eq\f(CE,ED)的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．3D．4考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的計算與探索性問題答案C解析∵PD⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，∴PD⊥AE，當(dāng)AE⊥BD時，AE⊥平面PBD，此時△ABD∽△DAE，則eq\f(AB,AD)＝eq\f(AD,DE)，∵AB＝2BC，∴DE＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,4)DC，∴eq\f(CE,ED)＝3.故選C.8．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°考點線面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點直線與平面所成的角答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.二、填空題9．二面角α－l－β為60°，異面直線a，b分別垂直于α，β，則a與b所成角的大小是______．考點空間角題點空間角的綜合應(yīng)用答案60°解析過直線a上一點作b的平行線b′，則根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可知，a與b′的夾角為60°，所以a與b所成角的大小是60°.10．如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE異面，其中正確結(jié)論的序號是________．考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的判定答案①②③解析∵兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點，取AD的中點G，連接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，進(jìn)而得到AD⊥MN，故①正確；連接AC，CE，根據(jù)三角形中位線定理，可得MN∥CE，由線面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正確，④MN，CE異面錯誤；故答案為①②③.11．我們將一個四面體四個角中直角三角形的個數(shù)定義為此四面體的直度，在四面體ABCD中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，則四面體ABCD的直度為________．考點空間中的垂直問題題點空間中的垂直問題答案4解析∵在四面體ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面體ABCD的四個面均為直角三角形，∴四面體ABCD的直度為4.三、解答題12．如圖，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行、垂直綜合問題的證明證明(1)取AB的中點M，連接FM，MC.∵F，M分別是BE，BA的中點，∴FM∥EA，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC.∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M(jìn)是AB的中點，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF?平面EAB，∵CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中點，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，F(xiàn)D，BE?平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；(2)已知點F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝eq\f(1,2)BC＝3，求三棱錐A－BCF的體積．考點線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面BCE.∵CE?平面BCE，∴CE⊥AB.∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE.∵CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE.(2)解連接BD交AC于點O，連接OF.∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，∴DE∥OF.又∵矩形ABCD中，O為BD中點，∴F為BE中點，即BF＝FE.在Rt△BEC中，∵BC＝6，EC＝3，∴BE＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴S△BFC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3＝eq\f(9\r(3),4).又AB＝DC＝3，∴VA－BCF＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(9\r(3),4).四、探究與拓展14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)考點空間角題點空間角的綜合運用答案B解析如圖所示，作PO⊥平面ABC，則O為△ABC的中心，連接AP，AO.S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4).∴＝S△ABC×OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，又0<∠OAP<eq\f(π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π,3).15．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，點E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．(1)求證：BE∥平面PDF；(2)求直線BE與平面PAD所成角的正弦值．考點空間角題點空間角的綜合運用(1)證明取PD的中點為M，連接ME，MF.∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線，∴ME∥CD且ME＝eq\f(1,2)CD.∵F是AB的中點且ABCD是菱形，AB∥CD且AB＝CD，∴ME∥AB且ME＝eq\f(1,2)AB.∴ME∥FB且ME＝FB.∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF.又BE?平面PDF，MF?平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)解由(1)得BE∥MF，∴直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角．取AD的中點G，連接BD，BG.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD，過F作FH∥BG，交AD于H，則FH⊥平面PAD，連接MH，則∠FMH就是MF與平面PAD所成的角．又F是AB的中點，∴H是AG的中點．連接MG，又M是PD的中點，∴MG∥PA且MG＝eq\f(1,2)PA.在Rt△MGH中，MG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，GH＝eq\f(1,4)AD＝eq\f(1,2)，∴MH＝eq\f(\r(2