全國(guó)通用版講義第二章 點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系滾動(dòng)訓(xùn)練三

滾動(dòng)訓(xùn)練三(§2.2～§2.3)一、選擇題1．下列命題正確的是()A．兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面B．兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行C．過(guò)平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行D．和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案C解析對(duì)于A，兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過(guò)平面外一點(diǎn)的直線一定在平面外，且直線與這個(gè)平面相交或平行，故C正確；對(duì)于D，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或共面直線，故D錯(cuò)誤．故選C.2．設(shè)X，Y，Z是空間不同的直線或平面，對(duì)下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是()①X，Y，Z是直線；②X，Y是直線，Z是平面；③Z是直線，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．A．①②B．①③C．③④D．②③考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析對(duì)于①X，Y，Z是直線，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命題，如正方體共頂點(diǎn)的三條棱：對(duì)于②X，Y是直線，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命題，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；③Z是直線，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命題，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故正確；④X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命題，如正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面．故選D.3．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()A．若m?α，α⊥β，則m⊥βB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m⊥β，則m∥αD．若m⊥α，m∥β，則α⊥β考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析由m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，知在A中，若m?α，α⊥β，則m與β相交、平行或m?β，故A錯(cuò)誤；在B中，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α與β相交或平行，故B錯(cuò)；在C中，若α⊥β，m⊥β，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；在D中，若m⊥α，m∥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．4．正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案B解析過(guò)頂點(diǎn)作垂線，交底面于正方形對(duì)角線交點(diǎn)O，連接OE，∵正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，∴PO＝eq\f(\r(2),2)，AB＝eq\r(3)，AC＝eq\r(6)，PA＝eq\r(2)，OB＝eq\f(\r(6),2)，∵OE與PA在同一平面，是△PAC的中位線，∴OE∥PA且OE＝eq\f(1,2)PA，∴∠OEB即為PA與BE所成的角，OE＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△OEB中，tan∠OEB＝eq\f(OB,OE)＝eq\r(3)，∴∠OEB＝60°.故選B.5．如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直線B1D1與BC所成的角為45°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．4B．3C．2D．1考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案A解析在①中，由正方體的性質(zhì)得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正確；在②中，由正方體的性質(zhì)得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正確；在③中，由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1內(nèi)的兩條相交直線，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正確；在④中，異面直線B1D1與BC所成的角就是直線BC與BD所成的角，故∠CBD為異面直線B1D1與BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直線B1D1與BC所成的角為45°，故④正確．故選A.6．三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，平面PAB⊥平面ABC，且三棱錐P－ABC的體積的最大值為()A．4B．3C．4eq\r(3)D．3eq\r(2)考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案B解析根據(jù)題意半徑為2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2eq\r(3)，△ABC是截面為大圓上的三角形，設(shè)圓心為O，AB的中點(diǎn)為N，ON＝eq\r(22－3)＝1，∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱錐P－ABC的體積最大時(shí)，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABC的體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×eq\r(3)＝3，故選B.7．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝2BC，E是CD上一點(diǎn)，若AE⊥平面PBD，則eq\f(CE,ED)的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．3D．4考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題答案C解析∵PD⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，∴PD⊥AE，當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE⊥平面PBD，此時(shí)△ABD∽△DAE，則eq\f(AB,AD)＝eq\f(AD,DE)，∵AB＝2BC，∴DE＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,4)DC，∴eq\f(CE,ED)＝3.故選C.8．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°考點(diǎn)線面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)直線與平面所成的角答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.二、填空題9．二面角α－l－β為60°，異面直線a，b分別垂直于α，β，則a與b所成角的大小是______．考點(diǎn)空間角題點(diǎn)空間角的綜合應(yīng)用答案60°解析過(guò)直線a上一點(diǎn)作b的平行線b′，則根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可知，a與b′的夾角為60°，所以a與b所成角的大小是60°.10．如圖，兩個(gè)正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點(diǎn)，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE異面，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案①②③解析∵兩個(gè)正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)G，連接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，進(jìn)而得到AD⊥MN，故①正確；連接AC，CE，根據(jù)三角形中位線定理，可得MN∥CE，由線面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正確，④MN，CE異面錯(cuò)誤；故答案為①②③.11．我們將一個(gè)四面體四個(gè)角中直角三角形的個(gè)數(shù)定義為此四面體的直度，在四面體ABCD中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，則四面體ABCD的直度為_(kāi)_______．考點(diǎn)空間中的垂直問(wèn)題題點(diǎn)空間中的垂直問(wèn)題答案4解析∵在四面體ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面體ABCD的四個(gè)面均為直角三角形，∴四面體ABCD的直度為4.三、解答題12．如圖，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問(wèn)題的證明證明(1)取AB的中點(diǎn)M，連接FM，MC.∵F，M分別是BE，BA的中點(diǎn)，∴FM∥EA，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC.∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF?平面EAB，∵CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中點(diǎn)，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，F(xiàn)D，BE?平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；(2)已知點(diǎn)F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝eq\f(1,2)BC＝3，求三棱錐A－BCF的體積．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題(1)證明∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面BCE.∵CE?平面BCE，∴CE⊥AB.∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE.∵CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE.(2)解連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF.∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，∴DE∥OF.又∵矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，∴F為BE中點(diǎn)，即BF＝FE.在Rt△BEC中，∵BC＝6，EC＝3，∴BE＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴S△BFC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3＝eq\f(9\r(3),4).又AB＝DC＝3，∴VA－BCF＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(9\r(3),4).四、探究與拓展14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)考點(diǎn)空間角題點(diǎn)空間角的綜合運(yùn)用答案B解析如圖所示，作PO⊥平面ABC，則O為△ABC的中心，連接AP，AO.S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4).∴＝S△ABC×OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，又0<∠OAP<eq\f(π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π,3).15．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面PDF；(2)求直線BE與平面PAD所成角的正弦值．考點(diǎn)空間角題點(diǎn)空間角的綜合運(yùn)用(1)證明取PD的中點(diǎn)為M，連接ME，MF.∵E是PC的中點(diǎn)，∴ME是△PCD的中位線，∴ME∥CD且ME＝eq\f(1,2)CD.∵F是AB的中點(diǎn)且ABCD是菱形，AB∥CD且AB＝CD，∴ME∥AB且ME＝eq\f(1,2)AB.∴ME∥FB且ME＝FB.∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF.又BE?平面PDF，MF?平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)解由(1)得BE∥MF，∴直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角．取AD的中點(diǎn)G，連接BD，BG.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD，過(guò)F作FH∥BG，交AD于H，則FH⊥平面PAD，連接MH，則∠FMH就是MF與平面PAD所成的角．又F是AB的中點(diǎn)，∴H是AG的中點(diǎn)．連接MG，又M是PD的中點(diǎn)，∴MG∥PA且MG＝eq\f(1,2)PA.在Rt△MGH中，MG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，GH＝eq\f(1,4)AD＝eq\f(1,2)，∴MH＝eq\f(\r(2