北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊1.5三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

第頁1.5三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.能力目標(biāo)能夠把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.情感目標(biāo)在弄清實(shí)際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題中的作用.2.提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語、準(zhǔn)確地畫出示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.教學(xué)方法探索——發(fā)現(xiàn)法教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣【師】直角三角形就象一個(gè)萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界，我們在欣賞了它神秘的“勾股”，知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解，它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如：測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個(gè)問題（多媒體演示）：海中有一個(gè)小島Ａ，該島四周10海里內(nèi)有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在Ａ島南偏西55°的Ｂ處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的Ｃ處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？你是如何想的？與同伴進(jìn)行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決問題.（板書：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎？）（二）指導(dǎo)嘗試，自主探究【師】我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的？【生】應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.【師】請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的，【生】首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處，示意圖如下：【師】貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，由誰來決定？【生】根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險(xiǎn).如果小于10海里則有觸礁的危險(xiǎn).A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，算出AD的長度，然后與10海里比較.【師】這位學(xué)生分析得很好，能將實(shí)際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求，根據(jù)題意，有哪些已知條件呢？【生】已知BC=20海里，∠BAC＝55°，∠CAD=25°【師】在示意圖中，有兩個(gè)直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，你能在哪個(gè)三角形中示求出AD呢？【生】在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求出AD.【生】在Rt△ABD中知道∠BAD＝550，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.【師】那該如何是好？是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個(gè)更高的角度考慮？【生】我發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)三角形有聯(lián)系，AD是它們公共直角邊，而且BC是這兩個(gè)直角三角形BD與CD的差，即BC=BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.【師】有何聯(lián)系呢？【生】在Rt△ABD中，tan550＝，BD＝AD·tan550，在Rt△ACD中，tan250＝，CD＝AD?tan250.【生】利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan550－ADtan250=20.【師】太棒了！沒想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙，其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一.【師生共析】解：過A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D，得到Rt△ABD和Rt△ACD,從而BD=ADtan550,CD=ADtan250,由BD-CD=BC,又BC=20海里，得AD·tan550–AD·tan250=20AD·(tan550–tan250)=20AD≈20.79海里這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn).(三)變式訓(xùn)練，形成能力【師】接下來，我們再來研究一個(gè)問題，還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎？現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示想一想你會(huì)更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度，他在A處仰塔頂，測得仰角為300，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測得仰角為600，那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）【師】我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角？在這個(gè)圖中，300仰角、600的仰角分別指哪兩個(gè)角？【生】當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平所成的銳角稱為仰角，300的仰角指∠DAC,600的仰角指∠DBC.【師】很好！請同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問題的思路，然后回答.（教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)）【生】首先，我們可以注意到CD是兩個(gè)直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan300＝,即BC＝,在Rt△BDC中，tan600＝即BC＝,又∵AB＝AC－BC＝50m,得－＝50解得CD≈43(m)即塔CD的高度約為43m.【生】我有一個(gè)問題，小明在測角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測量CD的高度時(shí)應(yīng)考慮小明的身高.【師】這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測量時(shí)，的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測量時(shí)，眼睛離地面的距離.如果設(shè)小明測量時(shí)，眼睛離地面的距離為1.6m，其他數(shù)據(jù)不變，此時(shí)塔的高度為多少？你能畫出示意圖嗎？【生】示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知CD≈43m，則CD＝43+1.6=44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.【師】同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了，現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.多媒體演示：某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由400減至350，已知原樓梯長為4m，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結(jié)果精確到0.001）請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.（先獨(dú)立完成同，然后相互交流，討論各自的想法）【生】在這個(gè)問題中，要注意調(diào)整前后的樓梯高度是一個(gè)不變量，根據(jù)題意可畫出示意圖（如右圖），其中AB表示樓梯的高度，AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度，DB是調(diào)整后樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后樓梯的傾角，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：如圖，AB⊥DB,∠ACB＝400，∠ADB＝350，AC＝4m，求AD－AC及DC的長度.【師】這位同學(xué)把這個(gè)樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個(gè)問題是前面問題的變式，我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器很快地解決它，開始吧！【生】解：由條件可知，在Rt△ABC中，sin400=,即AB＝4sin400m.原樓梯占地長BC＝4cos400.調(diào)整后，在RT△ABD中，sin350=則AD＝＝ｍ,樓梯占地長DB＝m∴調(diào)整后樓梯加長AD－AC＝－4≈0.48(m).樓梯比原來多占DC＝DB－BC＝－4cos400≈0.61(m)(四)反饋矯正，拓展思維如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成400夾角，且DB＝5m，現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固中另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少？解：在Rt△CBD中，∠CDB＝400，DB＝5m，sin400＝，BC＝DBsin400=5sin400(m)在Rt△EDB中DB＝5mBE＝BC+EC＝2+5sin400(m)根據(jù)勾股定理，得DE＝7.96(m)所以鋼纜ED的長為7.96m2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD,壩頂AD＝6m，坡長CD＝8m，坡底BC＝30m，∠ADC＝1350⑴求∠ABC的大?。虎迫绻麎伍L100m，那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料？（結(jié)果精確到0.01m2）解：過A,D分別作AE⊥BC,DF⊥BC,E.F為垂足.⑴在梯形ABCD中，∠ADB＝1350∴∠FDC＝450，EF＝AD＝6m，在Rt△FDC中，DC＝8m，DF＝FC＝CDsin450=4(m).∴BE＝BC－CF＝30－4－6＝24－4(m)在Rt△AEB中，AE＝DF＝4（m）,tan∠ABC==-≈0.308.∴∠ABC≈1708/21″(2)樓梯ABCD的面積S＝（AD+BC）?AE＝（6+30）·4＝72（m2）壩長為100m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料100〤72≈10182.34(m3)綜上所述，∠ABC＝1708/21″建筑大壩共需10182.34m3土石料.(五)討論歸納，形成知識【生1】本節(jié)課我們學(xué)到了：運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，提高了我們分析問題和解決實(shí)際問題的能力.【生2】我們還知到：解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.然后列方程求解，并合理解釋答案.【生3】通過“讀一讀”的學(xué)習(xí)，了解“三角學(xué)”的發(fā)展歷史，使我們對“三角學(xué)”更感興趣.(六)課后作業(yè)習(xí)題1.6第1，2，3題.(七)活動(dòng)與探究（2019年貴陽）如圖，某貨船以20海里/時(shí)的速度將一批重要物質(zhì)由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必需立即卸貨，此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由A處向北偏西600方向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均受影響.問：B處是否會(huì)受到臺風(fēng)的影響？請說明理由.為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物？（供選用數(shù)據(jù)：≈1.4≈1.7）提示：這是一道需借肋三角知識的應(yīng)用題，需抓住問題的本質(zhì)特征，在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學(xué)問題上下功夫〕解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，依題意，得∠BAC＝300，在Rt△ABD中，BD＝AB＝2019＝160<200,∴B處會(huì)受到臺風(fēng)影響.⑵以點(diǎn)B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E、F，由勾股定理可求得DE＝120，AD＝160AE＝AD－DE＝160－120∴＝3.8（小時(shí)）因此，該船應(yīng)在3.8小時(shí)內(nèi)卸完貨物.附：板書設(shè)計(jì)§1.5三角函數(shù)的應(yīng)用船有觸礁有危險(xiǎn)嗎根據(jù)題意，畫出示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.用三角函數(shù)和方程的思想解決關(guān)于直角三角形的問題.解釋最后的結(jié)果.測量塔高改造樓梯教學(xué)反思⑴本節(jié)課容量較大，有五個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，學(xué)生對每個(gè)問題逐個(gè)探究解答，時(shí)間難以把握，換句話說，本節(jié)課很難完成設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容.若時(shí)間感覺比較緊，又該怎樣來解決這個(gè)問題呢？⑵本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是解直角三角形的應(yīng)用問題，對優(yōu)生來說，他們學(xué)習(xí)還較容易，討論也熱烈；從作輔肋線構(gòu)建直角三角形，再利用方程解答題目，直至描述答案都顯得輕松自如.但對另外還有相當(dāng)一部分學(xué)生來說，他們基礎(chǔ)較差，對數(shù)學(xué)的應(yīng)用不是那么得心應(yīng)手，不會(huì)合理構(gòu)造直角三角形，也不能列出合理的方程進(jìn)行解答，又該怎樣體現(xiàn)面向全體學(xué)生的原則，達(dá)到共同進(jìn)步的目的.在課堂教學(xué)過程中，怎樣安排培優(yōu)與轉(zhuǎn)差的過程等等，卻值得我們深思.點(diǎn)評：本節(jié)課的教學(xué)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，采用了“問題情景——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的教學(xué)模式.讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識形成與應(yīng)用過程，從而更好地理解教學(xué)知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)意識和能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.具體有一下幾個(gè)特點(diǎn)：教學(xué)素材來源于現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際，如：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎、小明測樓高、怎樣改造樓梯、貨船會(huì)受臺風(fēng)影響嗎等問題的設(shè)計(jì)，都是學(xué)生關(guān)注和感興趣的實(shí)例作知識背景，激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識就在身邊，與現(xiàn)實(shí)世界密切聯(lián)系，把以上的幾個(gè)問題用適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和主動(dòng)探究的精神，并激勵(lì)學(xué)生與同伴合作交流自己的想法.內(nèi)容設(shè)計(jì)有一定的層次性并富有彈性，在教學(xué)過程中，教師把一個(gè)知識對象用多樣化的載體予以呈現(xiàn)，體現(xiàn)了知識發(fā)展的階梯，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和邏輯思維習(xí)慣，層層遞進(jìn)，但總有一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想即轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，在解決實(shí)際問題中，必須建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，同時(shí)，在問題2中，又富有彈性，問題的條件設(shè)計(jì)成開放