統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布特征的描述

統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布特征的描述第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二第三章統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布特征的描述3.1統(tǒng)計變量集中趨勢的測定3.2統(tǒng)計變量離散程度的測定3.3變量分布偏度與峰度的描述第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1統(tǒng)計變量集中趨勢的測定3.1.1測定集中趨勢的主要指標(biāo)及其作用3.1.2位置平均數(shù)3.1.3數(shù)值平均數(shù)第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二

3.1.1

測定集中趨勢的主要指標(biāo)及其作用

測定集中趨勢的指標(biāo)有兩類：位置平均數(shù)和數(shù)值平均數(shù)。

位置平均數(shù)是根據(jù)變量值位置來確定的代表值，即在總體中將變量值按順序排列得到的數(shù)列中某個特殊位置的值就稱為位置平均數(shù)。常用的位置平均數(shù)有眾數(shù)、中位數(shù)和分位數(shù)等，前兩種常用。位置平均數(shù)可以用于對品質(zhì)數(shù)據(jù)和數(shù)量數(shù)據(jù)的測度。

數(shù)值平均數(shù)就是均值，它是對總體中的所有數(shù)據(jù)計算平均值，用以反映所有數(shù)據(jù)的一般水平。根據(jù)計算方法不同，數(shù)值平均數(shù)可以分為算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和冪平均數(shù)。這類平均數(shù)的特點(diǎn)是，統(tǒng)計總體中任何一項數(shù)據(jù)的變動都會在一定程度上影響到數(shù)值平均數(shù)的計算結(jié)果。數(shù)值平均數(shù)只能用于對數(shù)量數(shù)據(jù)的測度。

第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.1

測定集中趨勢的主要指標(biāo)及其作用

測定集中趨勢是為了表示社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一標(biāo)志在一定時間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。亦即將總體各單位標(biāo)志值的數(shù)量差異抽象化，反映總體在具體條件下各單位標(biāo)志值達(dá)到的一般水平。

集中趨勢的指標(biāo)經(jīng)常被作為評價事物和決策的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考。具體地說，測定集中趨勢的作用如下：

1.反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平;2.比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平;3.比較同類現(xiàn)象在不同時期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律;4.分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2位置平均數(shù)

位置平均數(shù)是根據(jù)數(shù)據(jù)排列位置所確定的代表值，其與數(shù)值平均數(shù)的基本區(qū)別在于不需要依據(jù)每一個數(shù)據(jù)值來計算。

常用的位置平均數(shù)有：

1、眾數(shù)

2、中位數(shù)

3、其它分位數(shù)。第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.1眾數(shù)(mode)

眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)值。在頻數(shù)分布中，眾數(shù)指頻數(shù)或頻率最大的標(biāo)志值，用Mo表示。

從數(shù)據(jù)的分布層面看，分布數(shù)列中最常出現(xiàn)的標(biāo)志值說明該標(biāo)志值最具有代表性，因此可以反映數(shù)列的一般水平。在分配曲線圖上，眾數(shù)就是曲線的最高峰所對應(yīng)的標(biāo)志值。但是，眾數(shù)具有不確定性。如果數(shù)據(jù)的分布沒有明顯的集中趨勢或最高峰點(diǎn)，眾數(shù)就不存在；如果有多個高峰點(diǎn)，就有多眾數(shù)。

在不等距分組的條件下，眾數(shù)必須根據(jù)頻數(shù)密度或頻率密度來計算。眾數(shù)是按照數(shù)據(jù)的位置計算的，它的長處是易于理解，不受極端數(shù)值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)。但是其靈敏度、計算功能和穩(wěn)定性差，具有不唯一性，所以當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，便不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.1.1由品質(zhì)數(shù)列和單項式數(shù)量數(shù)列確定眾數(shù)

由品質(zhì)數(shù)列和單項式數(shù)量分配數(shù)列確定眾數(shù)，方法比較簡單。即出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。

[例3-1]

2000年福建省城鎮(zhèn)居民家庭居住條件構(gòu)成如下表，求居住條件的眾數(shù)。

表3-1城鎮(zhèn)居民家庭居住條件構(gòu)成（單位：%）

資料來源：《福建統(tǒng)計年鑒—2002》。

按房屋產(chǎn)權(quán)分組數(shù)據(jù)就是一個品質(zhì)數(shù)列，有71.7%的城鎮(zhèn)居民的住房是自有房，因為71.7%是該品質(zhì)數(shù)列中的最高頻率，因此，其眾數(shù)就是“自有房”，Mo=自有房。項目2000年按房屋產(chǎn)權(quán)分公房租賃私房自有房其他100.012.61.971.713.8第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.1.1由品質(zhì)數(shù)列和單項式數(shù)量數(shù)列確定眾數(shù)[例3-2]某學(xué)院某學(xué)年教師開課門數(shù)如表3-2，求開課門數(shù)的眾數(shù)。

表3-2教師開課門數(shù)（單位：門）

在上表的單項式數(shù)量數(shù)列中，教師開課門數(shù)最集中的是2門課，所以2就是眾數(shù)，Mo=2。開課門數(shù)x1234合計教師數(shù)f1530281285第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.1.2由組距數(shù)量數(shù)列確定眾數(shù)按年人均純收入分組（元）農(nóng)民家庭數(shù)（戶）1000-12001200-14001400-16001600-18001800-20002000-22002200-24002400-2600240480105060027021012030合計3000

[例3-3]某地區(qū)農(nóng)民收入情況如表3-3，計算其人均純收入的眾數(shù)。

表3-3農(nóng)民家庭年人均純收入情況表第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.2中位數(shù)（Median）

中位數(shù)和眾數(shù)一樣，也是一種位置代表值。中位數(shù)是將總體中的數(shù)據(jù)按順序排列后，處于數(shù)列中點(diǎn)位置上的那個數(shù)據(jù)值或變量值，或者說中位數(shù)是累計頻率數(shù)列中，累計頻率為0.50所對應(yīng)的變量值。用Me表示。在總體中，小于中位數(shù)的數(shù)據(jù)個數(shù)占一半，大于中位數(shù)的數(shù)據(jù)個數(shù)也占一半，即中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位于二等分點(diǎn)上的那個數(shù)據(jù)值。用中位數(shù)來代表總體中所有標(biāo)志值的一般水平，可以避免極端值的影響，在有些情況下更具有代表性。中位數(shù)的確定方法，根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)不同而有所不同。第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二[例3-4]某高校一次對食堂伙食滿意度的調(diào)查

數(shù)據(jù)如表3-4所示。求滿意度的中位數(shù)。

回答類別學(xué)生人數(shù)（人）學(xué)生人數(shù)累計（向上累計）非常不滿意240240不滿意10801320一般9302250滿意4502700非常滿意3003000合計3000——表3-4調(diào)查數(shù)據(jù)次數(shù)分布中位數(shù)位置=3000/2=1500

從學(xué)生數(shù)累計看，中位數(shù)在第三組，所以，Me=一般。

第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.2.2由單項式分組數(shù)量數(shù)據(jù)確定中位數(shù)

單項式數(shù)量數(shù)據(jù)分組已經(jīng)將數(shù)據(jù)順序化，這時數(shù)據(jù)個數(shù)即總體單位數(shù)n=∑f，確定中位數(shù)位置的方法要通過累計次數(shù)計算。[例3-6]由表3-5數(shù)據(jù)計算中位數(shù)。

中位數(shù)的位置是85/2=42.5，因此，Me=2。表3-5教師開課門數(shù)累計頻數(shù)表開課門數(shù)（門）教師數(shù)（人）向上累計教師數(shù)（人）向下累計教師數(shù)（人）1151585230457032873404128512合計85————第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.2.3由組距式分組的數(shù)量數(shù)據(jù)確定中位數(shù)

[例3-7]根據(jù)表3-6數(shù)據(jù)，計算農(nóng)民家庭年人均純收入中位數(shù)。表3-6農(nóng)民家庭年人均純收入累計次數(shù)表年人均純收入（元）農(nóng)民家庭數(shù)（戶）向上累計戶數(shù)向下累計戶數(shù)1000-120024024030001200-140048072027601400-16001050177022801600-1800600237012301800-200027026406302000-220021028503602200-240012029701502400-260030300030合計3000————第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.3.1四分位數(shù)（Quartile）

四分位數(shù)又稱為四分位點(diǎn)，它利用三個等分點(diǎn)將數(shù)據(jù)四等分：第一個等分點(diǎn)稱為下四分位數(shù)，第二個等分點(diǎn)就是中位數(shù)，第三個等分點(diǎn)稱為上四分位數(shù)。四分位數(shù)的計算方法與中位數(shù)相似,即先確定其位置,再確定其數(shù)值。（1）順序數(shù)據(jù)四分位數(shù)位置的確定Qi=in/4（i=1，2，3）式中，Qi

是第i個四分位數(shù)，n是數(shù)據(jù)個數(shù)即總體單位數(shù)。

（2）未分組和單項式分組的數(shù)量數(shù)據(jù)四分位數(shù)位置的確定Qi=i（n+1）/4（i=1，2，3）（3）組距式分組數(shù)量數(shù)據(jù)中四分位數(shù)位置的確定第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.3.1四分位數(shù)（Quartile）

[例3-8]利用例3-4的數(shù)據(jù)確定四分位數(shù)。

解：依題意得：Q1位置=n/4=3000/4=750(人)Q1=不滿意Q2位置=2n/4=2*3000/4=1500(人)Q2=一般Q3位置=3n/4=3*3000/4=2250(人)Q3=滿意第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.3.1四分位數(shù)（Quartile）

[例3-9]

計算例3-5中數(shù)據(jù)的四分位數(shù)。

解：依題意得：Q1位置=(n+1)/4=9/4=2.25Q1=x2+0.25(x3-x2)=19+0.25*(20-19)=19.25（元）Q2位置=2(n+1)/4=2*9/4=4.5Q2=(x4+x5)/2=(22+23)/2=22.5（元）Q3位置=3(n+1)/4=6.75Q3=x6+0.75(x7-x6)=23+0.75*(23-23)=23（元）第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.2.3.2百分位數(shù)（Percentile）

百分位數(shù)是數(shù)據(jù)順序排列后，將數(shù)據(jù)100等分，位于i（i=1，2，…，99）個等分點(diǎn)位置的數(shù)據(jù)值。可見，第25百分位數(shù)就是第一個四分位數(shù)；第50百分位數(shù)即第二個四分位數(shù)，也就是中位數(shù)；第75百分位數(shù)則是第三個四分位數(shù)。百分位數(shù)的計算思路與四分位數(shù)一樣。

對第i百分位數(shù)，嚴(yán)格的定義如下：第i百分位數(shù)是這樣一個值，它使得至少有i％的數(shù)據(jù)項小于或等于這個值，且至少有（100－i）％的數(shù)據(jù)項大于或等于這個值。第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3數(shù)值平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)又稱為均值，是用于測定數(shù)量數(shù)據(jù)的集中趨勢的指標(biāo)，算術(shù)平均數(shù)是最常用的數(shù)值平均數(shù)，由算術(shù)平均數(shù)又引申出了調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.1算術(shù)平均數(shù)（均值）arithmeticmean

算術(shù)平均數(shù)又稱均值，是統(tǒng)計數(shù)據(jù)高低相互抵消后的結(jié)果，表現(xiàn)了數(shù)據(jù)的集中趨勢和代表性水平。從統(tǒng)計思想看，均值削弱了數(shù)據(jù)中偶然性，揭示了蘊(yùn)含在偶然性當(dāng)中的必然性，是統(tǒng)計數(shù)據(jù)集中趨勢的一個最重要特征值。而且本身具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)?；拘问剑核阈g(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量/總體單位總量

算術(shù)平均數(shù)的計算條件：算術(shù)平均數(shù)是同質(zhì)總體的標(biāo)志總量和單位總量的比率關(guān)系，要求分子與分母必須是同一總體，而且兩者在數(shù)量上存在著直接的對應(yīng)關(guān)系，即分子數(shù)值隨著分母數(shù)值的變動而變動。實際工作中，由于數(shù)據(jù)的不同，算術(shù)平均數(shù)有簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)兩種計算形式。第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.1.1簡單算術(shù)平均數(shù)[例3-11]例3-5的中，日產(chǎn)零件數(shù)分別為17、19、20、22、23、23、24、25（件/人）8名工人的日產(chǎn)零件的平均數(shù)為：第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.1.2加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（weightedarithmeticmean）

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于數(shù)據(jù)已經(jīng)分組，并編制出次數(shù)分布的條件下。這時必須先將各組標(biāo)志值乘以相應(yīng)的次數(shù)，得到各組的標(biāo)志總量，然后再相加得到總體標(biāo)志總量,最后用總體標(biāo)志總量除以總體單位總量。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：如果是組距式分組，在假定各組內(nèi)的變量值均勻分布的條件下，用各組的組中值代表各組的平均值，以各組組中值乘以各組次數(shù)作為各組的標(biāo)志總量，再計算總平均數(shù)。第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二

[例3-12]

利用表3-2數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均數(shù)。第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二表3-7教師平均開課門數(shù)計算表開課門數(shù)x教師數(shù)fxff/∑f(%)X*f/∑f1151517.650290.70583288432.940.98824124814.120.5648合計852071002.4353第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.1.2加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

[例3-13]利用表3-3的數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均數(shù)。

解:依題意得:所以,這3000戶農(nóng)民家庭平均年人均純收入是1596元。第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二表3-8農(nóng)民家庭平均年人均純收入計算表年人均純收入（元）組中值x農(nóng)民家庭數(shù)（戶）fxf1000-120011002402640001200-140013004806240001400-16001500105015750001600-1800170060010200001800-200019002705130002000-220021002104410002200-240023001202760002400-260025003075000合計__30004788000第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)需要注意的問題

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受兩個因素的影響：一是變量值大小；二是各組次數(shù)占總次數(shù)比重即頻率的影響。

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中的權(quán)數(shù)，指的就是標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)或各組次數(shù)占總次數(shù)的比重。在計算平均數(shù)時，各組次數(shù)具有權(quán)衡各組變量值輕重的作用，出現(xiàn)次數(shù)多的標(biāo)志值對平均數(shù)的形成影響大些，出現(xiàn)次數(shù)少的標(biāo)志值對平均數(shù)的形成影響小些。即，在一個數(shù)列中，當(dāng)標(biāo)志值較大的單位數(shù)居多時，平均數(shù)就會趨近標(biāo)志值大的一方；當(dāng)標(biāo)志值較小的單位數(shù)居多時，平均數(shù)就趨近標(biāo)志值小的一方；當(dāng)標(biāo)志值較大的單位數(shù)與標(biāo)志值較小的單位數(shù)基本平分時，平均數(shù)居中。

可見，各組標(biāo)志值的單位數(shù)（頻數(shù)）的多少對平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用，所以稱各組單位數(shù)為權(quán)數(shù)，用權(quán)數(shù)乘以各組標(biāo)志值叫加權(quán)，由此計算的平均數(shù)叫加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。注意：權(quán)數(shù)對算術(shù)平均數(shù)大小的影響程度，并不取決于權(quán)數(shù)本身數(shù)值的大小，而是取決于作為權(quán)數(shù)的各組單位數(shù)占總體單位數(shù)比重的大小，即頻率的大小。

在分組數(shù)列的條件下，當(dāng)各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)或各組次數(shù)所占比重均相等時，權(quán)數(shù)就失去了權(quán)衡輕重的作用，這時用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算的結(jié)果與用簡單算術(shù)平均數(shù)計算的結(jié)果相同,因此可以把簡單算術(shù)平均數(shù)理解為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)當(dāng)f1=f2=…=fn時的特例。第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二關(guān)于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)選擇原則

1、權(quán)數(shù)選擇的原則：

各組標(biāo)志值×各組單位數(shù)=各組標(biāo)志總量2、該等式必須有實際經(jīng)濟(jì)意義。即，權(quán)數(shù)必須是標(biāo)志值的直接承擔(dān)者，權(quán)數(shù)與標(biāo)志值的乘積要具有標(biāo)志總量的意義。

只有當(dāng)三個量之間存在著客觀的數(shù)量對等關(guān)系時，各組單位數(shù)才是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的合適權(quán)數(shù)。實例。第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

算術(shù)平均數(shù)是最重要的平均數(shù)形式，有一些非常重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)，其中最重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)是：

1、算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。2、各個標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零。3、各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小。第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.2調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）

調(diào)和平均數(shù)是集中趨勢的另一種測定指標(biāo)，它是總體中各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱“倒數(shù)平均數(shù)”。

在統(tǒng)計實踐中，調(diào)和平均數(shù)常常被作為算術(shù)平均數(shù)的變形來使用：當(dāng)因為數(shù)據(jù)的原因不能采用算術(shù)平均數(shù)的方法計算均值時，可以考慮采用調(diào)和平均數(shù)的形式。

調(diào)和平均數(shù)也有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種形式。第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.2.1簡單調(diào)和平均數(shù)

簡單調(diào)和平均數(shù)是各個標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。計算公式如下：第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二[例3-16]某種蔬菜早市、午市和晚市的價格

分別為0.7、0.68和0.74元，各買一元，求其平均

價格。第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.2.2加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算公式為：式中，m表示各單位或各組的標(biāo)志值對應(yīng)的標(biāo)志總量。第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二[例3-17]某種蔬菜價格和成交量資料如表3-10，求該種蔬菜一天的平均價格。

第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.3幾何平均數(shù)（geomatricmean）

幾何平均數(shù)也稱幾何均值或?qū)?shù)平均數(shù)，是一種有特定作用的平均數(shù)。幾何平均數(shù)是Ｎ個變量值（比率）連乘積的Ｎ次方根，通常用于時間上有聯(lián)系或有先后順序關(guān)系的比率求平均，凡是度量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象都必須使用幾何平均法計算均值。幾何平均數(shù)根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)資料不同，有簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種方法。

幾何平均數(shù)也是算術(shù)平均數(shù)的變形,也受極端變量值的影響,適合于反映特定現(xiàn)象的平均水------現(xiàn)象的總標(biāo)志值是各單位標(biāo)志值的連乘積。但是，如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于0，或者數(shù)列中有一個標(biāo)志值是負(fù)值，又要開偶次方根，就都無法計算幾何平均數(shù)。第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.3.1簡單幾何平均數(shù)式中G表示幾何平均數(shù)，

表示各項標(biāo)志值。簡單幾何平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度。若將變量值取對數(shù)，幾何平均數(shù)就變成均值形式。第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二[例3-18]某產(chǎn)品需經(jīng)四個工序的加工，已知第一工

序加工合格率為97%，第二個工序加工合格率為95%，第

三個工序加工合格率為96%，第四個工序加工合格率為94%，求四個工序平均加工合格率。

解:依題意得:第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.1.3.3.2加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)計算幾何平均數(shù)的各個標(biāo)志值的次數(shù)不相同時，應(yīng)采用加權(quán)幾何平均數(shù)。加權(quán)幾何平均數(shù)是各標(biāo)志值fi次方的連乘積的次方根，計算公式為：第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二[例3-19]某2企業(yè)2000～2002年增加值發(fā)展速度如表3-11，試計算其2000～2002年增加值平均發(fā)展速度。環(huán)比發(fā)展速度（%）x時期次數(shù)f1021990-199331041993-19985981998-199911031999-20012

第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二集中趨勢測定指標(biāo)的關(guān)系

1、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在對稱的正態(tài)分布條件下，算術(shù)平均數(shù)=眾數(shù)=中位數(shù)。

在非對稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取于偏斜的程度。偏斜的程度越大（小），它們之間的差別越大（?。．?dāng)次數(shù)分配呈右偏時，算術(shù)平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)；當(dāng)次數(shù)分配呈左偏時，眾數(shù)>中位數(shù)>算術(shù)平均數(shù)；一般地，中位數(shù)介于眾數(shù)和平均數(shù)之間。英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾生(Pearson.E.S)的研究提出，在存在輕微偏斜的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗公式：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍。2、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系在相同的數(shù)據(jù)中，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)在數(shù)值是的關(guān)系如下:調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)。第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二計算和應(yīng)用集中趨勢測定指標(biāo)應(yīng)注意的問題

1、集中趨勢的測定指標(biāo)只能應(yīng)用于同質(zhì)總體。集中趨勢是總體中的所有數(shù)據(jù)向中心靠攏的程度，位置平均數(shù)和數(shù)值平均數(shù)作為總體的特征值，反映的是總體各單位的一般水平和集中趨勢，只有在同質(zhì)總體中應(yīng)用才有意義，否則就會失真。

2、用組平均數(shù)和分配數(shù)列補(bǔ)充說明總平均數(shù)。平均數(shù)是一個高度概括性的數(shù)值，它抽象了總體中各數(shù)據(jù)的差異。為使總體信息即有綜合又保真，可以用分配數(shù)列和各組的平均數(shù)來總體具體情況，以顯示被平均數(shù)抽象掉的各單位差異及其分布。3、集中趨勢指標(biāo)與離中趨勢指標(biāo)及具體分析相結(jié)合?？傮w除了集中趨勢特征外，還具有與集中趨勢相反的特征——離中趨勢，研究中對總體的不同層面、不同方向的特征值都進(jìn)行剖析，相互補(bǔ)充，會使分析更透徹、全面。此外，集中趨勢指標(biāo)與典型事例相結(jié)合，具體問題具體分析。第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.1測定離散趨勢的主要指標(biāo)及其作用

離散程度的主要指標(biāo)有極差、平均差、四分位差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差以及離散系數(shù)等，在實踐中有重大作用。

1、反映現(xiàn)象總體中變量分布的離中趨勢總體各單位的標(biāo)志值存在差異，標(biāo)志變動度表明總體各單位標(biāo)志值的分散程度。變量值的差異越大，離中趨勢也越大；反之，變量值越小，離中趨勢也就越小。

2、衡量均值的代表性均值作為總體數(shù)量標(biāo)志的代表值，其代表性取決于總體各數(shù)據(jù)的差異程度。當(dāng)總體中各數(shù)據(jù)的變異程度越大，均值的代表性就越??；反之，總體中各數(shù)據(jù)的變異程度越小，均值的代表性就越大。

3、測定現(xiàn)象變動的均勻性或穩(wěn)定性程度離散程度能夠表明生產(chǎn)過程的節(jié)奏性和其他活動的均衡性，可作為企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量控制和評價經(jīng)濟(jì)管理工作的依據(jù)。第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.2.1極差極差又稱全距，離散程度的最簡單測度值，是最大和最小觀測值之間的距離。

式中，Umax代表最高組的上限；Lmin代表最低組的下限。用極差描述資料的離散程度簡單明了，但它僅僅測度了兩個端點(diǎn)數(shù)值，沒有考察中間位置上的數(shù)值，沒有考慮數(shù)據(jù)的分布特征，不能反映觀察值的整個離散程度。特別當(dāng)總體存在極端數(shù)值時，極差就完全受極端數(shù)值的影響，缺乏全面性。第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.2.2異眾比率異眾比率又稱離異比率或變差比，是指非眾數(shù)的次數(shù)與全部變量值總次數(shù)的比率。異眾比率是描述數(shù)據(jù)離散程度的測定值之一，在對數(shù)據(jù)數(shù)量變動規(guī)律進(jìn)行研究時，與眾數(shù)結(jié)合使用。其計算公式為：

式中：Vr是異眾比率，是變量值的總次數(shù)，是眾數(shù)組的次數(shù)。事實上異眾比率是一個相對數(shù)，更具體講是一個比例相對數(shù)。它所描述的是非眾數(shù)的數(shù)據(jù)次數(shù)占數(shù)據(jù)總次數(shù)的比重，它與眾數(shù)的數(shù)據(jù)次數(shù)占總體總次數(shù)的比重之和為１。異眾比率可以用于定類數(shù)據(jù)。第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.2.3四分位差（quartiledeviation

）分位差是極差的一種改進(jìn)，它是從分配數(shù)列中剔除了一部分極端數(shù)值后確定的、反映數(shù)據(jù)之間差異情況的指標(biāo)。經(jīng)常使用的分位差有四分位差、八分位差、16分位差、32分位差以及百分位差等，以四分位差最為多見。

四分位差是在數(shù)列中剔除最大和最小各四分之一的數(shù)據(jù)，是第一和第三個四分位數(shù)之間距離的二分之一，表明中位數(shù)到這兩個四分位數(shù)的平均距離，是說明中位數(shù)代表性高低的測量值。四分位差計算公式為：

式中：QD表示四分位差，Q3、Q1分別為第三個、第一個四位數(shù)。第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.2.4平均差（MeanAbsoluteDeviation）

平均差是分配數(shù)列中各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)之間離差絕對值的平均數(shù)，反映總體各單位標(biāo)志值的平均差異（離散）程度。一般用MD表示。由于掌握的數(shù)據(jù)不同，平均差的計算可分為簡單平均差和加權(quán)平均差兩種形式。即：1、未分組數(shù)列：

2、分組數(shù)列：

平均差考慮到了數(shù)列中各個標(biāo)志值的變異程度對整個數(shù)列變異程度的影響，因此，比較全面、客觀地反映了數(shù)列的變異程度。但是平均差在計算中，為了保證正、負(fù)總體中的各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差和不至于在計算中相互抵消為零，對離差取了絕對值，這在數(shù)學(xué)處理上有困難，不符合代數(shù)方法演算，具有局限性。第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.3方差（variance）與標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation

方差與標(biāo)準(zhǔn)差是測定離散程度最常用的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，也稱均方差。方差與標(biāo)準(zhǔn)差利用了算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，因此是離散程度最靈敏的指標(biāo)，實踐中應(yīng)用十分廣泛。

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的思路與平均差基本相同，只是在數(shù)學(xué)處理方法上與平均差不同：對于總體中各變量值與算術(shù)平均數(shù)的正負(fù)離差相互抵消為零的問題，平均差采用取絕對值的方法來避免。而方差則是采用平方的方法來避免。然后再對離差的平方計算算術(shù)平均數(shù)，并開方取其正根，求出標(biāo)準(zhǔn)差。第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.3.1數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1、未分組數(shù)列的計算公式：

2、分組數(shù)列的計算公式：

式中，表示方差；表示標(biāo)準(zhǔn)差。

方差和標(biāo)準(zhǔn)差一般用于定序數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)。第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二

[例3-23]兩種不同水稻品種在不同的田塊上試種，產(chǎn)量資料如表3-12所示。要求：⑴分別計算兩種品種的單位面積產(chǎn)量。⑵計算兩種品種畝產(chǎn)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

表3-12兩種水稻品種產(chǎn)量資料表甲品種乙品種田塊面積（畝）產(chǎn)量（公斤）田塊面積（畝）產(chǎn)量（公斤）1.2661.58401.14951.47701.04451.25400.95401.05200.84200.9450第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二表3-13計算表

xfxfxfxf5001.2600005601.58404024004501.1495-5027005501.47703012604451.0445-5530255201.0520006000.954010090004501.2540-7058805250.8420255005000.9450-20360合計5.02500—15275合計6.03120—9900第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二解:依題意得:計算結(jié)果說明，甲品種水稻的平均畝產(chǎn)量為500公斤，平均誤差55.3公斤；乙品種水稻的平均畝產(chǎn)量為520公斤，平均誤差40.6公斤。第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.3.2是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

用“1”表示“是”的變量值，用“0”表示“非”的變量值，則：是非標(biāo)志的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)p=q=0.5時取得最大值，方差最大值為0.25，標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.5，也就是說，此時是非標(biāo)志的變異程度最大。第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2、變量對算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任意常數(shù)的方差

3、n個同性質(zhì)獨(dú)立變量和的方差等于各個變量方差的和。4、n個同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。

5、變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.2.4離散系數(shù)

前述的變異指標(biāo)都是有量綱的量，它們的大小不僅取決于總體數(shù)據(jù)的差異程度，而且還與標(biāo)志值的大小有關(guān)。當(dāng)分析比較兩類不同現(xiàn)象或具有不同平均水平數(shù)據(jù)的變異程度時，就必須采用離散程度的相對數(shù)——離散系數(shù)來反映。離散系數(shù)又稱為變異系數(shù)是一個無量綱的量。它是數(shù)量數(shù)據(jù)的各離散程度指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)的比值。如，將標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)對比，得到標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，等等。其計算公式為：

變異系數(shù)=變異指標(biāo)/算術(shù)平均數(shù)最常用的變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.3變量分布偏度與峰度的描述3.3.1矩3.3.2偏度3.3.3峰度第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.3.1矩

矩也稱為動差。它是總體中所有變量值與任意常數(shù)離差K次方的算術(shù)平均數(shù)。1.基本形式1）未分組數(shù)據(jù)：2）分組數(shù)據(jù)：

式中，k為任意正整數(shù)，a為常數(shù)。第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二2.原點(diǎn)矩若a=0，即變量x關(guān)于原點(diǎn)的k階矩——k階原點(diǎn)矩。

1)未分組數(shù)據(jù)：

2)分組數(shù)據(jù)：

顯然，一階原點(diǎn)矩就是變量的算術(shù)平均數(shù)，二階原點(diǎn)矩就是變量平方的算術(shù)平均數(shù)。第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.中心矩

若a=，就得到變量x關(guān)于分布中心的k階矩——k階中心矩。1)未分組數(shù)據(jù)：

2)分組數(shù)據(jù)：

可見，一階中心矩為0，二階中心矩就是方差。

第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期二3.3.2偏度偏度指分布不對稱的方向和程度。偏度指標(biāo)是三階中心動差除以標(biāo)準(zhǔn)差三次方。其計算公式：當(dāng)α=0時，數(shù)列分布為正態(tài)分布。當(dāng)α≠0時，數(shù)列分布有便斜，且便斜程度隨著α絕對值的增大而增大。當(dāng)α＞0時，表示大于