2023年高考數(shù)學大招12錯位相減大招

大招12錯位相減大招

大招總結(jié)

錯位相減法是高中數(shù)列的重點，但很多同學容易計算出錯.現(xiàn)在給大家總結(jié)了一個公

式,可以直接得出答案.

若數(shù)列為其中a為等差數(shù)列,的為等比數(shù)列，則可使用錯位相減法.

方法1：已知為=(kn+,則S?=(An+B)qn-B.

其中:A=_L,B=3或8=-^--------J.

q-iq-i4-i(qf

方法2：已知a?={an+h)qn，則S?=[—+---------j].qn+'-\—----------.

[q-1q-\(q-l)?」[q-1(4-1尸」

個人認為方法2更方便一些.

如果通項不是%=(h?+b)/i或%=(a〃+/7)q",必須將通項化簡為這個標準形式.

有學生可能會問，這樣直接寫答案,高考給分嗎?學生只需要寫出“四步曲”，一定是滿

分.什么是“四步曲"？

第一步寫S”的表達式，第二步寫q.S”的表達式，第三步寫(1-4)￡的表達式，第四步寫:

經(jīng)整理得S”的結(jié)果.這樣寫與標準答案一模一樣，肯定滿分！

現(xiàn)在推導下an的前n項和5,,.

已知=(kn+b)q"T,

第一步：S”=(上+。)夕°+(2Z+h)q+(3k+h)q2++(kn+b)qn-',

第二步：gS“=^k+b)q+(2k+b)q2++[(〃—I)A+b^qn~x+(kn+b)q",

第二步：(l-q)S“=(k+b)+kq+kq?+kqy++kqn~'~[kn+b'jq",

第四步:經(jīng)整理得S“=(A”+8)./-B.

先練習以下5道題目，熟練一下公式.

練習1：已知數(shù)列通項％=(2〃+3)3"，求S”.

解:直接利用公式.

5?=|'—+—---------^-lx3n+,-|'—--------^-1x3

3-13-1(3-1)23-1(3-1)2

=(n+l)3n+l-3

格式四步曲即可.

練習2:已知數(shù)列通項an=(2〃+3)3向,求S,.

解:先變形為標準形式為=(6〃+9)3",直接利用公式.

6n96w+,96

S"=----------1--------------------------x3x3

3-13-1(3-1)23-1(3-1)2

3〃+Ux96

x3

242-4

=(n+l)3n+2-9

練習3:已知數(shù)列通項=(2”-3)3"T,求.

解:先變形為標準形式a,,里面是減號也可以用大招公式.

22

3一13x3

(3-I)23-1(3-I)2

/

n11

x3〃+ix3

3-2-6~2~6

=("2)3"+2

練習4:已知數(shù)列通項為=竽，求S”.

解:先變形為標準形式為=(2〃+3)GJ,除法變?yōu)槌朔纯?

練習5：已知數(shù)列通項/=得，求S”.

解:先變形為標準形式4=穿=(〃+￡|(￡|”,直接用大招即可.

典型例題

例1.(2021?乙卷文科)設(shè)回｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足％=等，已知

4,3%,9%成等差數(shù)列.

⑴求｛%｝和｛btl｝的通項公式；

(2)記S?和T,分別為｛%｝和｛4｝的前〃項和.證明:7；吟.

解⑴q,3a2,9%成等差數(shù)列,「而的=6+9%,

｛勺｝是首項為1的等比數(shù)歹山設(shè)其公比為小

貝lj6q=l+9q2,.q=g,

.?也號”出

(2)證明:方法1:由⑴知％=(；「,"=〃?

=+24)+…+〃]3,①

爭之佃+2x0+…②

1-

①-②得，|^40-〃0，

s

?F＜，

〃2

方法2：0==("+0)])

AnBA

用錯位相減的大招s“=-----1------------------

[q-lq-\(夕-1廠

n

得到:今-------1----0-----

-1---1I-1---11

33

剩下同方法1

例2.(5分)(2021?新高考I)某校學生在研究民間前紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙

的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到

lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和$=240dn?,對折2次共可以

得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180dm2,以

此類推?則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折〃次，那么

&=--------------dm2

解:方法1：易知有20dmx3dm,10dmx3dm,5dmx3dm,9dmx6dmdmxl2dm洪5種規(guī)格;

4224

由題可知，對折k次共有k+1種規(guī)格，且面積為竽，故S,=24。$+1),

則Z3&=240Z￡祟，記T“=祟，則/=之貂，

TQ〃+3

=3--—,

C=240(3一娛

故答案為：5;240(3-凄

方法20=空”，記7；,=Z豈料，其通項為=("+1)?(})”=("+1)?出”

AnBA],(BA、

用錯位相減的大招s“=EH。

得到:

In

2

(-2n-6)

2"

最終得到:

例3.(2020?新課標/)設(shè)｛為｝是公比不為1的等比數(shù)列馮為02M3的等差中項.

⑴求｛4｝的公比；

(2)若?,=1，求數(shù)列｛〃""｝的前”項和.

解:方法1：⑴設(shè)｛4｝是公比4不為1的等比數(shù)列，q為外，。3的等差中項，可得

2

2al=a2+%，即2al=atq+a｝q,

即為q2+?-2=0,解得q=-2(l舍去)，所以｛%｝的公比為一2；

n

(2)若q=1,則an=(-2)-',nan=n.(-2尸,

則數(shù)列｛叫,｝的前”項和為S“=1?1+2.(-2)+3.(-2-++?-(-2)"-',

23

-2Sn=1-(-2)+2-(-2)+3-(-2)++”?(-2)",

兩式相減可得3s=1+(-2)+(-2-+(-2)3++(一2尸一".(-2)"=高-?.(-2)”,

li

化簡可得Sn=I1+37.(-2)"，所以數(shù)列｛“4｝的前”項和為1I+37(-2)”

方法2：先化成標準式:叫=胃臼

11

上0

直接利用公式：5“=+_9----------2?(一2嚴-2?(-2)

-2-1-2-1(-2-1)2-2-1(-2-1)2

l-(l+3n)-(-2)n

整理得:S“=

9

例4.(2020,新課標III)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=3,a.+i=3a?-4n.

⑴計算％%,猜想｛2｝的通項公式并加以證明；

n

(2)求數(shù)列｛2an]的前"項和Sn.

解:⑴方法1：數(shù)列｛4｝滿足q=3,/+]=3?！?4”,則a2=3,4-4=5,%=3%-4x2=7,

猜想｛2｝的通項公式為%=2〃+1.

證明如下：⑴當“=1,2,3時，顯然成立，

(ii)假設(shè)"="時,,%=2A:+l(ZeN+)成立，

當”=%+1時，-4k=3(2%+1)-4%=22+3=2(左+1)+1,故〃=%+1時成立，

由(i)(ii)知=2〃+1漪想成立，所以｛%｝的通項公式/=2〃+1.

⑵令b?=2na?=(2〃+1)-2",則數(shù)列｛2"%｝的前〃項和

5?=3x2'+5X22++(2?+1)2",…①

兩邊同乘2得,25.=3x2?+5x23++(2”+1)2的，…②

①-②得,-S“=3x2+2x22++2x2w-(2n+l)2,,+1=6+-(2n+1)2,,+,,

所以S“=(2〃-l)2"i+2.

方法2:⑴數(shù)列｛〃“｝滿足q=3,a“+]=3a“-4〃,則%=3a,-4=5,a3=3a2-4x2=7,

設(shè)4什1+cr(n+l)+/?=3(??+an+J3),

可得?！?i=3%+2c〃+2/-a,「，解得p

[2p-a=0[p=-l

...a”+]-2(〃+1)-1=3(%-2n-l),

%=3,q-2x1-1=0,并且a2—2(1+1)-1=0,所以〃〃=2〃+l恒成立.所以〃〃=2〃+1.

⑵利用公式:s“=[蕓+占年卜y占年

整理得：5“=(2〃-1)2向+2

例5.數(shù)列cn=(2n-l)-,求其前n項的和S?.

解:方法1：5?=1-2°+3.2'+5-22++(2〃-l)-2"T,①

25?=1-2'+3-22+5-23++(2"-1>2”,②

②-①得

S?=-2°-2-2'-2-22--2-2n~'+(2n-l)-20

=-1-22-23-24-.-2fl+(2M-1)-2"

=(2n-3)-2n+3.

方法2:先變形為標準形式c“=(2”_1).2“T=?2”,

■2n+1+3=(2n-3)-2"+3

過程按照“四步曲”寫，即可

例6.(2016?山東理科)已知數(shù)列｛4｝的前"項和5“=3"2+8〃,也“｝是等差數(shù)到J,且

a?=bn+bn+l.

⑴求數(shù)列低｝的通項公式；

⑵令c?=(""+「?求數(shù)列｛%｝的前〃項和Tn.

(4+2)

解：(1)由題意知當幾.2時,勺=5“-51=6九+5,

當九=1時,ax=S]=11，所以an=6〃+5.

設(shè)數(shù)列匐的公差為應由仁黑'即忙第*可解得｛￡所以?〃+L

(2)方法1:由(1)知%=①土曳?■=3(〃+l)-2"+l又7；=q+C2+C2++%,

(3〃+3)

^#7；,=3X[2X22+3X23+4X24++(?+1)X2,,+1],

2T?=3X[2X23+3X24+4X25+T(〃+1)X2"+2],兩式作差，得

-7；,=3X[2X22+23+24++2,,+I-(n+l)x2,,+2]

=3x4+4QT)_(“+I)X2"+2

2-117

=-3n-2n+2

所以7；=3〃.2"+2.

方法2:c“=3(〃+1).2向=(6〃+6).2",

S?=(6n+6-6)-2n+l-(6-6)-2=3n-2"+2.

例7.(2015?浙江文科)已知數(shù)列｛%｝和｛bn｝滿足，

4=24=U?+,=24(“CN*)M++?,,=%

⑴求a“與瓦；

⑵記數(shù)列｛。e｝的前〃項和為T?，求T?.

解:方法1:⑴由q=2,a"+|=2a“，得a”=2".當〃=1時，偽=3-1，故匕2=2

當〃..2時,\=hn+l-bn，整理得組L=Si,所以b?=n

nbnn

⑵由⑴知,a“"="-2"

所以7；=2+2爹+3?23++n-2"

27；,=22+2-23+2?24++(n-l)-2"+M-2"+1

所以7；=(〃-1)2"+I+2

方法2:q/“=(n+0)-2n

5?=(H+0-1)-2,,+1-(O-l)-2=(n-))-2,,+I+2

例8.(2021秋?思明區(qū)校級期中)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“和通項a”，且

斫=；，2%+1+”“+|=2,在數(shù)列｛%｝中，仿=1也=；,/-=j+4("eN*).

⑴求數(shù)列{4},{2}的通項公式;

77

q++Q++C<

(2)數(shù)歹u仁｝滿足c*a求證:當.2時6-"4-

解:方法1:(1)當〃=1時,2s2+w=2,即26+3%=2，所以〃2=q

由2s“+|+4+|=2,得S“+]=l-g/+]當〃..2時,，=1-3^，

此時4+i=S“+i-5“=(1-；/+J-11-；%)=-；。“+|+；a,-,即3"“+|=a,,

又：a2=-,:.an>0,/.當”..2時，4吐=1

3an3

二.｛為｝從第二項起，是公比為g的等比數(shù)列，此時%=n

1

211占l

得

面

+一

冬

一

=廠

一r

%仿

〃2

2J+〃

乂因為偽=1也=L所以丁=I，T-一7=1，

2b、b2h

數(shù)列(上］是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,.?」=〃，即為」.

3J2n

(2)證明:當九.2時,g=，設(shè)7；=(?2++cn,

則“$3$…+咱T

2T23

-T=-F一〃x

3t"J3

3

守切,

2〃+3(1丫52

4N??，<了Cn>0,.,.7^..7^=—

7125517

—=----F—=C[+4,,G+S4~Co+??+c?V—+G=—J—=一

62341424

即當幾.2時"C]+C?+03++，〃<(,

方法2Z=q++-Q+拆添項之后可以用公式的=(3〃+0)用

3/70210__29n_2755

T,=------卜—+—<—

_2_24T-T

?一444

~3~39>-39>

剩下的同方法1

例9.(2021春?天元區(qū)校級月考)遞增的等比數(shù)列｛環(huán)｝的前〃項和為5“,且§2=6,S4=30

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式.

⑵若bn=a,Jog1冊，數(shù)列｛2｝的前〃項和為Ttl，求7；+加2〃+i>50成立的最小正整數(shù)〃的值.

2

%(1-力

4---------------=64

解:⑴$2=6,54=30,工=1+/二…、兩式相除可得乜=1+/=5,

數(shù)列｛an｝遞增,q>0：?q=2,%=2,/.an=2-2Z=2〃

2

(2)bn=ajog1a/1=-p-2+2-2++〃.2〃)

2

^//?=l-2+2-22++n-2n,2//?=l-22+2-23++(n-l)-2"+n-2,,+1,

兩式相減可得，

2(1-2")

-//?=2+22+23++2"-n-2n+l=-----^-n-2"+l=2n+l(1-?)-2=7；,

1—2

n+,,+1,,+ln+l

Tn+n-2'>50,.-.(l-w)-2-2+n-2>50,/.2>52

最小正整數(shù)”的值為5

方法2：d=(-〃+0〉2",直接用公式

7；=(-/J+0+I)-2,,+1-(O+l)-2=(l-n)-2,,+1-2

剩下的同方法1

例L（2021秋?皇姑區(qū)校級期末）在數(shù)列也｝中，4=4,前〃項和S“.滿足S”=a,M+n.

⑴求證：當〃..2時,數(shù)列｛4-1｝為等比數(shù)列，并求通項公式

⑵令=含I'求數(shù)列{2}的前〃項和為北.

解方法1:⑴證明：〃=l,q=4.當兒.2時，an=Sn-Sn_}=an+]+〃一%-〃+1,

??.%-1=2(。廠1),，5=2,則q-1=2"、得4=2"--,.?.%=[：7:

an-12+1,幾.2

⑵解：當〃=1時，偽=1■.當幾.2時，2=〃.4]

.?.當凡=1時,7]g當*2時,7>”｛目+3弓++陪】

令M=26)+3({|++〃](!，

3+3冏4+,+陪)

3I39181-陪r

,11「I111flY.T_13(2n+3}1

31213"刃2'12I4J3"

經(jīng)檢驗〃=1時，7；也適合上式.=只-空°eN*

"1243"、

方法2:勿=『R]無法直接用公式，需要添項，假設(shè)數(shù)列從第一項1個1開始

Tn=1+偽+...+bn=-+Z?2+...+〃,+1一§

、、

n0__J_0_LJ.2

^293^32a-3+3

「3-3>「39j

13132n+31

+

12-12~3"

例2.（2021秋?珠海期末）已知｛4｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S,”｛d｝是等比數(shù)列,

且4=a=2,aA+b4=27,S4—Z?4=10

（1）求數(shù)列｛4｝與也｝的通項公式；

⑵記7；=。他+a”M+.+q4,〃eN”,求7；.

解（D設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為q,

由q=4=2,得知=2+3",“=Iq,S4=8+6J,

2+34+2/=27_d=3

,故a”=3n-l,b=T(,?N");

由條件得方程組8+64-2/=10=nG

4=2')

⑵方法1：7；=岫+a?_,b2+a?_2b3++她

=2"4+2"-4++2a“=2"q+

又因為a="=犯3-也?=%3〃+2

（令%）所以

2〃-12'i2"-22"TN2n~2

,,

T“=2[(C1-C2)+(C2-C3)++(C?-C?+1)]=2"(G+%J=10?2"—2(3”+5)；

方法2:1=a11bl+an_}b2+an_2b3++a也,=2"a,+2"~'a2++2an

2”,+,+券)

令此=4+爭爭+券，匆,=；《+爭+果+3+2,

2""2"

\

兩式相減得到：;M,=+3”1

+,--2-,-1-rJ

c3?-1.<3?+5

=2--------------FJ-------------------=3--------------

2"[12"

1-----

2

所以M“=1（）-今學，所以7；=2"?M,=1°。2"-2（3〃+5）.

方法3：4=a力i+an_,h2+++。22T+他

即7；=2（3〃-1）+2?（3〃—4）+23（3〃—7）+.+2?-'.5+2"-2,

則27；=22（3n-l）+23（3n-4）+24（3n-7）++2"-5+2,,+,-2,

兩式相減得到：（,=—2（3〃一1）+3（2?+23++2H）+2,,+I-2

4_7M+I

=-2（3?-l）+3x2-^+2n+1x2=5-2n+l-6H-10=10-2n-2（3n+5）.

方法4:7；=2（3〃-l）+22（3〃-4）+23（3〃-7）++2"+5+2"-2

=2"[q+￡?++d，c.=47=（3〃-1），白=（6〃-2）.!，5的前〃項和為此

g1

T'2

2~24）1~24J

=（-⑵-20）.擊+1。=10一（3〃+5>擊

所以<=2"?叫=10-2"-2（3〃+5）.

自我檢測

1.已知等差數(shù)列｛q｝滿足。2=。，。6+。8=-10?

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)求數(shù)列［含｝的前〃項和.

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a,J的公差為，由已知條件可得＜^++12^--1()，解得＜:二1'

故數(shù)列｛4｝的通項公式為。“=2-〃.⑵設(shè)數(shù)列1券，的前〃項和為S“，即

”+管+為故S尸吟號+*++決所以當〃＞1時,

2-n

~2^~

=姿「所以Sn=W綜上，數(shù)列券)的前〃

法2:

2—〃/.\1門4

=^ir=(_2〃+4)..,S“=T

-2

1八1

0)X產(chǎn)一°二

2.設(shè)數(shù)列滿足4=2,%-4=3"M.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)令bn=nan,求數(shù)列｛2｝的前〃項和S,,.

解析：⑴由已知,當〃..1時，

a

,,+\=[(4+i-6,)+(4-4-1)++(4一4)]+4-=3(22'1+++2)

24

+2=3X^1_^+2=22n+1.

1-4

所以數(shù)列｛??｝的通項公式為

n352n

⑵由bn=nan=n-^-',知S?=1.2+2-2+3-2+...+n-2-',

從而，22S?=l-23+2-25+3-25++n-22,,+|,(2)

2352-12n+12fl+1

(1)-(2),(1-2)S?=2+2+2++2"-n-2,/.Sn=-[(3n-l)2+21.

9

fl1、(1>

ftQ-n

法2：d=〃?22"T=2-4"(先化為標準式).S=x4,,+|--2x4=

33(3)23(3)2

\?\7

^4"+12

+—

618)9

3.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且有q=2,3S“=5%-4%_1+35?_,(n..2).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若b“=〃.an，求數(shù)列出｝的前〃項和小

解析：(1)3s“-3S,i=5《,一4《一|(〃..2),，4=2<*,j=2,又-a,^2,:.{an}是以

an-\

2為首項,2為公比的等比數(shù)列，.,.a“=2-2"T=2".

n2323,,

(2)bn=n-2,Tn=1-2'+2-2+3-2++n-2",27；,=l-2+2-2+.+(?-l)-2+n-

2叫兩式相減得：一1=2'+22++2"-n-2,,+1,

_毒=202=(1—〃>2"+1—2,二7；=2+(〃-1>2用.

1—2

法2：2=〃.2”,S,,x2"'一［一言x2=(n-l)2n+l+2

4.等比數(shù)列｛qj的前”項和為S“，已知5?53,S2成等差數(shù)列.

⑴求｛叫的公比q；

(2)若4一名=,求數(shù)歹U｛九?〃“｝的前n項和Tn.

解析：(1)由已知得

2s3=耳+S2，「.2(q+生+/)=4+(4+%),「?％+2%=0,qw0,「.l+%=0

⑵

=2++++

⑴-⑵得1^-H)H)H)

0

-J

-2

5.(2021?韶關(guān)一模)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若S“=-n2+kn(kwN*),且S“的

最大值為25.

(D求女的值及通項公式％；

⑵求數(shù)列｛"々“E｝的前〃項和

解析：⑴5“=一"+妨=一]〃-5+9當k為偶數(shù)時，可得n=|時，S”的最大值

]rk2kk+]

為T1則W=25,解得女=1。成立；若k為奇數(shù)，則n=-^~或;一時，S〃

<^_iA2k-\,

2

的最大值為--+k--=25,該方程無整數(shù)解.所以，Sn=-n+l0n可得

22

q=S[=9,當n..2時，an=Sn-Sn_l=-n+10n+(//-l)-10(n-1)=11一2/?,上式

對〃=1也成立，故<7?=H-2n,neN;

⑵方法1:〃-2…=百”寸，則

T123771Tl23n

北丁不+不++不7=L不+7++不打，兩式相減可得

1」

1n44"n44+3〃

3r,l1+...+，--^―^―化為7

4〃4n+1rn產(chǎn)’

1----

4

77I

方法2-.n-2a"-'1=n-2〃=2=5+0）.弁（化成標準式）,

4"、z4

⑷9994

6.(2021?福建模擬)已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，也｝的前〃項和為5“，且

4=b\=l,a2=%—%=S3+4?

(1)求數(shù)列｛q｝,也,｝的通項公式；

(2)設(shè)c?=anbn,Tn為數(shù)列｛%｝的前〃項和，求7；.

解析：⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為q,由

1+6?=1+2d—C[~d=4

?,=&!=\,a=03-b,a=S+b,即為?,\,解得\或

233321+2d=1+4+q~+qU=2

（舍去），貝IJa,,=l+4（〃-1）=4〃-3,2=2"T；

（7=（）

⑵方法1:

n-112,1

cn=an-bn=（4n-3）-2,7；,=1?2°+5?2+9-2++（4n-3）-2-,27；=1-2+5

-22+9-23++(4?-3)-2",兩式相減可得

2（1-2"叫

2萬」（九一）化簡可得,

-Tn=1+4（2'+2++2'i）—（4〃—3>2"=1+4?—43?2",

n

7；i=7+（4n-7）-2.

方法2:

3（3、

%也=（4〃—3）.2"T=（2〃_j.2",7；In2

x2=

1112112

7\7

7、

2n--x2""+7=7+（4〃一7>2”.

2>

7.（2021?延邊州模擬）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4=-q=23'T.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵令2=（2n+l）a?,求數(shù)列｛》“｝的前〃項和S,,.

解析：方法1：⑴4=1，4向-q=2-3"，可得

a“=q+（a,_q）+（q_ti,）++（a“_a,1）=]+2+6+

+2-3"-2=]+2（1-3上式對〃=[也成立所以口=3"T,〃eN,；

1-3

⑵

Z??=（2n+l）??=（2n+l）-3z'_1,S?=3-3°+5-3l+7-32++（2n-l）-3,,-2+（2n+l）-3,,_|,

3S?=3-3+5-32+7-33++（2rt-l）-3n-|+（2n+l）-3n,兩式相減可得

-2S,,=3+2（3'+32++3"-2+3'1）—（2鹿+1）?3"=3+2）一（2〃+1）?3",則

S“=〃-3”.

21\

方法2:b“=（2〃+l）-3"T—n+—?3"（化成標準式）

337

（212、fl2、

—fl——

1+3一烏x3,,+l-3一3x3=]〃卜3"|=加3".

2222222

\7\7

8.（2021春?安徽月考）已知首項為4的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且

S〃+1__S.1+2c%+2〃+i

33

（1）求證:數(shù)列（梟）為等差數(shù)歹IJ,并求數(shù)列｛q｝的通項公式;

⑵若2=5求數(shù)列也｝的前“項和Tn.

解析：⑴證明：由鼠L=S“+24+2"+I得黑^_&=網(wǎng)^+2向即

33333

。+1=24+3.2"+1?.翳一祟=3,即數(shù)列是以3=2為首項，以3為公差的

21

等差

數(shù)列，4=2+3（〃-1）=3〃-1,則a?=（3?-l）-2n;

⑵法1：

,,+1234

Z7）（=<z,（+1=（3n+2）-2,.-.7；l=5-2+8-2+ll-2++（3〃—1>2"+（3〃+2〉

2,,+I,27；,=5-23+8-24+11-25+.+（3〃—1）?2向+（3〃+2）?2,,+2,兩式作差可得：

乜=8+3

23（,+1+2,,+2

（2+2++2）一（3〃+2）?2"=8+3-）一（3〃+2）-*=—（3〃-1）?2-4,:.Tn=

（3n-l）-2,,+2+4

法2:2=（3〃+2）?2n+1=（6n+4）-2"（化成標準式），

（=件+:部2向一（'部2=（6九-2）X2"+,+4=（3H-1）X2,,+2+4.

9.（2021春?萊蕪區(qū)校級月考）設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前項和，己知

4〉0,。；+2?！?4S”+3;數(shù)列出｝為各項為正的等比數(shù)列，么="且如他,2%成等

差數(shù)列.

⑴求數(shù)列應卜他｝的通項公式；

⑵若c“=a力”,〃GN”,T"為數(shù)列｛g｝的前"項和,求T”.

解析：（1）S,,為數(shù)列｛4｝的前n項和，已知a〃〉（）,a；+2a“=4S"+3（1）；當〃=1

時，

解得q=3或—1（負值舍去），當〃..2時，a3+2a,i=4S,i+3（2）,⑴-⑵得：

（4+4+1）（4用一。“）=2（。,田+4）,故4用一為=2（常數(shù)），所以數(shù)列｛??｝是以3為

首項，

2為公差的等差數(shù)列；所以q=2〃+l（〃eN*）.設(shè)公比為q的數(shù)列｛包｝為各項為正，

8b3=.+2b2

且々,4a,2b,成等差數(shù)列.所以池=〃+2",所以，」,解得q=

8'I"，

;或-;（負值舍去）,故a=".尸=u=與

Z4（S\Z.JZ

⑵法1:由⑴得：q,=a/“=（2〃+1）?擊，所以

Tn=3X^+5X1+7Xp-++（2"+1）,擊⑴.

=3X[+5X*+7X[++（2n+1）—（2）,

⑴-⑵得：

ixfi-n

J=l+2x（l+g+；++產(chǎn)）-（2〃+l）./=l+2x--------p-----（2〃+1）下，，

1-2

故北=10—（2〃+5）?擊”eN*.

方法2:c?=a?bn=（2n+l）-^-=（4/1+2）—（化成標準式），

、

2=(—8〃-20)x5+10=10-(2〃+5>的.

T

-2

10.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)已知數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，且S.=；/+|〃_i.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若bn=a?-2",求數(shù)列出｝的前〃項和Tn.

13

解析：⑴S?=-n2+|n-l,可得”=1時，a,=5,=1;?..2時，

131=1

4,=5“_5“_1=彳〃0-+彳〃_]_彳(〃-1)一一;(〃_1)+1=〃+L則％=｛；

2222[〃+1,幾.2

⑵方法1也=""=12,1〃)=1