2023年廣東省茂名市信宜高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)的z=-為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知a=5：/=log4J^,c=k)g52,則"。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

3.已知函數(shù)/(x)=log〃(|x—2|-a)(a>0,且”1),則“/(x)在(3,+oo)上是單調(diào)函數(shù)”是"0<a<l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

B./(%)=2'(|x|-l)

x

C〃力=岫|D.f(x)=xe-1

L,,4of9

5.己知。=痣，^=log5—,c=■，則()

4,I

A.a>b>cB.a>c>hC.b>c>aD.oa>

6.已知集合4={》|-2cx<3,xeN},8={x|x2〉1}A,則集合AC|8=()

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2)

7.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示

為兩個(gè)素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于20的概率是()

113

A.—B.—C.—D.以上都不對(duì)

141228

a\x<l

8.已知實(shí)數(shù)。>0,函數(shù)/（x）=,4在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

廠+—+^zlnx,x>1

x

A.\<a<2B.a<5C.3<a<5D.2<a<5

9.如圖，在A4BC中，點(diǎn)M是邊灰,的中點(diǎn)，將44陽(yáng)船著4〃翻折成4月夕此且點(diǎn)8不在平面.4MC內(nèi)，點(diǎn)/堤線

段8'C上一點(diǎn).若二面角與二面角/「NA/-C的平面角相等，則直線月尸經(jīng)過(guò)4.4夕《的（）

C.內(nèi)心D.夕卜心

10.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖，那么，下列敘述錯(cuò)誤的是（）

---一各月最低氣溫平均值一一各月最高氣溫平均值

A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)

B.全年中2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大

C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個(gè)

D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)

11.已知復(fù)數(shù)2=二，貝!Iz的共加復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.已知AABC為等腰直角三角形，A=pBC=2O,M為A43C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且函=：麗+

則威.加=（）

7八51

A.2A/r2—4B.-----C.-----D.-----

“222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義在K上的函數(shù)“X）滿足：①對(duì)任意的都有〃x—y）=/（x）—〃y）；②當(dāng)x<o時(shí)，/（x）>0,

則函數(shù)/（X）的解析式可以是.

14.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（〃"2）,且P（"-3b<Z<n+3b）=0.9974.某用戶購(gòu)買了10000件

這種產(chǎn)品，則這100（X）件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（〃-3b,〃+3。）之外的產(chǎn)品件數(shù)為

15.已知橢圓C:f+E=],M（V2,0）,若橢圓。上存在點(diǎn)N使得AOMN為等邊三角形（。為原點(diǎn)），則橢圓C

m

的離心率為.

16.已知a,"eR,復(fù)數(shù)z=a—i且二=1+初（i為虛數(shù)單位），則訪=,曰=.

1+z

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐"A3Q9中，底面A5C。是菱形，對(duì)角線AC與30交于點(diǎn)O,VOJ_平面A5CQ,E是

棱VC的中點(diǎn).

（1）求證：E4〃平面8OE；

（2）求證：平面也1C_L平面BDE.

18.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）的具體數(shù)據(jù):

月份56789101112

研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361021131518

產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）1122.563.53.54.5

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)可知）'與》之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.0D；

（II）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以Z（單位：萬(wàn)臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)Ze[0,0.13）時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)Z€[0.13,0.15）

時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)Ze[（）.15,0.16）時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)24（）.16,卡>。）時(shí)，每位員工每

日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售Z（萬(wàn)臺(tái)）服從正態(tài)分布N（M，Q00（）1）（其中〃是2018年5-12月產(chǎn)品銷

售平均數(shù)的二十分之一)，請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月(按30天計(jì)算)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.

參考數(shù)據(jù)：fx/=347,￡%；=]308,￡寸=93,參140暗84.50,

/=1i=\i=\

__

-〃xy5n^戊一〃石

參考公式：相關(guān)系數(shù):="、,其回歸直線§=米+g中的5=號(hào)-------,若隨機(jī)變量

J如"〃『儲(chǔ)”〃]

V"八HIJ'='

x服從正態(tài)分布則P(〃一b<xW〃+cr)=0.6826,P("-2cr<xW4+2b)=0.9544.

19.(12分)AA8C的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為“，已知/+。2+缶?，V5sinA+cosB=0.

(1)求cosC；

(2)若AABC的面積S=2,求山

2

20.(12分)已知數(shù)列｛4“｝,其前〃項(xiàng)和為S“，滿足q=2,S.=/Ua“+〃4i，其中〃..2,〃eN*，X，〃eR.

⑴若2=0,〃=4,bn=an+i-2an(〃eN*)，求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列，求X,〃的值；

3

⑶若4=3,且久+〃=5,求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=Y-alnx,aw7?.

(1)若f(x)在x=l處取得極值，求”的值；

(2)求〃幻在區(qū)間[1,小)上的最小值；

4+h.(x)

(3)在(1)的條件下，若以幻=/一”幻，求證：當(dāng)i<x<e2時(shí)，恒有x<二:成立.

4-h(x)

22.(10分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價(jià)格

456789

X(元)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

(件)

已知變量x,y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲y=4x+53;乙

y=-4x+105；丙y=-4.6x+104，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.

【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡(jiǎn)單題.

2.A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得〃再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將4c與1,'對(duì)比，即可求出結(jié)論.

ci—J->i2

【詳解】

1—1

由題知5〉萬(wàn)=

a-5>5°=1,1log4V5>log42=5，

,則

c=log52<log5

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..

3.C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù).f(x)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0<。<1的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(x)=logfl(|x-21-a)(a>0,且awl),

由|x-2|-a>()得尤<2-a或x>2+a,

即f(x)的定義域?yàn)閧x|x<2-?；騲>2+a},(。>0,且。。1)

令f=|x-2|—。，其在(-8,2-a)單調(diào)遞減，(2+a,+w)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(x)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為<。>0

a工1

即0<a<l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問(wèn)題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)定義域排除C,求出/(1)的值，可以排除O,考慮了(TOO)排除A.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)镽,所以C不合題意；

。選項(xiàng)，計(jì)算/(l)=e-l,不符合函數(shù)圖象；

對(duì)于A選項(xiàng)，/(-100)=9999*21°°與函數(shù)圖象不一致；

B選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見(jiàn)方法為排除法.

5.B

【解析】

4/1\2.9z1x0

先將三個(gè)數(shù)通過(guò)指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算變形a=遙=6：〉6°=1，b=log,—<log11=0,0<c=匕J<QJ=1再判

【詳解】

因?yàn)閍=y/6=6*〉6°=1，?埠全嘴―=0<11=

所以a>c>b,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

6.A

【解析】

化簡(jiǎn)集合A,3,按交集定義，即可求解.

【詳解】

集合A={x[—2<x<3,xeN}={0,l,2},

8={x[x>l或x<-1},則4nB={2}.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

首先確定不超過(guò)20的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

不超過(guò)20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)，

從這8個(gè)素?cái)?shù)中任選2個(gè)，有量=28種可能；

其中選取的兩個(gè)數(shù)，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2種情況，

21

故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于2（）的概率尸=蘇=瓦.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得。>1①，當(dāng)

x>\,f(x)=x2+-+a\nx,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得/(x)=2x—之+0N0,在口,長(zhǎng)。)上恒成立，變形

XXX

可得a22②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得a?1+4③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.

【詳解】

a',x<1

解：根據(jù)題意，函數(shù)=l4在R上單調(diào)遞增，

x+—+alnx,尤21

x

當(dāng)x<lj(x)=a*,若/(x)為增函數(shù)，則”>1①，

4

當(dāng)xNl"(x)=x~0+—+alnx,

x

若/(X)為增函數(shù)，必有/'(x)=2x-^+0之。在工”)上恒成立，

XX

4.

變形可得：a>一一2x2,

X

/、414.4

又由x?l,可得g(x)=一—2/在口,一)上單調(diào)遞減，則一一2/4了一2=2,

XX1

若在口,一)上恒成立，貝IJ有a?2②，

X

若函數(shù)/(X)在H上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，

則需有aWl+4=5,③

聯(lián)立①②③可得：2WaW5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

9.A

【解析】

根據(jù)題意/'到兩個(gè)平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到S"BN=、PCM得到答案.

【詳解】

二面角/>-8與二面角P-AM-C的平面角相等，故尸到兩個(gè)平面的距離相等.

故"P-AB'M=VP-ACM,即七-PB,M=VA-PCM,兩三棱錐高相等，故=SAPCM,

故B'P=CP,故尸為C8’中點(diǎn).

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

10.D

【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

由繪制出的折線圖知：

在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；

在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；

在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于UTC的月份有1月，2月，3月，H月，12月，共5個(gè)，故C正確；

在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力.

11.C

【解析】

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.

詳解：由題意，復(fù)數(shù)2=二=/（（廣）二一1+”貝眩=-/"

所以復(fù)數(shù)￡在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與運(yùn)算能力.

12.D

【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得福，福，由平面向

量的數(shù)量積可得答案.

【詳解】

如圖建系，則A（0,0）,8（2,0）,C（0,2）,

,J11

由西=」麗+2直,易得",則

42

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)

算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(或/(x)=-2x,答案不唯一)

【解析】

由“》一封=〃力—〃，)可得/(力是奇函數(shù)，再由x<0時(shí)，〃力>?？傻玫綕M足條件的奇函數(shù)非常多，屬于開(kāi)

放性試題.

【詳解】

在/(%-村=〃月一/(丁)中，令x=y=O,得八0)=0；令x=0,

則/(7)=〃0)-/3=-/3,故/(x)是奇函數(shù)，由x<0時(shí)，〃力>0，

知/(x)=-x或/(x)=-2x等，答案不唯一.

故答案為：〃x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一).

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及到由表達(dá)式確定函數(shù)奇偶性，是一道開(kāi)放性的題，難度不大.

14.26

【解析】

直接計(jì)算10000x(1—P(M—3cr<Z<H+3b)),可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：-3cr<Z<〃+3b)=0.9974

則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(〃-+3b)之外的產(chǎn)品件數(shù)：

10000x(1--3cr<Z<M+3b))=10000x0.0026=26

故答案為：26

【點(diǎn)睛】

本題考查正太分布中3cr原則，審清題意，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

15.國(guó)

3

【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)機(jī)的值，再根據(jù)離心率的定義求值.

【詳解】

由題意得N(立，士逅)，

22

將其代入橢圓方程得m=3,

V2V6

所以

故答案為：述.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

16.ab=-6|z|=V10

【解析】

z

;復(fù)數(shù)z=Q—i且——=1+初

14-Z

.（2—I（67—Z）（li）（Q1）-（Q+1），

=\+bi

1+z22

巾=1

2

a+l,

-------=b

2

a=3

.力=-2

：22

.ab=-6,|Z|=A/3+（-1）=V10

故答案為-6,JT5

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)連結(jié)OE,證明切1〃OE得到答案.

(2)證明VO±BD,BD1.AC,得到8?_L平面VAC,得到證明.

【詳解】

(1)連結(jié)0E.因?yàn)榈酌鍭5CD是菱形，所以。為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn)，所以必1〃OE,又因?yàn)镺Eu平面BOE,K41t平面3OE,

所以E4〃平面BDE；

(2)因?yàn)?)"L平面ABQ9,又BOu平面ABC。，所以VOJLBD,

因?yàn)榈酌鍭3C。是菱形，所以BDJ_AC,又VOnAC=O,VO,ACu平面L4C,

所以5O_L平面VAC.又因?yàn)锽Du平面BDE,所以平面V4cL平面BDE.

本題考查了線面平行，面面垂直，意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.

18.(I)y=0.24x+0.32(ID7839.3元

【解析】

(I)由題意計(jì)算x、y的平均值，進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和即可寫(xiě)出回歸直線方程;

(H)由題意計(jì)算平均數(shù)〃,得出z~N3，),求出日銷量zC［0.13,0.15)、［0.15,0.16)和［0.16,+oo)的概率,計(jì)算獎(jiǎng)金

總數(shù)是多少.

【詳解】

,T、eL2+3+6+10+21+13+15+1888,,

(I)因?yàn)閤=----------------------------------------=—=11,

88

-1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+3.5+4.524.

y=--------------------------------------=—=3,

一〃X)

347-8x11x3OQ

因?yàn)閯?wù)二罟----------0.244

b2-21308-8x121340

/jxi-nx

i=\

所以a=3—菽=3—0.244xll=0.32.

所以y=0.24x+0.32；

(D)因?yàn)椤?2=3=0.15,

2020

所以z?N(().15,0.(X)01),

故（7?=0.0001即O'=0.01，

日銷量ze[0.13,0.15）的概率為上黃=0.4772,

日銷量ze[0.15,0.16）的概率為"辛=0.3413,

日銷量ze[0.16,+<?）的概率為上等竺=0.1587,

所以獎(jiǎng)金總數(shù)大約為：（0.4772x200+0.3413x300+0.1587x400）x30=7839.3（元）.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計(jì)算概率，進(jìn)而估計(jì)總體情況，屬于中檔題.

19.（1）cosA=,cosC=2'；（2）b=5

105

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出sinA,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理

即可求出；（2）根據(jù)（1）及面積公式可得。c,利用正弦定理即可求出.

試題解析：（1）由/+/+夜衣=。2,得H+c2-廿=—后ac，

,Cl~+c~_h~—sp2.dCyfi

??cosn=--------------=---------=-------

2ac2ac2

3%

***0<JB<7T,/?B=—

4

75

由石sinA+cos5=0，得sinA=---cosB=----------X

5

3V10

：?cosA=Jl-sin2A

10

="cosA+也sinAV23710V2Vio275

..cosC=cos----A-------X---------------1---------X----------=-----------?

U222102105

好.

（2）由（1）,得sinC=Jl-cos2c

V

由S='acsin6及題設(shè)條件，得,acsin包=*：?ac=55/2?

2242

a_b_c

ab

由,得V10一初一看,

siMsinBsinC

1025

=述4=述乂5&=25，

22

:.b=5.

點(diǎn)睛：解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角

中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求

角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫(xiě)出角的大小.

20.（1）見(jiàn)解析（2）A=l,幺=0（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）S“=4a,T（〃22）,所以d=2“T，故數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得4=1,4=1,

1n

故2=1,〃=0；（3）得4=5,〃=1,所以S“=]a“+a,i，得（〃一1）。向一（〃一2）為一方,“=0,可證數(shù)列｛q｝

是等差數(shù)列.

試題解析：

（1）證明：若r=0,〃=4,則當(dāng)S“=4411T5之2）,

所以為+1=Sn+]-Sn=4（q-a,-）,

即4用一24=2（/一241）,

所以a=2%，

又由q=2,4+生=44,

得%=3%=6,—2a｝=2w0,即/?〃w0,

所以3=2，

故數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列.

（2）若｛4｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4）,

當(dāng)%=2時(shí)，S2=2Aa2+t^ax,即4+%=24%，得

1+夕=2入q+4,①

當(dāng)〃=3時(shí)，S3=+/da2,即q+%+/=34%+〃〃2，得

]+[+d=3蜀2+Rq,②

當(dāng)〃=4時(shí)，$4=4/14+〃/，即4+%+。3+%=42%+〃。3，得

l+q+/+q3=4置3+國(guó)，③

②-①雙，得1=葡2,

③-@x?,得1=4/,

解得“=1,4=1.

代入①式，得〃=0.

此時(shí)S.=nan（n>2）,

所以a“=q=2,{%}是公比為1的等比數(shù)列，

故2=1,〃=0.

（3）證明：若％=3,由q+々=2九。2+〃4，得5=64+2〃，

31

又2+〃=],解得4=5,〃=1.

由q=2,%=3,A=-,〃=1,代入5“=/1〃?！?〃47得43=4,

所以外,a2,%成等差數(shù)列，

,?n但。H+1

由S“=/a?+<3?_|>得S“+]=2%+i+an?

_力+1Yi

a+aa

兩式相減得：an+i=-^―an+i~^nn~n-\

即（〃一1）4用一（〃一2）%-2%=。

所以也"+2—（〃-1）4+1-24=0

相減得：也“+2-2（〃-1）%+]+（H-2）6Z,（-2an+2anA=0

所以〃（為+2-24+1+4）+2（4用一2%+）=0

222

所以（4+2-24+|+4）=一一（??-2a?+??.,）=-.~八（乙一2。吁1+。“一2）

n+lnyn-Yj

..............77\—7（^3-2〃2+卬），

〃（九一1）???2

因?yàn)閝-24+/=0，所以4+2-2%+?！?°，

即數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

21.(1)2；(2)----In—；(3)證明見(jiàn)解析

222

【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)在％=1處取得極值，得到r(i)=(),即可求解”的值;

(2)由(1)得r(x)=2%一色=生二定義域?yàn)?0,+8),分awo,0<aW2和。>2三種情況討論，分別求得

XX

函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；

4+h(x)2r—72r—2

(3)由"(x)=*2-/(x)，得到〃(x)=21nx,把x<-~~——,只需證Inx>-----，構(gòu)造新函數(shù)0(x)=Inx-------,

4一/?(x)x+1x+1

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由/(x)=x2-qlnx,定義域?yàn)?0,+<?),則/'(x)=2x-0,

x

因?yàn)楹瘮?shù)/0)=犬-alnx在x=l處取得極值，

所以/'(1)=0,即2—。=0,解得。=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以a=2.

⑵由⑴得/'*)=2%-色=鋁二色，定義域?yàn)?0,+8),

XX

當(dāng)時(shí)，有/'(X)>0,f(x)在區(qū)間口,一)上單調(diào)遞增，最小值為了⑴=1,

當(dāng)0<aW2時(shí)，由/'(x)=0得》=邁，且o〈正4I,

22

當(dāng)當(dāng))時(shí)，r(x)<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)xe華,+8時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

所以/(X)在區(qū)間口,~)上單調(diào)遞增，最小值為/(1)=1,

當(dāng)a>2時(shí)，則業(yè)>1,當(dāng)xw1,當(dāng)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

2I2)

、

當(dāng)xe[[-,+8j時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

所以/“)在x=Y2處取得最小值/=J—三皿9，

2I2J222

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，/*)在區(qū)間工+8)上的最小值為1,

當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,”)上的最小值為---In-.