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角平分線的性質(zhì)復(fù)習(xí)提問(wèn)1、角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線。oBCA12復(fù)習(xí)提問(wèn)2、點(diǎn)到直線距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離。OPAB我的長(zhǎng)度

如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?探究1:E角的平分線的作法證明:在△ACD和△ACB中

AD=AB(已知)

DC=BC(已知)

CA=CA(公共邊)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴AC平分∠DAB(角平分線的定義)尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法,探索思考證明方法:ABOMNC畫法:

1.以O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧,交OA于M,交OB于N.2.分別以M,N為圓心.大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑作弧.兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C.3.作射線OC.射線OC即為所求.ABMNC為什么OC是角平分線呢?

O想一想:已知:OM=ON,MC=NC。求證:OC平分∠AOB。證明:在△OMC和△ONC中,

OM=ON,

MC=NC,

OC=OC,∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC

即:OC平分∠AOB已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E。求證:PD=PE證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定義)在△PDO和△PEO中∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。DPEAOBC角平分線的性質(zhì)定理:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為:AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個(gè),必須寫完全,不能少了任何一個(gè)。角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件:

(1)角的平分線;(2)點(diǎn)在該平分線上;

(3)垂直距離。定理的作用:

證明線段相等?!呷鐖D,AD平分∠BAC(已知)

=

,()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD(×)判斷:練習(xí)∵如圖,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)

=

,()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD(×)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)∴

=

,()

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?!滩槐卦僮C全等由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程,你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎?(1)明確命題中的已知和求證;(2)根據(jù)題意,畫出圖形,并用符號(hào)表示已知和求證;(3)經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過(guò)程.例.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證:點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,PD⊥AB于D,PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明:過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F練一練1.填空:∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)ACDEB12DC=DE在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的

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