2019年秋九年級數(shù)學上冊第21章二次根式本章總結(jié)提升練習新版華東師大版

2019年秋九年級數(shù)學上冊第21章二次根式本章總結(jié)提升練習新版華東師大版問題1二次根式的概念當x是怎樣的實數(shù)時，eq\r(x)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？為什么要強調(diào)x是這樣的實數(shù)？例12017·綿陽使代數(shù)式eq\f(1,\r(x＋3))＋eq\r(4－3x)有意義的整數(shù)x有()A．5個B．4個C．3個D．2個【歸納總結(jié)】根據(jù)二次根式的定義，只有被開方數(shù)為非負數(shù)時二次根式才有意義，據(jù)此列出不等式(組)即可求出被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，但還要注意題中的其他限制條件，如分母不為0等．問題2二次根式的性質(zhì)eq\a\vs4\al(二次根式有哪些性質(zhì)？它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？)例2已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖22－1－1所示，化簡：eq\r(a2)＋|a＋c|－eq\r(（a－b）2)＋|1－b|＝________．圖22－1－1問題3二次根式的運算二次根式的運算種類及各自的法則是什么？它的混合運算的順序如何？乘法公式在運算時起了什么作用？例32017·上海改編計算：eq\r(18)＋(eq\r(2)－1)2－eq\f(1,2)eq\r(8)＋(eq\f(1,2))－1＝________．【歸納總結(jié)】二次根式可以進行加、減、乘、除、乘方、開方等運算，其混合運算的順序與有理數(shù)混合運算的順序相同，還是先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使運算簡便．問題4與二次根式有關(guān)的代數(shù)式求值化簡求值問題的一般要求是什么？分母有理化的依據(jù)是什么？例4化簡求值：(eq\f(a,a－b)－eq\f(b,a＋b))÷eq\f(a2＋b2,a－b)，其中a＝1－eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3).詳解詳析【整合提升】例1[解析]B由題意，得x＋3＞0且4－3x≥0，解得－3＜x≤eq\f(4,3)，其中的整數(shù)有－2，－1，0，1，故選B.例2[答案]c＋a－1[解析]由圖可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1＝c＋a－1.例3[答案]5[解析]原式＝3eq\r(2)＋2－2eq\r(2)＋1－eq\r(2)＋2＝5.例4[解析]先按分式的運算法則計算化簡，再代入求值．解：(eq\f(a,a－b)－eq\f(b,a＋b))÷eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a（a＋b）－b（a－b）,（a－b）（a＋b）)÷eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a2＋b2,（a－b）（a＋b）)·eq\f(a－b,a2＋b2)＝eq\f(1,a＋b).當a＝1－eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3)時，原式＝eq\f(1,2).【章內(nèi)專題閱讀】二次根式中的數(shù)學思想日本著名數(shù)學教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年的時間可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想、研究方法、著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使學生終身受益．”由此可見數(shù)學思想是多么的重要，那么二次根式這一章中，有哪些重要的思想呢？1．模擬探究的思想例1我們規(guī)定運算符號“※”的意義是當a>b時，a※b＝a＋b；當a≤b時，a※b＝a－b，其他運算符號的意義不變．按上述規(guī)定，計算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)※\f(3,2)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1－\r(3)）※\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝________．[解析]根據(jù)符號“※”的意義，將其轉(zhuǎn)化即可．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)※\f(3,2)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1－\r(3)）※\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(3)＋\f(1,2)))＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)－1＋eq\r(3)－eq\f(1,2)＝2eq\r(3).[點評]例1是模擬規(guī)定、探究計算的題型，類似的模擬理論、探究實際，模擬特殊、探究一般，模擬確定、探究分類等，是近幾年中考的一個熱點．2．數(shù)形結(jié)合的思想例2實數(shù)p在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，化簡：eq\r(（1－p）2)＋(eq\r(3－p))2.[解析]根據(jù)實數(shù)p在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置，確定出1－p<0，3－p>0，再進行化簡．解：由實數(shù)p在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置，可得1<p<2，進一步可以得到1－p<0，3－p>0.所以eq\r(（1－p）2)＋(eq\r(3－p))2＝|1－p|＋3－p＝p－1＋3－p＝2.[點評]例2主要是應(yīng)用eq\r(a2)＝|a|和(eq\r(a))2＝a(a≥0)化簡，注意這兩個性質(zhì)中a表示的范圍不同．(eq\r(a))2中a≥0，而eq\r(a2)中a可以是負數(shù)．3．整體代入的思想例3已知x＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)＋eq\r(2017))，y＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)－eq\r(2017))，求x2－xy＋y2的值．[解析]從整體著手，由已知式子可以看出x＋y和xy并不復雜，x＋y＝eq\r(2018)，xy＝eq\f(1,4)，因此，只要把x2－xy＋y2化成只含x＋y和xy的形式，整體代入求值即可．解：∵x＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)＋eq\r(2017))，y＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)－eq\r(2017))，∴x＋y＝eq\r(2018)，xy＝eq\f(1,4).∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(eq\r(2018))2－3×eq\f(1,4)＝2017.25.[點評]例3如果直接將x，y的值代入，則計算量比較大，且算式長，容易出現(xiàn)錯誤，所以整體代入可以減小計算量．4．轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想例4已知等腰三角形的兩邊長分別為a，b，且a，b滿足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，求此等腰三角形的周長．解：∵eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2a－3b＋5)≥0，,（2a＋3b－13）2≥0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－3b＋5＝0，,2a＋3b－13＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))∴等腰三角形的周長是7或8.5．歸納的數(shù)學思想例5計算下列各式的值：eq\r(92＋19)；eq\r(992＋199)；eq\r(9992＋1999)；eq\r(99992＋19999).觀察所得結(jié)果，總結(jié)存在的規(guī)律，運用得到的規(guī)律可得[答案]102018[解析]eq\r(92＋19)＝10；eq\