演示文稿第二章連續(xù)性方程與運動方程

（優(yōu)選）第二章連續(xù)性方程與運動方程ppt講解現(xiàn)在是1頁\一共有52頁\編輯于星期三Euler觀點和Lagrange觀點Euler觀點：流體運動的空間中固定某一位置和體積，分析這點所通過的流體的特性變化來研究整個流體的運動規(guī)律。位置和體積固定，質(zhì)量隨時間變化。如岸上觀水，地面觀測站。Lagrange觀點：在流體運動的空間中選擇某一固定質(zhì)量的流體微元，觀測者隨此質(zhì)點運動。觀測其特征變化來研究整個流體運動規(guī)律。質(zhì)量固定，位置和體積可不固定。如隨船觀水，氣球探測?，F(xiàn)在是2頁\一共有52頁\編輯于星期三物理量的時間導數(shù)在動量、熱量與質(zhì)量傳遞過程中．眾多物理量如密度、速度、溫度等隨時間的變化率，是傳遞過程速率大小的量度。物理量的時間導數(shù)有三種：偏導數(shù)、全導數(shù)和隨體導數(shù)。下面以測量大氣的溫度t隨時間θ的變化為例說明之。氣溫隨空間位置和時間變化，可表為t＝t(x,y,z,θ)，t為空間對時間的連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)在是3頁\一共有52頁\編輯于星期三偏導數(shù)：某固定點處物理參數(shù)隨時間的變化率。為了測定大氣的溫度，可以將測溫計裝于觀測站的某個空間位置，觀測者記錄下不同時刻的空氣溫度，此時得到的溫度隨時間的變化以表示之，稱為溫度t的偏導數(shù)。全導數(shù)：物理參數(shù)由于位置和時間變化而產(chǎn)生的變化率（觀測者在流體中以任意速度運動）。測量大氣溫度也可采用下述方法：將測溫計裝在飛機上。飛機以一定的速度v在空間飛行。觀察者記錄下不同時刻的空氣溫度*此時得到的溫度隨時間的變化以dt／dθ表示之，稱為溫度t的全導數(shù)。全導數(shù)的表達式可由對t進行全微分得到現(xiàn)在是4頁\一共有52頁\編輯于星期三隨體導數(shù)：觀測者隨流體隨波逐流運動，即觀測者在流體中與流體流速完全相同的速度運動。第三種測量大氣溫度的方法是將測溫計裝于探空氣球上。此時探空氣球隨空氣一起漂動，其速度與周圍大氣的速度相同。觀察者記錄下不同時刻的大氣溫度。如此獲得的溫度t隨時間θ的變化稱為隨體導數(shù)(Substantialderivatives)亦稱拉格朗日導數(shù)(Largrangianderivatives)，以Dt/Dθ表示?，F(xiàn)在是5頁\一共有52頁\編輯于星期三連續(xù)性方程的推導單組份系統(tǒng)：（輸出的質(zhì)量流率）—（輸入的質(zhì)量流率）＋累積的質(zhì)量速率＝0在x左側面：輸入微元體積的質(zhì)量流率輸出微元體積的質(zhì)量流率zxydzdxdy(x,y,z)dydzρuxdydz現(xiàn)在是6頁\一共有52頁\編輯于星期三連續(xù)性方程的推導于是得到x方向輸出與輸入微元體積的質(zhì)量流率之差：同理在y方向：Z方向：現(xiàn)在是7頁\一共有52頁\編輯于星期三連續(xù)性方程的推導（輸出的質(zhì)量流率）—（輸入的質(zhì)量流率）＝累積的質(zhì)量流率＝質(zhì)量衡算：出—入＋累積＝0寫成向量形式現(xiàn)在是8頁\一共有52頁\編輯于星期三連續(xù)性方程的進一步分析由于密度ρ是空間（x，y，z）和時間θ的連續(xù)函數(shù)，即ρ＝f(x,y,z,θ），那么ρ的隨體導數(shù)將連續(xù)性方程展開，得到于是即為連續(xù)性方程的另一表達形式?，F(xiàn)在是9頁\一共有52頁\編輯于星期三隨體導數(shù)的意義局部導數(shù)：表示ρ在空間的一個固定點處隨時間的變化；對流導數(shù)：表示密度由一點移動到另一點時所發(fā)生的變化。；的物理意義為：當流體質(zhì)點在dθ時間內(nèi)由空間的一點（x,y,z)移動到另一點（x+dx,y+dy,z+dz)時，流體密度ρ隨時間的變化率?，F(xiàn)在是10頁\一共有52頁\編輯于星期三由于將上式對時間求隨體導數(shù)，亦即上式的左側表示流體微元的體積膨脹速率或形變速率，右側是速度向量的散度現(xiàn)在是11頁\一共有52頁\編輯于星期三幾種特殊情況下連續(xù)方程簡化穩(wěn)態(tài)流動，密度不隨時間變化，即上式可簡化為：對于不可壓縮流體，ρ＝常數(shù)，則無論穩(wěn)態(tài)還是非穩(wěn)態(tài)：

上式為不可壓縮流體的連續(xù)性方程。即現(xiàn)在是12頁\一共有52頁\編輯于星期三例題某一非穩(wěn)態(tài)二維流場的速度分布為：ux=-2x-4θ2，uy=2x+2y，試證明該流場中的流體為不可壓縮流體。解：如流體不可壓縮，則速度分量ux,uy,uz滿足連續(xù)性方程。對于非穩(wěn)態(tài)二維流動uz＝0,連續(xù)性方程化為現(xiàn)在是13頁\一共有52頁\編輯于星期三柱坐標和球坐標連續(xù)性方程式zxy(x,y,z)或（r,Φ,θ）zxy(x,y,z)或（r,θ,z）θΦθ現(xiàn)在是14頁\一共有52頁\編輯于星期三公式回顧：現(xiàn)在是15頁\一共有52頁\編輯于星期三連續(xù)性方程式為：現(xiàn)在是16頁\一共有52頁\編輯于星期三現(xiàn)在是17頁\一共有52頁\編輯于星期三于是柱坐標連續(xù)性方程為同理，可得球坐標連續(xù)性方程現(xiàn)在是18頁\一共有52頁\編輯于星期三運動方程通過微分動量衡算，可以導出流體的運動方程。運動方程與連續(xù)性方程結合起來，可以處理許多流體流動問題。同時運動方程在動量、熱量與質(zhì)量傳遞過程中也是求解大量有實際意義問題的基礎方程。本節(jié)在推導運動方程時采用拉格朗日觀點?，F(xiàn)在是19頁\一共有52頁\編輯于星期三用應力表示的運動方程任何物體的運動，都遵循動量守恒定律即牛頓第二定律，流體的運動也不例外。將牛頓第二定律應用于運動著的流體時，可理解為：流體的動量隨時間的變化率應等于作用在該流體上的諸外力向量之和，即式中F——諸外力向量之和

M——流體的質(zhì)量；

u——流體的速度向量

θ——時間。由于采用拉格朗日觀點，故在推導微分動且衡算方程時，可在流場中選一固定質(zhì)量的流體微元即微元系統(tǒng)，如圖2－3所示，考察該微元系統(tǒng)隨環(huán)境流體一起流動過程中的動量變化?，F(xiàn)在是20頁\一共有52頁\編輯于星期三zxydzdxdy設在某一時刻θ，此微元系統(tǒng)的體積為dv＝dxdydz(注意其體積和位置是隨時間改變的)，將牛頓第二定律應用于此微元系統(tǒng)得式中，ρ為流體的密度；為流體的加速度，之所以采用隨體導數(shù)是應用了拉格朗觀點的緣故；dF為作用在微元系統(tǒng)上的合外力。根據(jù)力學習慣，質(zhì)量與加速度的乘積，為慣性力dFi，故該式可寫成：其直角坐標系x,y和z方向的分量分別為現(xiàn)在是21頁\一共有52頁\編輯于星期三作用在流體上的外力分析

體積力：(Bodyforce)亦稱質(zhì)量力，是作用在所考察的流體整體上的外力，它本質(zhì)上是一種非接觸力。例如地球引力、帶電流體所受的靜電力、電流通過流體產(chǎn)生的電磁力等均為體積力。

表面力：流體團與其周圍環(huán)境流體(有時可能是固體壁面)在界面上產(chǎn)生的相互作用力稱為表面力(surfaceforce)。表面力又稱為機械力，本質(zhì)上是一種接觸力。流體的壓力、由于粘性產(chǎn)生的剪力均屬表面力，以Fs表示。Fs可以分解為兩個分量：一個與作用表面相切，稱為切向表面力或剪切力，另一個與作用表面相垂直，稱為法向力?，F(xiàn)在是22頁\一共有52頁\編輯于星期三體積力

令fB表示單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力，其在直角坐標x，y，z方向上的分量分別為X，Y和Z，則根據(jù)上述定義，可知所考察的流體微元上所受的質(zhì)量力為寫成坐標分量形式為現(xiàn)在是23頁\一共有52頁\編輯于星期三表面力yzxτxxτxyτxz單位面積上的表面力定義為表面應力或機械應力，表面應力亦可分解為法向應力和剪應力，一般記為τ。τxy

第一個下標表示應力分量的作用面與x軸垂直。第二個下標x、y、z表示應力方向為x軸、y軸和z軸方向。τxx

表示法向

應力分量。拉伸方向（向外）為正，壓縮方向（向內(nèi)）為負。這三個表面應力分量中．一個是法向應力分量τxx另外兩個是剪應力分量τxy和τxz。小微元流體在運動時，由于法向應力和剪應力的存在，使其發(fā)生形變?，F(xiàn)在是24頁\一共有52頁\編輯于星期三六個表面，每一表面的機械應力均可分解成三個平行于x、y、z三個坐標軸的應力分量3×6=18個在x、y、z方向上各有六個。當小微元體體積縮小為一點時，相對表面上的法向應力與切線應力都是相應地大小相等、方向相反的。故只需采用9個機械應力就可以完全表達：3個法向分量，6個切線分量。zxydzdxdy現(xiàn)在是25頁\一共有52頁\編輯于星期三現(xiàn)將上圖中的流體微元在x—y平面的一個相應的平面分離出來加以考察。環(huán)繞該平面四周所作用的4個剪應力，可表示在右圖中。由圖可見，假如有一根平行于z軸的軸線或z軸本身穿過該流體微元的形心O點時，顯然，出于上述這四個剪應力對于上述的旋轉軸線產(chǎn)生力矩，而會使流體微元圍繞旋轉軸旋轉起來。由力學的知識可知對于旋轉軸線所產(chǎn)生的力矩應該等于流體微元的質(zhì)量、旋轉半徑的平方以及角加速度三者的乘積。

dy/2dx/2odx/2dy/2xy力矩＝質(zhì)量×旋轉半徑2×角加速度現(xiàn)在是26頁\一共有52頁\編輯于星期三力矩＝質(zhì)量×旋轉半徑2×角加速度當小微元體積趨近于0使旋轉半徑趨近于0得，同理：∴現(xiàn)在是27頁\一共有52頁\編輯于星期三用應力表示的運動方程作用在流體微元系統(tǒng)上的合外力為體積力與表面力之和，即下面首先考察微元流體系統(tǒng)在x方向上受到的體積力和表面力。顯然由前面的討論可知現(xiàn)在是28頁\一共有52頁\編輯于星期三X方向表面力zxydzdxdy簡化后：現(xiàn)在是29頁\一共有52頁\編輯于星期三X方向總的外力分量dFx又因為則有同理上三式叫以應力表示的動量衡算方程，也稱為以應力表示的粘性流體的運動方程，它是進一步推導奈維斯托克斯(Navier-Stokes)方程的基礎。現(xiàn)在是30頁\一共有52頁\編輯于星期三問題與討論現(xiàn)在是31頁\一共有52頁\編輯于星期三牛頓型流體的本構方程對于牛頓型流體的一維流動，當速度梯度與y軸方向相同時，剪應力與剪切速率(或形變速率)成正比，即剪應力現(xiàn)在是32頁\一共有52頁\編輯于星期三τ與速度關聯(lián)起來對于三維流動．情況要復雜得多，每一剪應力與其相應兩方向的形變速率有關。經(jīng)分析推導，其關系為現(xiàn)在是33頁\一共有52頁\編輯于星期三法向應力τ與速度關聯(lián)起來流體靜止時，法向應力在數(shù)值上即為流體的靜壓力。當流體流動時，這一關系并不成立。它是由兩部分組成的：其一是流體的壓力，它使流體微元承受壓縮，發(fā)生體積形變；其二由流體的粘性作用引起，它使流體微元在法線方向上承受拉伸或壓縮發(fā)生線性形變?，F(xiàn)在是34頁\一共有52頁\編輯于星期三下面六個剪應力和法線應力方程是直角坐標下牛頓型流體的本構方程A}現(xiàn)在是35頁\一共有52頁\編輯于星期三粘性流體的運動微分方程

（Navier-Stokes方程）將本構方程代入上式動量衡算方程，得：整理，得現(xiàn)在是36頁\一共有52頁\編輯于星期三粘性流體的運動微分方程

（Navier-Stokes方程）5個未知數(shù)，ux，uy，uz，ρ，p加上連續(xù)性方程和狀態(tài)方程f(ρ，p)=0，5個方程，原則上可解。但由于非線性偏微分方程，目前還無法求其通解。為此，需根據(jù)實際加以簡化，去掉一些項，使之可解。運動方程的最終形式為現(xiàn)在是37頁\一共有52頁\編輯于星期三柱坐標現(xiàn)在是38頁\一共有52頁\編輯于星期三球坐標現(xiàn)在是39頁\一共有52頁\編輯于星期三球坐標現(xiàn)在是40頁\一共有52頁\編輯于星期三討論①可以寫成向量方程：慣性力質(zhì)量力壓力粘性力現(xiàn)在是41頁\一共有52頁\編輯于星期三討論②推導時假定剪應力和法向應力與變形速率為線性，假定帶有一定任意性。故不能肯定N-S是流體運動真實描述，目前也沒有求出N-S方程的普遍解，但就已知各別解均與實驗結果吻合；③方程原則上使用于層流和湍流。但實際上只能直接用于層流（湍流太復雜）；④方程在一定條件下可以得到簡化；現(xiàn)在是42頁\一共有52頁\編輯于星期三方程簡化對于不可壓縮流體ρ=const，則即代入下面Navier-Stokes方程得到，或者現(xiàn)在是43頁\一共有52頁\編輯于星期三將方程展開，得現(xiàn)在是44頁\一共有52頁\編輯于星期三重力項的處理X方向受力分析：體積力：表面力：受力平衡：現(xiàn)在是45頁\一共有52頁\編輯于星期三同理，得到：叫做（Euler’sEquatio