教師培訓：數(shù)學建模中的風險決策

風險決策的例漁船是否出海？是否應該投資房產(chǎn)業(yè)？如何填報高考志愿？共同點：要求在具有不確定因素下作出決策精選ppt為什么說這是一個騙局（隨機變量及數(shù)學期望）

問題提出：小華在一次旅游途中看到，有人用20枚簽（其中10枚標有5分分值，10枚標有10分分值）設賭。讓游客從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎、罰依據(jù)。具體獎罰金額見下表：

這些獎是不是這么好拿呢？讓我們來做一番計算。分值50，10055，9560，65，85，9070，75，80獎罰金額獎100元獎10元不獎不罰罰1元精選ppt隨機變量及其分布:用X表示獎罰金額。X

以一定的概率取值，我們稱X為隨機變量。此處，X的取值范圍為-1、0、10、100，我們又稱之為離散型隨機變量。X取以上4個值的概率：X -1 0 10 100P 0.82110 0.17781 1.0825*10-3 1.0825*10-5精選ppt數(shù)學期望:如何來計算平均值？設想上表中的第二行不是相應的概率值，而是n次試驗相應的頻率值。那么在這n

次試驗中，X的實際平均值為：當試驗次數(shù)越來越大時，頻率將穩(wěn)定于概率。上式算出的不是n

次試驗中X的實際平均值，而是指：如果把試驗一直進行下去，我們期望能得到的理論上的平均值。數(shù)學上稱之為數(shù)學期望（expectation），記為EX。利用數(shù)學期望的概念，可以得出這樣的結論：近似地說，所有參加的人平均每人給攤主0.81元。人數(shù)越多，這種說法就越精確。精選ppt他該如何選擇（風險決策）數(shù)學期望最優(yōu)決策和填志愿問題提出：

小華參加高考前需填報三個志愿。根據(jù)其學習成績及對各專業(yè)（學校）的喜好程度得到下表：專業(yè) 喜好程度 第一志愿 第二志愿 第三志愿(學校) 分值 錄取概率 錄取概率 錄取概率A 10 0.2 0 0

B 9 0.4 0.1 0

C 8 0.6 0.5 0.3

D 6 0.9 0.9 0.7他該如何選擇？

精選ppt客觀狀況帶有隨機性的決策稱為風險決策。決策準則是：使決策在平均意義下達到最優(yōu)。即在客觀狀況帶有隨機性波動的情況下，追求的是目標均值（數(shù)學期望）的最優(yōu)化。精選ppt替小華做參謀決策準則是：使喜好程度得分X的數(shù)學期望EX最高。學校錄取學生是按志愿依次錄取。若第3志愿還未被錄取，小華將高考落第。所以應先考慮第3志愿。

C、D

兩種選擇的喜好程度得分期望值分別為： E3(XC)=0.3*8=2.4， E3(XD)=0.7*6=4.2。因為E3(XD)>E3(XC），第3志愿應選擇D。再考慮第2志愿，在B、C、D這3種選擇中，喜好程度得分期望值分別為：

E2(XB)=0.1*9+0.9*4.2=4.68 E2(XC)=0.5*8+0.5*4.2=6.1； E2(XD)=0.9*6+0.1*4.2=5.82。因為E2(XC)>E2(XD)>E2(XB），第2志愿應選擇C。

最后再考慮第1志愿。喜好程度得分期望值分別為： E1(XA)=0.2*10+0.8*6.1=6.88； E1(XB)=0.4*9+0.6*6.1=7.26； E1(XC)=0.6*8+0.4*6.1=7.24；因為：E1(XB)>E1(XC)>E1(XA),所以第1志愿應選擇B。小華第1、第2、第3志愿應分別選擇B，C，D。

精選ppt驗血問題問題提出：全校1500名同學都參加了學校組織的體檢。如果檢驗陽性率p較低，而需檢驗的人數(shù)又很多。用下面這種方法進行驗血是否可以減少化驗次數(shù)：按k個人一組進行分組,把從k個人抽來的血混合在一起進行檢驗。如果這混合血液呈陰性反應，就說明k個人的血都呈陰性反應。若呈陽性，則再對這k個人的血分別進行化驗。如果這種方法進行驗血可以減少化驗次數(shù)的話，那么k等于幾時，可以使檢驗次數(shù)最少？精選ppt以X表示某人的驗血次數(shù)。若按常規(guī)方法驗血，每人驗一次，則X=1為常數(shù)；若進行分組，則X為隨機變量：當此人所在小組的混合血液呈陰性反應時X=1/k；當此人所在小組的混合血液呈陽性反應時

X=1+1/k。P{X=1/k}=P{該小組的混合血液呈陰性反應}=P{小組的每一位成員的血液均呈陰性反應}=（1-p）k；P{X=1+1/k}=P{該小組的混合血液呈陽性反應}=P{小組中至少有一位成員的血液呈陽性反應}=1-（1-p）k。X的概率分布為：

X1/k1+1/kp（1-p）k1-（1-p）k精選ppt平均驗血次數(shù)EX=1/k*（1-p）k+(1+1/k)*(1-（1-p）k)=1-（1-p）k+1/k.

當p已知時，我們可以選取k

使之最小。例如

p=0.1，當k=4時，EX=1-0.9k+1/4=0.594。所需的平均驗血次數(shù)為

n=1500*0.594=891次精選ppt面包房進貨問題問題提出：一家面包房，某種面包每天的需求量為100、150、200、250、300的概率分別為0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每個面包的進貨價為2.50元，銷售價為4元，若當天不能售完，剩下的只能以每只2元的價格處理。每天該進多少貨？（進貨量必須是50的倍數(shù)）

精選pptX為隨機變量其概率分布為：

X100150200250300p0.20.250.30.150.1利潤用L表示；進貨量用y表示。有：精選pptL依賴于進貨量

y

和需求量X，所以L也是隨機變量。這是一個風險決策問題。決定進貨量應以平均利潤E(L)為標準。當y=100時,EL=1.5y=150(元)；當y=150時,若X=100，則L=2X-0.5y=125（元）；若X≥150，則L=1.5y=225（元）；L的概率分布為：

L125225p0.20.8EL=0.2*125+0.8*225=205(元)；精選ppt當y=200

時若X=100，則L=2X-0.5y=100（元）；若X=150，則L=2X-0.5y=200（元）；若X≥200，則L=1.5y=300（元）；L的概率分布為：EL=0.2*100+0.25*200+0.55*300=235(元)

L100200300p0.20.250.55精選ppt當y=250時 若X=100，則L=2X-0.5y=75（元）； 若X=150，則L=2X-0.5y=175（元）； 若X=200，則L=2X-0.5y=275（元）； 若X≥250，則L=1.5y=375（元）；L的概率分布為：

L75175275375p0.20.250.30.25EL=0.2*75+0.25*175+0.3*275+0.25*375=235（元）精選ppt當y=300時L的概率分布為：比較可得：當y=200或y=25